道路缓和曲线的偏角、夹角的计算方法和精度分析

王健,李小光,汪金花

(河北联合大学交通与测绘学院,河北 唐山063009)

道路工程勘测、施工阶段的测量工作中,难度最大的是缓和曲线段。如果能够用简明而且精度可靠的数学模型计算出曲线偏角和夹角,再将其利用到纵横断面测绘、中桩和边桩测设等工作中定会大大的提高工作效率,但目前的各种文献资料很少介绍这些角度的计算方法[1～4]。本文推导了缓和曲线的弦线与切线夹角、切线与切线夹角、弦线与弦线夹角的一般计算方法(简单方法)和精确计算方法。与精确计算方法相比,一般方法的数学模型简单,便于使用,但由于推导过程中经过了几次近似,其精度受到影响。本文分析了其精度影响因素和在各种情况下的计算误差值,为我们在具体测量计算工作中选择计算方法提供了依据。

1 缓和曲线偏角的计算方法和精度分析

1.1 任意点偏角的一般计算方法与精度分析

一般文献资料中,对于缓和曲线的计算,常常先建立这样的坐标系:以ZH点为原点,过ZH的缓和曲线切线为x轴,半径为y轴。任意点i的坐标表达式为[5]:

式中:li—i点到ZH点的曲线长;R—与缓和曲线相连的圆曲线半径;l0—缓和曲线的长度。

如图1所示,A、B两点到ZH点的曲线长分别为lA、lB,由图可知,由于θ1很小,可以近似认为θ1≈tanθ1(弧度)。我们再取xA≈lA,yA,则[6]:

图1 缓和曲线偏角、夹角计算示意图

在一般情况下,θ1可以按(3)式计算。但由于以上推导过程经过两次近似,导致其含有误差,其计算精度受R、l0、lA的值的影响,对于不同的缓和曲线:①R、l0相同时,lA越大,θ1的计算精度越低;②R、lA相同时,l0越大,θ1的计算精度越高;③l0、lA相同时,R越大,θ1的计算精度越高。

1.2 任意点偏角的精确计算方法

按(1)式、(2)式计算出精确的xA、yA值,再按下式计算θ1的精确值:

2 缓和曲线任意弦线、切线之间夹角的计算方法和精度分析

2.1 任意弦线、切线之间夹角的一般计算方法与精度分析

在图1中,

β2一般比较小,可近似认为β2≈tanβ2(弧度),则:

在一般情况下,θ2、θ3的值可按(9)、(10)两式计算。但由于以上推导过程经过两次近似,故导致其含有误差,其计算精度受R、l0、lA、lB的值的影响,对于不同的缓和曲线:①R、l0相同时,lA一定的情况下,lB-lA越大,β2计算精度越低,则θ2、θ3的计算精度越低;②R、l0相同时,lB-lA一定的情况下,lA越大,β2计算精度越低,θ2、θ3的计算精度也越低;③R、lA、lB相同时,l0越大,β2计算精度越高,θ2、θ3的计算精度越高;④l0、lA、lB相同时,R越大,β2计算精度越高,θ2、θ3的计算精度越高。

2.2 夹角θ2、θ3的精确计算方法

按(1)式、(2)式计算出精确的xA、yA、xB、yB值,再按下式计算β2的精确值:

θ2、θ3的值分别按式θ2=β2-β1、θ3=β3-β2计算。

3 缓和曲线上任意点偏角、夹角计算精度的实例分析

为了进一步说明用一般方法计算θ1、θ2、θ3的精度及其与R、l0、lA、lB值的关系,我们分别取不同的R、l0、lA、lB值,用一般方法和精确方法分别计算θ1、θ2、θ3,并进行分析比较,结果见表1～4。

表1 R=400m、l0=250m不同lA、lB时,θ1、θ2、θ3的计算情况

表2 R=3000m、l0=150m不同lA、lB时,θ1、θ2、θ3的计算情况

表3 R=3000m、l0=250m不同lA、lB时,θ1、θ2、θ3的计算情况

表4 R=7000m、l0=150m不同lA、lB时,θ1、θ2、θ3的计算情况

表1～4表明,用一般方法计算的θ1、θ2、θ3的精度受R、l0、lA、lB的影响,影响规律和前面的分析是一致的,而且一般方法计算的θ1、θ2、θ3的精度主要受其大小的影响。用一般方法在不利情况下(R较小、l0较大、lA较大时,θ1误差大;R较小、l0较大、lB-lA较大时,θ2、θ3误差大),计算误差将达到十几秒甚至数十秒,例如表中R=400 m、l0=250m、lA=240 m时θ1误差达到14秒,lA=10 m、lB=250 m时θ2、θ3误差分别达到12秒和13秒,这样大的计算误差在精度要求较高的工程中是绝对不允许的,此时必须用精确方法。

4 在长深高速公路唐山段勘测设计和施工中的应用

长深高速公路遵化至南小营段是全国高速公路网长春至深圳线的一段,起于遵化市北承唐交界处,止于遵化市南小营,沿线多为连绵起伏的山地和村镇。在勘测设计阶段的横断面测绘工作中,由于地形、地势条件限制,采用全站仪架设在已有控制点上进行测绘极为不便,故采用先放样中桩,再利用全站仪架设在中桩上进行测绘,该方法的难点是设置曲线道路的横断面方向。利用本文提出的方法计算偏角或夹角,全站仪架设在中桩上后视相应的中桩或控制点通过角度测设便可设置出横断面方向。该方法极大的提高了横断面测绘的效率。

在施工阶段的曲线型道路边桩放样工作中,利用本文提出的方法精确的计算出偏角或夹角,将全站仪架设在中桩上并根据偏角或夹角值精确的设置出线路法线方向,在该方向上量距便可放样出边桩。该方法提高了边桩放样的效率并保障了其放样精度。

5 结束语

曲线型道路工程中,缓和曲线偏角和夹角的计算是一个难点。本文推导了缓和曲线的弦线与切线、切线与切线、弦线与弦线夹角计算的一般数学模型和精确数学模型。一般方法的数学模型简单明了,但由于经过了几次近似简化,其精度受R、l0、lA、lB几个参数的影响,R较小、l0较大、lA较大时,弦切角θ1误差大;R较小、l0较大、lB-lA较大时,弦线夹角θ2、θ3误差大。在不利的情况下其计算误差将达到十几秒甚至几十秒,这是有些测量工作所不允许的,这时需要采用精确方法计算。

[1] 李青岳,陈永奇.工程测量学[M].北京:测绘出版社,2008:182～185.

[2] 唐争气,吴争鸣.道路曲线中桩和边桩的3维坐标的一体化计算[J].测绘通报,2006(12):20～23.

[3] 郭子珍,蒋理兴,石晶.线路坐标计算的通用模型[J].测绘科学技术学报,2006,23(4):242～245.

[4] 曲德富.公路卵形曲线任意点偏角计算及测设[J].东北测绘,2000,23(1):40～41.

[5] 刘朝辉.匝道施工中缓和曲线大地坐标计算的统一数学模型[J].测绘通报,2006(10):43～45.

[6] 高利平,刘霖,林敏,等.带缓和曲线的小偏角长大曲线实用测设方法研究[J].内蒙古工业大学学报,2002,21(2):134～139.

[7] 卢印刚.公路缓和复曲线(卵形曲线)特性的研究及其应用[J].矿山测量,2006(4):53～56.

[8] 张明剑,李林.公路缓和曲线的精确推导[J].攀枝花学院学报,2005,22(5):109～112.