基于能力立意的高考命题研究
——数学高考复习教学设计的视角

☉淮北师范大学数学科学学院 张昆

☉安徽省合肥市教育局教研室许晓天

基于能力立意的高考命题研究
——数学高考复习教学设计的视角

☉淮北师范大学数学科学学院 张昆

☉安徽省合肥市教育局教研室许晓天

一、试题能力立意的内涵

试题的命制过程，包括立意、情境、设问三个方面，立意体现试题的主观考查目的（目标），情境是支持与实现主观立意的材料和介质（即立意的载体），设问是试题的呈现形式.立意是数学高考命题者对数学知识教育价值的理解，高校各不同专业的学生对数学知识、数学方法与数学思想的不同层次的要求等，在命题者的观念中的反映；情境是体现立意需要考查的知识、方法、思想所选择出来的载体；设问是需要学生通过行动解决的问题.

以能力立意命题，首先要确定数学试题的能力考查目标.根据能力考查的要求，选择适宜的数学内容，根据能力要求和知识内容选定试题表述（呈现）形式，立意是宗旨.情境与设问必须要体现能力立意的宗旨，服务于能力考查的立意.以能力立意的命题，首先在命题理念上要体现从学习能力测试来评价学生.

数学高考命题的能力立意，要在试卷框架结构上突出全面的能力因素、多元化的能力层次结构和合理的难度分布.在命题构思上要坚持用数学基本方法解决数学问题，强化能力点的设计，淡化烦琐的运算和冗长的逻辑推理.在试卷设计上要突出创新题型，开发、拓展已有题型的功能，发挥各种题型的组合功能.本文就高考复习教学设计的视角，探究在新课程背景下，高考命题能力立意的现实情况与实现手段.

二、试题能力立意的特点

由于数学新课程的实施、新理念的引入，教学对象——学生的基本素质发生了变化，主要数学教育教学目标已经发生了变化，人们对新课标的理解也在实践与理论的探索中不断地加深.在数学教育教学目标中，利用数学资源实现创新能力培养的要求在提高，数学高考命题也呈现出新气象，具体体现在如下几种特点.

1.数式处理能力

虽然近几年高考命题都力求压缩计算的长度，但是作为数学知识总是绕不开计算的.运算能力的展开基于以下几个方面：算理、算法、数式处理.算理是指在把握问题结构的基础上，从格局上合理布置运算的各个环节，使运算承上启下、有条不紊和结构紧凑，便于运算过程的自然展开；算法是一个将需要引入的运算法则、定理、公式组织成一个紧凑的系统，形成运算的一套程序；数式处理是指相关数的混合运算、式的变形等实际操作过程.

算理、算法与数式处理组成了运算结构的等级层次性，我们将整个运算过程比喻成动工建造一座大厦，其图纸的设计制作犹如算理，采购寻找材料有如算法，砌墙架梁有如数式处理.因此，算理对算法与数式处理具有指导作用，算法是算理对具体的数式处理发挥指导作用的中介与桥梁，具体的数式处理则是算理与算法的体现.

运算能力体现在高考命题中具有相对隐蔽性，在命题者的立意中，往往体现得非常明确，但是在命题设计的情境、命题的设问中，都不会明确地提出来.因此，这种能力的实现，需要考生自己具有相应的素质，也是数学新课程教学与高考复习时，教师要注意的问题.请看下面的例子.

例1（2012年高考新课标卷理科压轴题）已知函数f（x）满足

（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调区间；

分析：对于问题（Ⅰ），依据题设，能够得到f（x）=ex-

研究函数的单调区间，当然需要借助导数来处理. f′（x）=ex+x-1.当x=0时，f′（x）=0；当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0.于是函数f（x）在区间（-∞，0）上是减函数；在区间（0，+∞）上是增函数.

对于问题（Ⅱ），把③代入②，化简，得不等式ex-（a+ 1）x-b≥0④.我们想由不等式④构造出（a+1）b的表达式，可以将④写成ex≥（a+1）x+b⑤，具有两种途径：将不等式⑤的左右两边平方，或者审视⑤的右边，利用基本不等式，都可以达到目的，可惜，虽然能够构造出（a+ 1）b的表达式，但是后面的思路受阻，这种想法得不到执行.此时，我们又产生了一种想法，可否直接构造（a+1）b的一种表达式？由不等式④，知b≤ex-（a+1）x⑥，考虑将不等式⑥两边都乘以a+1，这需要进行区别对待.

（1）当a+1＞0时，则（a+1）b≤（a+1）ex-（a+1）2x.设g（x）=（a+1）ex-（a+1）2x.令g′（x）=（a+1）ex-（a+1）2=0，由于a+1＞0，则ex-（a+1）=0⇒x=ln（a+1）.当x∈（-∞，ln（a+1））时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当x∈（ln（a+1），+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增.

