Philon面及其性质*

肖运鸿

(赣南师范大学 数学与计算机科学学院，江西 赣州 341000)

大约公元前150年，古希腊的数学家和力学家Philon为了解决三大著名几何作图问题之一的倍立方体问题，提出了后人称之为“Philon线”的概念[1].若P为已知∠AOB内的定点，过P点任作一直线与∠AOB的两边相交，则两交点所成线段中长度最短者称为∠AOB内过点P的Philon线.历史上，Philon有时又称为Philo.因此，Philon线又可称为Philo线.Philon线不仅具有重要的理论意义，而且在解决工程设计选线问题中具有广泛的应用[2].

Philon线的概念可以类比推广到三维空间上，从而得到Philon面的概念.下面给出三面角的Philon面和圆锥面的Philon面的定义.

定义若P为已知三面角O-ABC(直圆锥面O-ABC)内的一个定点，过P点任作一个不过O点的平面与三面角O-ABC(直圆锥面O-ABC)相截，使得截痕为三角形(椭圆)，则所有三角形(椭圆)截线所围区域中面积最小者称为三面角O-ABC(直圆锥面O-ABC)内过点P的Philon面，如图1、图2.

图1 图2

三面角的Philon面和圆锥面的Philon面具有一些共同性质.

定理1若ΔQRS所围区域为三面角O-ABC内过点P的Philon面，K为Philon面的重心.过点O作Philon面所在平面的垂线，垂足为H，则P,K,H三点共线且PK∶KH=1∶2.

证明以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz，设点P的坐标为P(x0,y0,z0).过点P任作一个不过原点的平面Σ，使之与三面角O-ABC的三边相交.不妨设Σ的方程为

b1x+b2y+b3z=1

(1)

(其中b1，b2，b3不全为0，不妨设b3≠0),则

b1x0+b2y0+b3z0=1

(2)

设射线OA，OB，OC的方程分别为：

OA：x=l1t,y=l2t,z=l3t;OB：x=m1t,y=m2t,z=m3t;OC：x=n1t,y=n2t,z=n3t;

将OA，OB，OC的方程分别代入(1)，可求得OA，OB，OC与平面Σ的交点分别为Q′(x1,y1,z1)，R′(x2,y2,z2)，S′(x3,y3,z3).其中

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

由(7)·b1+(8)·b2+(9)·b3，再结合(2)，可求得

(10)

将(10)分别代入(7)(8)(9)，得

(11)

(12)

(13)

若ΔQRS所围区域为三面角O-ABC内过点P(x0,y0,z0)的Philon面，则当平面QRS的方程表示为(1)时，(1)中的系数b1,b2,b3满足(11)(12)(13)；且ΔQRS的三个顶点的坐标分别由(3)(4)(5)确定.因此，Philon面的重心坐标为

PK=

KH=

显然KH=2PK.因此P,K,H三点共线且PK∶KH=1∶2.

推论已知O-ABC为直三面角(即OA，OB，OC两两相互垂直).若ΔQRS所围区域为三面角O-ABC内过点P的Philon面，K为Philon面的重心.过点O作Philon面所在平面的垂线，垂足为H，则点P、K、H分别为ΔQRS的外心、重心和垂心，此三点共线(即ΔQRS的欧拉线)且PK∶KH=1∶2.

定理2若椭圆L所围区域为直圆锥面O-ABC内过点P的Philon面，K为Philon面的重心.过点O作Philon面所在平面的垂线，垂足为H，则P,K,H三点共线且PK∶KH=1∶2.

证明以O为原点，以直圆锥面O-ABC的对称轴为z，建立空间直角坐标系O-xyz，不妨设点P的坐标为P(x0,y0,z0)，直圆锥面O-ABC的方程为z2=k2(x2+y2)(k>0,z≥0).过点P任作一个不过原点的平面Σ，使之与圆锥面O-ABC的截痕为椭圆.与定理1的证明类似，可设Σ的方程为(1)，则(2)式成立.

(14)

记投影曲线(14)所围区域为σxy(σxy同时表示该区域的面积).为求σxy，下面应用不变量法求投影曲线(14)的标准方程[3].

因为

(15)

(16)

(17)

(18)

由(16)·b1+(17)·b2+(17)·b3，再结合(2)，可求得

(19)

将(19)分别代入(16)(17)(18)，得

(20)

(21)

(22)

显然KH=2PK.因此P,K,H三点共线且PK∶KH=1∶2.