‘动”“静”合理融合，轨迹问题妙解决

涉及圆锥曲线中的轨迹问题，一直是高考、模拟卷以及竞赛等命题中的一个热点与难点问题，变化多端，形式各样.它经常以解答题形式出现，巧妙借助数值运算、推理证明、探索应用等方式来创新设置，给问题的设置与应用创设更加多样的场景，

此类问题通过“动态\"场景与“静态\"数值的巧妙融合，合理创设场景，进而从“动”中取“静”，以“动”致“静”，在“动”中找规律，在“动”中取“定”，知识交汇性强，能力融合度高，能很好地考查学生的数学知识与数学能力等，充分体现试题的选拔性与区分度，倍受各级各类考试命题者的青睐.

1问题呈现

问题（2025年八省高三联考数学试卷第18题）已知椭圆 c 的离心率为 ，左、右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0）. （20

（1）求 C 的方程.

（2）已知点 M₀（1，4） ，证明：线段 F₁M₀ 的垂直平分线与 c 恰有一个公共点.

（3）设 M 是坐标平面上的动点，且线段 F₁M 的垂直平分线与 C 恰有一个公共点，证明 M 的轨迹为圆，并求该圆的方程.

此题以椭圆为问题场景，通过三个小题来合理设置，以不同的难度系数与问题场景来设置，问题层层递进，切入点简单，可以给不同层次的学生提供各自不同的需求，对于试题的选拔性与区分度有很好的体现.

题目中，第（1）问依托椭圆的离心率与焦点坐标，进而来确定椭圆的方程，难度较小，普及大部分的学生，入手简单；第（2）问结合定点的设置，利用线段 F₁M₀ 的垂直平分线与椭圆的位置关系，进而证明两者之间恰有一个公共点，难度中等；第（3）小问化第（2）问中的定点为一般性的动点，保……