故函数g（x）有最小值g（ln（a+1））=（a+1）2-（a+1）2ln（a+ 1）.所以不等式④等价于（a+1）b≤（a+1）2-（a+1）2ln（a+ 1）⑦.于是只要获得不等式⑦的右边的最大值就行了.设h（t）=t2-t2lnt（t＞0）.令h′（t）=2t-2tlnt-t=t-2tlnt=t（1-2lnt） =0，得t=0（舍去）或）时，函数h（t）单调

（2）当a+1≤0时，请读者自己验证，此时都不能保证不等式⑥恒成立.

本例的问题（Ⅰ）难度不大，只要列出相关的方程就可以解决了.对于问题（Ⅱ），有许多手段可构造出（a+1）b的表达式，但是从不等式⑤中间接产生的不等式都难以达到目的，我们只得直接从不等式⑥中构造出（a+1）b的表达式，此时，对a+1的正负判断也就水到渠成了.于是，构造所需要的目标式，使问题得以解决.

事实上，我们在听课时，老师并没有给出从不等式④，到不等式⑤，再到不等式⑥的一系列构造过程，而是直接针对不等式④设g（x）=ex-（a+1）x，求导数，再对a+1分正数与非正数加以讨论.为什么要构造函数g（x）与求导？为什么要对a+1分这些情况进行讨论？对学生而言，这些活动环节的取得都似乎是教师在变魔术，学生的心理是难以理解和承受的，学生可能要怀疑自己的智力是否低下，否则，为什么不能产生像老师讲题时的那种奇思妙想呢？这些都是算理上要解决的问题.

2.逻辑思维能力

数学玩的是逻辑、关系与模式.从某种意义上说，数学是逻辑的代名词.尽管对逻辑思维具有各种不同的认识，但是，逻辑过程要求褪尽铅华，洗去尘滓，纯而又纯，简练到一尘不染［1］.逻辑是表达思想、说服他人最为有力的手段.但是从数学解题教学设计的视角上看，必须将这种逻辑的表达过程转化为满足学生发生数学认识的心理活动过程，这是教师需要努力的关键之处.

例2（2012年高考湖北理科第22题）（Ⅰ）已知函数f（x）=rx-xr+（1-r）（x＞0），其中r为有理数，且0＜r＜1，求f（x）的最小值；

（Ⅱ）使用（Ⅰ）的结果证明如下命题：

设a1≥0，a2≥0，b1、b2为正有理数，若b1+b2=1，则≤a1b1+a2b2①；

（Ⅲ）请将（Ⅱ）的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的结论.

注：当α为正有数时，其求导公式为（xα）′=αxα-1.

分析：对于问题（Ⅰ），直接利用导数求函数f（x）的最小值就行了.f′（x）=r-rxr-1=r（1-xr-1）.令f′（x）=0，知x=1.当0＜x＜1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函数；当x＞1时，f（x）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上是减函数.故函数f（x）在x=1处取得最小值f（1）=0.

对于问题（Ⅱ），由（Ⅰ）的结论知f（x）≥f（1）=0，即rx-xr+（1-r）≥0，即xr≤rx+（1-r）②.如何将a1≥0，a2≥0，b1、b2为正有理数，b1+b2=1等条件应用到不等式②中去？注意到不等式②，知只要证明不等式中的相关事实：r+（1-r）=1，对应于b1+b2=1，可设b1=r，则b2=1-r.现在主要问题是如何给x赋值.我们不能直接构造出不等式①的左端，它可以写③，不等式①的右端为a1b1+④.关联③、④、⑤成立就行了.取此时满足a1≥0，a2≥0，b1、b2为正有理数，代入不等式①，知不等式⑤成立，化简，知≤a1b1+a（21-b1），即≤a1b1+a2b2①.

本题中将不等式①构造成适合不等式②的形式，不是直接的，关键在于我们将不等式①转换成可以适合不等式②的一种形式，这种解法就是：利用b1+b2=1这个等式减少变元的个数.

对于问题（Ⅲ），（Ⅱ）中的命题推广的形式为：设a1≥0，a2≥0，…，an≥0，b1、b2、…、bn为正有理数，若b1+b2+…bn=1，则a1b1+a2b2+…+anbn⑥.现在用数学归纳法证明如下.

（1）当n=1时，b1=1，此时a1≤a1成立，即不等式⑥成立.

（2）假设当n=k时，不等式⑥成立，即若a1≥0，a2≥0，…，ak≥0，b1、b2、…、bk为正有理数，b1+b2+…+bk=1，则…·≤a1b1+a2b2+…+akbk.当n=k+1时，若a1≥0，a2≥0，…，ak≥0，ak+1≥0，b1、b2、…、bk、bk+1为正有理数，b1+b2+…+bk+bk+1= 1，则0＜bk+1＜1，1-bk+1＞0⑦，从而⑧.基于⑦、⑧，我们就是如此引导学生从，由归纳假设，知（1-bk+1）+ak+1bk+1=a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1.故当n=k+1时，不等式⑥成立.

由（1）、（2）知：对一切正整数n，所推广的命题成立.

