从课本“探究”栏目看探究情境的创设和使用

【摘要】现行高中课本教材中的“探究”栏目，大多出现在一些核心概念或命题教学的关键点处，通过比较、分析人教A版数学教科书必修第一册“探究”栏目中的问题和情境，发现其常见的呈现方式有“自然生长”式、“类比研究”式、“操作验证”式、“抛砖引玉”式、“拓展提升”式等多种形式.借鉴这些形式，根据教学实际灵活设计情境、问题、探究方式，对师生的课堂教与学有很大帮助.

【关键词】探究栏目；数学情境；数学问题；呈现方式

课堂探究是学习者在课堂学习中，在情境问题引导下，通过自主探究、合作交流，解决问题的同时获得知识或方法的一种学习方式.

现行人教A版普通高中数学教科书中，有“思考”“观察”“探究”“阅读与思考”等栏目，其中“探究”是呈现教学策略，实现教学目标的栏目［1］.“探究”一栏是针对重、难点知识，通过对知识获得过程进行设计，帮助掌握知识或方法的一个栏目，其大多出现在课本一些核心概念或命题的教学中，所设置的探究情境和问题，呈现方式丰富多彩.

1“探究”栏目的分布与作用

数学探究活动表现为发现和提出问题、猜测数学结论、提出解决问题的思路和方案、论证数学结论［2］.课本“探究”栏目中的“探究”也具有上述的表现形式，不同的是受课堂教学的条件限制，表现出来的更多是一种“短探究”或“微探究”.

課本“探究”栏目在每小节内容的前面、中间、后面都有出现，我们把这三种情况称为课堂中的课前探究、课中探究、课后探究.以“人教A版普通高中教科书·数学·必修第一册”中“探究”栏目为例，全册五章共43处（不含“探究与发现”），其中课前探究14处，课后探究6处，课中探究23处.从中我们会发现，这些探究栏目中的“探究”，主要以课中探究和课前探究为主，放在每节教学内容关键点处，其作用是导学和导研.具体地说，一方面在教学中可以起导课的作用，明确任务，激发学习兴趣；另一方面其本身也是新知识的一部分，问题的解决过程就是新知识的掌握过程.课后探究放在课堂教学后部，多是知识或方法的拓展，有时甚至需要学生课后查阅资料完成.这些“探究”栏目的分布中，除7处与概念教学相关外，其余主要出现在命题教学中，多与定理、公式、法则、规律的获得或使用有关.

语句表述上，多以疑问句为主，少数地方用到祈使句，语言简洁，学习任务表述亲切自然，易让人对问题产生研究的欲望.

2 “探究”栏目中情境与问题呈现手法

2.1“自然生长”式

这一类型的“探究”是知识学习完后，自然产生或自然的延续.它与前面知识有着非常紧密的联系，有着自然的惯性，甚至很多学生在前面知识学完后都会产生这样的问题.

案例1（§5.1.2弧度制）探究角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间可以换算.如何换算？［3］173

本探究是在引入弧度制，讲解完“弧度”的相关概念后进行的.弧度制的引入与学生原有认知中用角度来度量角产生认知冲突，自然会想：弧度制与角度制两者之间有何联系，两者之间如何进行换算.所以这一探究的设置，显得非常自然，是前面知识讲解完后的自然延续.

这种“自然生长式”的课堂探究一方面是内容的自然，另一方面是出现方式的自然.如“对数”的概念讲完后，自然探究对数的运算性质，“指数函数的图象和性质”的学习中，第一个探究是通过画出特殊的指数函数图象了解性质，第二个探究是在第一个探究的基础上，借助图象，概括出一般的指数函数的性质，探究间有着很自然的逻辑联系.

2.2“类比研究”式

不同种属事物间由于某些条件、结构等的相似性，容易对某些性质产生关联的猜想.

案例2（§3.2.2奇偶性）探究类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”这一特征吗？［3］82

函数单调性与奇偶性的研究，从方法上是相似的，都是先通过图象直观感知，了解性质，然后通过特殊的函数，借助直观感知的结论，抽象出一般化的概念.这一探究就是借助研究方法上的相似之处，让学习者按着上一节的探究方法，类比联想，由“点关于y轴对称”的几何特征去获得相应的代数特征的表述.

用类比的方法研究问题，是数学常用的方法. 高中数学中，空间几何体与平面几何图形的性质、复数与实数运算性质、向量与数的运算性质等，都有很强的关联性，可以用类比的方法，产生探究的问题，借助问题引路，得到新的方法或结论.

