时滞Holling－III型捕食系统的稳定性

庄科俊(1.安徽财经大学统计与应用数学学院，安徽蚌埠233030;2.安徽财经大学应用数学研究所)

时滞Holling－III型捕食系统的稳定性

庄科俊1，2
(1.安徽财经大学统计与应用数学学院，安徽蚌埠233030;2.安徽财经大学应用数学研究所)

文中研究了一类具有时滞的捕食者－食饵系统正平衡点的稳定性，给出了产生Hopf分支的充分条件.关键词:捕食者－食饵系统;Hopf分支;稳定性;时滞

1 引言

近年来，对具有时滞和功能响应的捕食者－食饵系统周期解的研究，引起了极大的关注，并且得到了一些很好的结果，参见文献［1－3］.本文主要考虑基于比率的Holling－III型捕食系统:

这里N1(t)与N2(t)分别表示食饵种群与捕食种群的密度，系统中各系数均为正常数，b1表示食饵种群的内禀增长率，b2表示捕食者种群的死亡率，α1与α2分别表示相应的转化率，m表示半捕获饱和度.并且τ非负，表示捕食种群的成熟时滞.在没有捕食者的情况下，食饵种群遵循Logistic增长规律.

对于系统(1)，文献［1－2］主要研究了周期解的全局存在性及稳定性，而文献［3］则考虑其对应的离散系统的周期解.受文献［1，4］的启发，我们主要以时滞τ为参数，讨论系统(1)正平衡点的稳定性及Hopf分支的存在性，进而得到系统存在小振幅周期解的充分条件.

2 正平衡点的稳定性与周期解的存在性

为了简便，首先作如下假设:

(H3)a11+a22＜0且a11a22－a12a21＞0.

定理1若(H1)与(H2)成立，则系统(1)有唯一的正平衡点.

证明系统(1)的平衡点(N1，N2)满足方程组

考虑到生态模型的实际意义，下面主要考虑正平衡点的有关性质.系统(1)在正平衡点(N*1，N*2)处的线性近似系统为:

则系统(2)对应的特征方程为:

引理1当τ=0时，如果(H3)成立，则方程(3)的根都具有严格负实部.

引理2如果(H3)成立，则方程(3)当τ=τj时，有且仅有一对纯虚根±iω0，其中

根据文献［5］中的推论2.4，指数多项式的零根随参数的变化而出现在或穿过虚轴时，具有正实部的零根总数才会发生改变，从而可以得到特征根的分布情况.

引理4如果(H1)－(H3)成立，则当t∈［0，τ0)时，方程(3)的所有根都具有严格负实部;当τ =τ0时，方程(3)除有一对纯虚根±iω0外，其它根都具有严格负实部;当τ∈(τj，tj+1］时，方程(3)有2(j+1)个具严格正实部的根.

综合引理1－4及Hopf分支定理［6］，我们有如下关于系统(1)的稳定性和分支周期解的存在性定理.

定理2对系统(1)，如果(H1)－(H3)成立，则当t∈［0，τ0)时，系统(1)的正平衡点是渐近稳定的;当τ＞τ0时，系统(1)的正平衡点不稳定;τ= τ0是系统(1)的Hopf分支值，即在τ0的右侧小邻域内，系统(1)从正平衡点附近分支出小振幅的周期解.

3 结论

由主要定理可以知道，时滞τ的改变可以导致系统(1)的不稳定性，在一定条件下，若捕食种群的成熟时滞较小，种群数量达到静态的平衡;当该时滞较大时，两种群的数量将呈周期变化，达到动态的平衡.此外，由于系统(1)的形式比较复杂，对正平衡点的稳定性及局部Hopf分支存在性的研究已经比较困难，关于Hopf分支的全局延拓，还有待于进一步的讨论.

［1］Wang Linlin，LiWantong.Existence of periodic solutions of a delayed predator－prey system with functional response［J］.Int JMath Sci，2002，1 (1－2):55－63.

［2］Wang Linlin，LiWantong.Existence and global stability of positive periodic solutionsofa predator－prey system with delays［J］.ApplMath Comput，2003，146(1):167－185.

［3］Wang Linlin，LiWantong.Periodic solutions and stability for a delayed discrete ratio－dependent predator－prey system with Holling－type functional response［J］.Discrete Dynamics in Nature and Society，2004(2):325－343.

［4］Zhuang Kejun，LiXiangao，Li Zunxian.Local and global Hopf bifurcations for a predator－prey system with two delays［J］.Ann Diff Eqs，2006，22 (3):483－486.

［5］Ruan Shigui，Wei Junjie.On the zeros of transcendental functionswith applications to stability of delay differential equationswith two delays［J］.Dyn Cont Disc Impuls Syst，2003(10):863－874.

［6］Hassard B D，Kazarinoff N D，Wan Y H.Theory and applications of Hopf bifurcation［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1981.

(责任编辑:王宏志)

Q141

A

1008－7974(2011)02－0017－02

安徽省青年科学基金项目(10040606Q01).

2010－10－10

庄科俊(1982－)，江苏金坛人，硕士，安徽财经大学统计与应用数学学院讲师.