问题引领：追求自然生成的概念教学
——以函数的单调性的教学为例

☉杭州外国语学校 钱卫江

问题引领：追求自然生成的概念教学
——以函数的单调性的教学为例

☉杭州外国语学校 钱卫江

数学概念是数学教学的核心和基础，是解决数学问题的前提.课堂教学中，教师应精心设置教学过程，以问题驱动学生参与概念的形成过程，追求自然生成的概念教学.但当前仍然存在着重解题技巧，轻概念生成，忽视对概念本质理解的课堂教学，因而难以有真正意义上的概念建构.如何确立概念教学的核心地位，提高课堂教学的有效性呢？下面以人教A版数学“函数的单调性”概念的教学为例，谈谈笔者在教学实践中的几点体会.

一、教学分析

在研究函数的性质时，单调性是一个重要内容.在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图像得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高：给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图像上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法，最好根据图像观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性，这样就将以上两种方法统一起来了.

由于函数图像是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情景，以利于学生作函数图像，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性的性质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性的理解.

二、教学目标

（1）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识教的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质.

（2）理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力.

（3）能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性和主动性.

三、教学过程

1.创设情境，引入课题

例1图1是上海今年1月某天的气温变化图.观察这张气温变化图，提出问题：

图1

（1）如何描述气温θ随时间t的变化情况？

（2）在区间［4，14］上，θ随t的增大而增大这一特征，要是用数学符号来刻画，该如何表述呢？

（3）能不能说，取t1=5，t2=6，t3=8，t4=10，得到相对应的θ1，θ2，θ3，θ4的值，有θ1＜θ2＜θ3＜θ4，所以在［4，14］上，θ随t的增大而增大？

（4）能不能说，取该子区间内所有的输入值t1，t2，t3，…，tn，得到相对应的θ1，θ2，θ3，…，θn的值，有θ1＜θ2＜θ3＜…＜θn，所以在区间［4，14］上，θ随t的增大而增大？

设计意图：本例中，搭设探究问题的台阶，让学生自己悟出“函数单调性”.通过实际生活中的例子让学生对图像的上升和下降有一个初步感性认识，教师借助有效提问，引出图像升降变化的话题，引导学生思考、交流，诱发学生的学习兴趣和求知欲望，为构建“函数的单调性”概念做了铺垫.另外，通过典型、丰富的实际背景的引入，引导学生开展分析、比较、综合的活动，并概括共同本质特征得到概念的本质属性，是获得概念的常用并且是行之有效的方法.

2.交流互动，形成概念

图2

引导学生画出各函数的图像（如图2）并进行分类描述图像是上升的、下降的（增函数、减函数），同时明确函数的图像变化（单调性）是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质，同时提出问题：

（1）如何用数学语言描述函数图像的上升呢？（学生交流讨论、尝试提炼）

初步交流结果：已知函数f（x），如果对于任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）成立，我们就说，函数f（x）是增函数.

（2）对于函数f（x）=x2，易知此函数图像在（0，+∞）上呈上升趋势，如何用数学语言描述？

生1：在y轴右边，图像呈上升趋势；在y轴左边，图像呈下降趋势.对于任意的正数x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）成立；对于任意的负数x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）成立.

师：很好！对于任意的x1，x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）成立，我们就说，函数f（x）=x2在（0，+∞）上是增函数.函数的单调性概念是函数的一个局部性质，所以在取点的时候，一定要点明所在的区间.

总结概念：一般地，函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）成立，那么就说函数y=f（x）在区间D上是增函数（图3）.

通过设计恰当的问题串，使学生在问题解决的过程中不断完善概念，只有当学生有了实践的体验，概念中一些抽象的关键词才能深刻地印在学生的脑海中.

（3）类比单调增函数概念，你能给出单调减函数的概念吗？

（4）你能找出图1中的单调区间吗？

（5）能说出已经学过的函数的单调区间吗？请同学们举例说明.

图3

通过以上问题串的设置，学生体验数学家概括数学概念的心路历程，体会蕴含其中的数学思想方法，从而实现学习价值的最优化和最大化.

《普通高中数学课程标准（实验）》提出：“概念教学应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质.”在数学教学中，教师应充分发挥学生的主体作用，引导学生积极参与概念生成过程的分析、比较、归纳、综合、抽象、概括等一系列思维活动，通过火热的思考，使学生的直接经验获得抽象与提升，自然地、水到渠成地实现“概念的形成”，并从中体会数学的理性精神.

3.深化辨析，内化概念

在初步形成数学概念以后，再对概念的辨析是不可或缺的环节，在课堂教学中，教师可根据概念的盲点、难点设置一些问题，引导他们辨析，加深学生对概念的理解与记忆.

例3下面说法对吗？

（2）若函数f（x）在（1，3］和（3，5）上均为增函数，则函数f（x）在（1，5）上为增函数.

学生在这一组题目的解答中，逐步完善了对新建立的概念的认识，把握概念的本质属性.

②当1＜2时，f（1）＜f（2）；当2＜3时，f（2）＜f（3）；当3＜4时，f（3）＜f（4），所以是单调增函数.

设计意图：让学生体会符号化、形式化的必要性.另外，通过上述判断题，让学生体会到比较不仅仅是发生在具体的数值之间，而且是任意两个函数值之间都要比较.

4.应用示例，提升概念

教师再举一例进行说明，如图4所示.

进一步提问：函数在定义域内的两个区间A，B上都是增（减）函数，何时函数在A∪B上也是增（减）函数.将函数图像进行变形（如x＜0时图像向下平移），如图5所示.

再一次回归定义，强调任意性.

例5画出函数f（x）=3x+2的图像，判断单调性，并加以证明.

在证明的过程中，强调从定义出发，并给出一般的步骤：设元—代入—作差—变形—判断.

设计意图：函数单调性定义产生是本节课的难点，难在：如何使学生从描述性语言过渡到严谨的数学语言.而对严谨的数学语言的准确理解及正确应用更是学生的薄弱环节，这里通过问题研讨体现了以学生为主体，师生互动合作，来突破难点.

5.归纳小结，提高认识

知识内容的总结：函数单调性定义，判断函数单调性的方法（图像、定义），证明函数单调性的方法（定义）.

思想方法的总结：数形结合、等价转化、类比等.

图4

图5

四、概念教学的一点反思

人们对数学概念的认识都要经历由实践—认识—再实践—再认识的不断深化的过程.学生要形成、理解和掌握基本的数学概念也是一个十分复杂的认识过程，这就决定了对较难理解的数学概念的教学不能一步到位，而是在运用中不断地深化，不断地提高.

本课例中，函数单调性是个重要概念，因此对此概念的获得要让学生慢慢体会其生成的过程.通过气温变化图，提出四个问题，让学生积极投入到设计的问题思考中，为感知、体验单调性的概念做铺垫；第二组在形成概念时的4个问题，让学生自主体验，自然生成单调性的概念；第三组，通过对一些问题的辨析、讨论、领悟，进一步加速对单调性概念的内化；而最后的应用，能将学生对概念的认识提高到一定的高度.

总之，要抓好数学概念的教学，使学生透彻而牢固地掌握数学概念是提高数学教学质量的关键所在，作为一个数学教师，要根据概念教学的具体要求，结合教学实际，大胆开拓、锐意进取，优化概念教学设计，把握概念教学过程，真正使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造，达到认识数学思想和本质的目的.FH