2.3“操作验证”式

这是一种为达到某个目标，在课堂教学中，创设相关的实践操作情境，以情境中的问题或方法为指引方向，引导学生思考、操作、推理验证，获得或验证结论的一种探究方式.

案例3（§3.3幂函数）探究观察函数图象并结合函数解析式，将你发现的结论写在下表内.

这些函数图象有公共点吗？［3］90

课堂教学中，数学情境有多种，常见的有实物情境、游戏情境、故事情境、操作情境等.本例的探究，就是一种操作情境，通过实验操作.获得结论，这种方式常用在中学数学课堂命题教学中，它能够让学习者更加自觉主动参与课堂探究.

学生对函数y=x、y=x2、y=x－1图象比较熟悉，获得函数y=x3、y=x12的图象有两种方式，一种是教师的课前预设，另一种是让学生在课堂中结合定义域和单调性，借助一些特殊点画出图象.通过画出函数的图象，结合定义域、值域、奇偶性在图象中反映的数学特征，获得探究的结果.这一探究其实有两个过程，一个是画图象的过程，另一个是通过观察图象获取性质的过程，这两个过程，学生的学习是通过画出函数图象（动手操作）的基础上完成的.

操作情境是数学探究中常用到的一种情境，对于一些抽象的问题，通过转化为具体可操作的计算或实验，调动学生的学习热情，促进学生积极主动地参与到课堂学习中.设置操作情境是关注学生的过程性学习的一种体现，学生在课堂上动手操作，其作用是把知识结果的单纯给予，分解为学生可接受、可实践的探究，通过探究的过程获得结论，实现知识的掌握.操作情境注重学生的过程性学习，因此，通过操作情境引导探究对提高学生的课堂学习效率有很大的帮助.

很多生活中的现实情境，因为从情境到问题往往需要较多的语言进行描述，所以一些命题性质的研究，现实生活情境反而不如操作情境更能让学习者对所学知识理解更深刻.

2.4“抛砖引玉”式

这种形式多是条件清晰，目标明确，提供或明或暗的方法提示，在问题指引下的定向探究，完成探究的过程就是新知识的获得过程.纯数学问题更容易直达数学本质，数学课堂教学中，特别是一些数学内容多、难度大、知识面广的课堂，经常用纯数学问题引导探究.纯数学知识情境大量出现在这种形式的探究之中，这种形式运用很灵活，有时是一个问题，有时是几个平行或递进的问题，出现的位置可以与前后知识有联系，也可以与前面知识联系不大.

案例4（§4.3.2对数的运算）探究（1）利用计算工具求ln2，ln3的近似值；

（2）根据对数的定义，你能利用ln2，ln3的值求log23的值吗？

（3）根据对数的定义，你能用logca，logcb表示logab（a>0，且a≠1；b>0；且c≠1）吗？［3］125

本例是在对数运算性质完成后进行的探究，意图通过特殊到一般发现换底公式并尝试获得证明方法.本例问题（2）利用对数的定义实现常用对数到自然对数的转化，是探究的关键.问题（2）到问题（3），是特殊与一般的关系，在问题（2）的方法启发下解决问题（3）所设置的问题，搭设桥梁进行研究，获得换底公式.

通过问题导学，学生在提示的问题（或方法）指引下，获得探究设计所期望的结果，探究所设置的问题既是学习指引的方向，又是到达知识彼岸的阶梯.这种问题导研式的探究栏目，在课本中出现很多，它没有华丽的情境，但朴实的纯数学问题题境让探究更加数学化，更有数学味.

2.5“拓展提升”式

这是一种给定研究内容或方向，但不限制研究方法，结论开放的探究.这种类型探究出现位置多为本小节最后位置，可以课堂完成也可以课后完成，属于课本内容的拓展，对提升学生数学素养有较大的帮助.

案例5（§3.1.1函数的概念）探究构建其他可用解析式y=x（10－x）描述其中变量关系的问题情境.［3］63

本例以学生相对熟悉的二次函数为背景，出现在“函数的概念”这一小节最后，在这一探究之前设计了一个与之相似的问题情境的教学.考虑到高一刚入学学生知识储备不足，数学建模素养普遍不高，给出解析式，设计与之对应的问题情境，很多学生还是有一定难度的，因此，在课本中放在本小节的最后，让学有余力的学生选择学习，是数学建模素养培育的初步尝试.

