两道高中数学联赛题的探究历程

在数学竞赛的舞台上，各类颇有难度、思维含量高的问题层出不穷，考验学生的数学素养与解题能力.笔者在探索两道数学联赛题的解题过程中，从最初的困惑到逐渐深入探究，寻求解题的关键，从而进一步挖掘出背后的数学规律.希望通过分享这一探究历程，激发学生对数学学习的兴趣，培养其善于思考与提问的习惯，体会数学探究的乐趣与价值

1试题分析

题1已知正整数数列 满足 a_n+2=a_n+1+ ），若 a₁₁=157 ，则 a₁=

题2已知数列 满足 a_n+2=a_n+1+a_n（n∈ N^* ），若 a₇=8 ，则 a₁+a₂+a₃+…+a₁₀=

题1、题2分别是2014年全国高中数学联赛湖北、天津预赛试题，这两道题都是以斐波那契数列为背景设计，题1要研究 a₁₁ 与 a₁ 的关系，题2则要研究前10项和 S₁₀ 与 a₇ 的关系.根据斐波那契数列的递推关系 a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^*） 可知，只要给定前2项 a₁，a₂ 的值，数列 也就随之确定，即数列 的任何一项都能由 a₁，a₂ 线性表示，当然，前 n 项和 S_n 也应能由 a₁，a₂ 线性表示.

据此分析，可得到一个统一的解题思路：以 a₁ .a₂ 为基本量，先表示数列 的任何一项及前 n 项和 S_n ，然后再研究项与和的关系.

2线性关系的探究

通过归纳，很容易发现结论： a₁，a₂ 的系数就是斐波那契数列中的项.于是引入斐波那契数列 . ，众所周知，其通项公式xn= ）.接下来探究用 a₁，a₂ 表示 a_n 的推导过程.

由递推关系 ，依次可 得， α₃=a₁+a₂=x₁a₁+x₂a₂，a₄=a₂+a₃=x₁a₂+ （204 x₂a₂）+（x₂a₁+x₃a₂）=x₃a₁+x₄a₂，a₆=a₄+a₅= （x₂a₁+x₃a₂）+（x₃a₁+x₄a₂）=x₄a₁+x₅a₂……

由此归纳得 ，要严格证明可利用数学归纳法.（过程略）

下面是用 a₁，a₂ 表示 S_n 的推导过程

当 n⩾3 时 （204号

實由饅 電运藍用等比数列求和公式，得 ，同理 x_n+1-1.于是 S_n=x_na₁+（x_n+1-1）a₂（n⩾3） ，经检验n=1，2 结论也成立.

综上所述，我们得到结论1.

结论1：若数列 满足 a_n+2=a_n+1+a_n（n∈ （204号N^∗ ），则有 a_n=x_n-2a₁+x_n-1a₂ （ n⩾3. 与 S_n= x_na₁+（x_n+1-1）a₂ 成立.

3联赛题统一解

有了