探析解含字母系数的一元一次不等式(组)

2022-07-24 12:14陈文倩
数理天地(初中版) 2022年5期
关键词:分类讨论

陈文倩

【摘要】 一元一次不等式(组)是初中数学学习阶段的重点和难点,很多学生在这部分的学习上还仅仅停留在会解一元一次不等式(组),但对于这类题型的延伸不能很好的理解,本文针对含字母系数的一元一次不等式(组)进行分类讨论,旨在让学生更深刻地理解这部分内容.

【关键词】 一元一次不等式(组);含字母系数;分类讨论

1 已知方程(组)的解,求字母系数

这类题型往往需要先对解进行转换,然后再根据题目条件求出字母系数,如:

例1 若关于x,y的二元一次方程组3x+y=1-m,x+3y=3,的解满足-1≤x+y<2,则m的取值范围为.

解 首先观察题中二元一次方程组中未知数的系数与所给不等式的关系,发现二元一次方程组两式相加得4x+4y=4-m,

所以x+y=4-m4,将它代入-1≤x+y<2,得

-1≤4-m4<2,

解得-4<m≤8.

例2 若关于x,y的二元一次方程组2x-3y=5,x-2y=k的解满足x>y,则k的取值范围为.

解 题中给出的x>y可以转化为x-y>0,将方程组两式相减,得

x-y=5-k,

则5-k>0,k<5.

在解例1和例2时,最容易想到的是先解出二元一次方程组,但是仔细观察后就会发现未知数系数间有着巧妙的关系,因此可以简化计算.

例3 在方程组x=2y-t,2x+y=t-3中,若y>9,则x的取值范围为.

解 本题中,给出的y>9和所要求的x的范围均与t无关,因此要想办法消除t,方程组中t前的系数互为相反数,将两个方程组相加得3x+y=2y-3,再用x表示出y为y=3x+3,

因此3x+3>9,则x>2.

2 已知不等式(组)解集,求字母系数或取值范围

这类题型中比较常见的有通过不等式组解集确定字母系数的值,如:

例4 若关于x的不等式组x+3b≥2a,23a+x≤2b的解集是-5≤x≤2,求a,b的值.

解 解这个不等式,得

2a-3b≤x≤2b-23a,

因为原不等式的解集为

-5≤x≤2,

所以2a-3b=-5,2b-23a=2,解得a=-2,b=13.

这类题型中较难的是根据解集确定字母系数的取值范围,容易犯错的地方是在求解时漏掉端点数字,如:

例5 若不等式组x<3a+2,x<a-4的解集是x<a-4,则a的取值范围为.

解 解不等式组遵循同大取大,同小取小,那么首先可以得出的是a-4<3a+2,再考虑端点处的数字可不可取,因此最终确定a-4≤3a+2,

解得a≥-3.

例6 若不等式2x+53-1≤2-x的解集中的每一个值都能使关于x的不等式3(x-1)+5x+2(m+x)成立,试确定m的取值范围.

解 解不等式2x+53-1≤2-x,得x≤45;

解不等式3(x-1)+5>5x+2(m+x),得

x<1-m2,

由题意,得1-m2>45(注意此时1-m2≠45,端点数字不可取),解得m<-35.

3 已知不等式有解或无解,求字母系数的取值范围

当遇到不等式有解或无解这种类型的题目时,需要明确不等式的解集属于哪种类型,特别注意端点的数字是否可取.

例7 若关于x的一元一次不等式组x-2m<0,x+m>2有解,则m的取值范围为.

分析 因为不等式组有解,则解不等式组,得

2-m<x<2m,

所以2-m<2m,

得m>23.

例8 若关于x的一元一次不等式组x<3a+2,x>a-4无解,则a的取值范围为.

解 解一元一次不等式组时,同大取大,同小取小,大小小大取中间,大大小小则无解,因此本题中3a+2<a-4(且这里可取等号),于是有a≤-3.

例9 若关于x的一元一次不等式组2x-6+m<0,4x-m>0有解(m为整数),则在其解集中,整数的个数不可能是()

(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4.

解 解不等式组得 x<6-m2,x>m4,

因为不等式组有解,

所以m4<6-m2,

则m<4.

当m=3时,不等式组的解集为34<x<32,有1个整数解;

当m=2时,不等式组的解集为12<x<2,有1个整数解;

当m=1时,不等式组的解集为14<x<52,有2个整数解;

当m=0时,不等式组的解集为0<x<3,有2个整数解;

当m=-1时,不等式组的解集为-14<x<72,有4个整数解,……,随着m的逐渐减小,不等式组的解集范围会越来越大,因此不等式组的整数解不可能有3个,选择(C).

4.已知整数解个数或有特殊解,求字母系数的取值范围

这在不等式中属于较难的题型,在做题时不仅要掌握基本的解不等式的方法,还要考虑到是否存在多种情况.

例10 关于x的不等式2x+a≤1只有2个正整数解,则a的取值范围为()

(A)-5<a<-3.(B)-5≤a<-3.

(C)-5<a≤-3.(D)-5≤a≤-3.

解 解不等式2x+a≤1,得x=1-a2,已知不等式有两个正整数解,则这两个正整数解为x=1,x=2,

则2≤1-a2<3,

解得-5<a≤-3,

因此选择(C).

例11 已知关于x的不等式組5x-a>3(x-1),2x-1≤7的所有整数解的和为7,求a的取值范围.

解 解不等式组得x>a-32,x≤4,则其中一个整数解为x=4,因此当a-32>0时,另一个整数解为x=3,则2≤a-32<3,求得7≤a<9;

当a-32≤0,整数解为x=-2,-1,0,1,2,3,4,此时整数解的和也为7,

则-3≤a-32<-2,

解得-3≤a<-1,

综上,a的取值范围为7≤a<9或-3≤a<-1.

总结 总的来说这几种类型的题目有一定的难度,在解不等式的基础上,还要考虑端点数字的取舍,有些题目还要考虑多种情况,需要分类讨论,因此在解题时可以先借助数轴解答,多做练习至熟练解题.

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