这种设计开放水平程度高，有时需要学生课后查阅资料、合作交流完成.也正因为这种探究给学生有较大的自主研究空间，因此对激发学生数学学习热情，培养学生数学探究能力，提升数学学科素养有很好的帮助.

再如第5.5.1节中的“你能从和（差）角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式？”也是这种类型的探究.

人教A版数学必修第一册“探究”栏目43个“探究”中，“自然生长式”有10个，“类比发生式”有5个，“操作验证式”有5个，“抛砖引玉”式有19个，“拓展提升式”有4个.

3教学中的使用

课堂探究以情境为背景，问题为方向，但课堂探究的情境创设有其复杂的一面.课本中的“探究”设计，大都很经典，适合大部分老师的教学需求，被大家广为采用，但在实际教学中，教师们的使用可以更灵活.

3.1情境的灵活创设

课本探究栏目设置的问题情境针对大部分学生，使用群体范围广，从课本篇幅考虑又要求问题尽量简洁，书面表达的局限性让情境的展示方式相对单一，因此，情境载体采用学生们熟悉的纯数学知识居多.而教师在实际教学中，在日新月异的多媒体快速发展时代，可以借助网络收集大量图片、音频、视频等，加工改造成为数学课堂探究教学情境；可以动手制作教具或设计实验操作情境，获得印象深刻的结论；可以收集学生熟悉的生活情境，与课堂知识相融成为新的情境.

学生群体自己内部特有的文化也是一种很好的情境资源.利用教学连续性，收集学生中可用于创设探究情境的素材，采用课前提前预设情境、同一情境在不同课堂中重復使用等方式，让情境的创设更有利用于学生学习.

3.2问题的灵活设计

教学中，问题呈现可以更加灵活.课本探究多为定条件、定方向、定方法，有联系的定向探究，难度相对简单，普适性强.内容和方法更开放的探究，更有利于学生思维水平和学习能力的提升.在课堂实际教学中，因为对学生的学情更加熟悉，探究情境和问题会更符合学生的认知，设置的问题开放程度可以根据学生的认知水平和学习状态进行调整.

课堂教学中，教师会设计问题难度不一的探究，时间长短可以根据课堂需要而灵活控制，问题提出的时机和师生在探究中的时间分配会根据课堂的变化而变化.

3.3探究的灵活开展

设计更多有联系的探究，探究能力的进阶式培养，进行整体规划，引导学生在探究结束后“反思”“回顾”数学探究的过程［4］，会促进学生学习能力和思维能力的提升.

独立探究、小组合作等形式交叉或组合使用，让探究更加灵活多变.有几类探究会让学生感觉有点困难，一是条件与结论跨度大，中间联系结点少的探究；二是问题抽象，所需知识或方法学生不熟悉或知识遗忘较多的问题的探究；三是对解决问题的方法展开的探究（在人教A版必修第一册中只有5处涉及到方法的探究）.难度较大的探究采用合作探究的形式，通过课堂交流会产生更好效果.

教师先让学生对一些难度较大的问题进行探究，如果探究出现困难，再给予一些启示，这是一种很常见的探究教学操作形式，这种模式为探究教学的开展带来很大便利.

课本探究栏目中情境与问题的呈现方式，为我们提供了很好的教学启示.平时我们课堂教学时间短，传授的多以适当加工的数学知识为主，课本探究栏目的短探究为一些数学核心知识的教学搭建了一座连结新旧知识的“桥梁”，既教知识又教学习知识的方法.研究课本数学探究栏目，会发现其位置灵活，设置手法灵活，呈现方式灵活，作用多样.我们在一些教学关键点处利用好课本探究栏目外，还可借鉴课本探究栏目中情境与问题的呈现方式，对课堂探究根据实际教学进行一些更灵活的设计.好的教学设计是课堂成功的一半，科学的探究情境的设计为课堂教学的开展提供了充分的保证.

参考文献

［1］刘云. 高中数学教科书中探究内容的使用研究［D］.重庆：西南大学，2016：74.

［2］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.人教A版普通高中教科书·数学·必修第一册［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［4］李健，李海东.数学教科书探究见容的设计原则与教学建议［J］.高中数学教与学，2022（02）：7.

作者简介叶忠（1972—），男，福建浦城人，中学高级教师，教育硕士；福建省泉州市“十四五”第一批中学数学教学名师培养对象；研究方向为高中数学教学.