说明：问题（Ⅱ）的解决中，不等式⑤的获得只是要构造已经取得的不等式②，这一点对学生来说是比较好理解的.关键问题在于问题（Ⅲ）中的不等式⑧的取得，就给人以神来之笔的感觉，教学中的关键环节就应该是仔细研究不等式⑧在学生心理上是如何发生的.事实上，在实际教学中，学生向老师追问不等式⑧是怎样想到的，这是教师在解题教学设计中必须要仔细考虑的，否则，在学生的思想中就会产生如波利亚所说的“从帽子里变出兔子”的感觉.

教学设计的修改：本例问题（Ⅲ）中的不等式⑧，构成了教师解决这道题的教学设计的关键环节.处理它的方法之一，就是审视问题的整体结构，在数学归纳法的“递推步”中，如何处理题，我们想运用（Ⅱ）的结论不等式①这一知识框架来套用它，结合归纳条件，将式⑨写成式⑩括号内的看成一个因式，即不等式①中的a就是不等式①中的ab22.由于b1+b2=1，因此，我们首赋予一个指数1-bk+1，从而构成bk+1+（1-bk+1） =1，于是根据幂的乘方法则，知心理上构造出了等式⑧，如此，就将⑩转化成了等式⑧的右端，它就适应了知识框架不等式①.

我们通过对式⑩的结构分析，灵活地使用了框架不等式①，即将式⑩化归成不等式①，就必然要构造出运用不等式①的重要条件b1+b2=1.在此观念的指导下行动，进行了一系列的构造，完成了从解题过程中数学知识的逻辑性的发生，到学生数学知识心理过程的发生.

3.空间想象能力

培养学生的空间形象能力是立体几何的真正价值之所在.在高考命题时，力争鼓励学生从具体、直观的立体几何图形中，由自己依据问题的目标，操作作图；依据图形的主要特点，经由观察、辨别、选择合适的材料，构建决定问题结构的轮廓；经过类比、比较、试探等手段，使得联想与想象的材料（线、面、体）进入问题的情境，将图形已经具有的特点构成稳定的结构，这种稳定的结构是对图形的深层次的把握.

例3（2009年高考安徽卷理科第19题）如图1，四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.

图1

（Ⅰ）求二面角B-AF-D的大小；

（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积.

在命题时，没有画出四棱锥E-ABCD的用意，不只是害怕学生在解决问题（Ⅰ）时，图形中所出现的错综复杂的线条对学生造成干扰，更重要的是体现我们上述所论述的数学课程目标，引导教师在课程实施中如何实现数学课程目标.学生在寻找这道题的思路时，操作图形时，便绕不过从图2到图3，再到图4这一整套过程.

图2

图3

图4

考生比较容易画出图2，在图2中确定四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分不是一件容易的事儿，他们必须首先确定图形的遮掩，分别用实线与虚线加以区别；然后判断图形中线与线之间可能产生的交点，此时，一定会有学生产生图3形式的错误，误认为P、Q、S、R皆是所得到的线与线之间的交点，考生必须要从这种混乱的观念中突破出来，否则，就不可能得到正确的问题解答思路.

此时，直观感知就不能给我们以更多的帮助了，解题者必须要经由自己的想象能力与联想能力的介入，才能去伪存真，排除掉鱼目混珠的假交点.事实上，由于底边四边形是菱形，我们知道，面ADE与面ABE、面CDF与面BAF都是关于面AEFC镜面对称，稍作想象，我们就可以直观地看出，面CDE与面CDF的相交线是CD，于是点S不是直线CE与直线DF的交点，同理可知点P不是直线DE与直线AF的交点，点Q不是直线BE与直线AF的交点；只有点R是直线AF与直线CE的交点.

我们命题的意旨就是促成考生经过如此的一系列探究，方能作出判断与选择，在所作的四棱锥E-ABCD中，最终确定了只有直线AF与直线CE相较于点R，于是，便能够迅速地知道面CDE与面ADF相交于直线RD，面BCE与面ABF相交于直线RB，如此，四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥R-ABCD，余下的只是求其体积就行了.

从设想与预计考生的解答思路中，我们发现，决定问题最终结论的计算只是一个简单的平面图形图5，这就化归到了数学基本知识的要求.然而解决问题的整个过程中探究活动的展开，基本图形图5的提取，由我们的分析知道，深刻地体现了数学新课程所设定的数学教育一系列的课程目标.命制这道高考数学题的创新之处正在于在所给定的题图中不作出四棱锥E-ABCD，考生必须经过操作、猜想、想象、比较、辨别、选择等智力投入，形成千回百转的思想活动，才能获得解决问题的思路.如此实现了新课程理念：实践与应用，并且难度也控制得非常成功，诱导考生充分发挥现实问题与数学问题相互交替的作用，有效地考查学生的空间想象能力.

4.创新能力

在有意无意中，高考数学命题被当成了实施数学课程的“指挥棒”，这是人人都不否认的，它反过来作用于数学课程目标与数学教育教学目标.因此，出现在高考数学真卷上的试题，就不仅仅只具有选拔功能的一面，更为重要的是它从反方向上制约着数学课程实施中数学教育教学目标的达成及其实现程度.因此，考查创新能力的命题也就因之而出了.

例4（2012年高考江西理科第21题）若函数h（x）满足：（1）h（0）=1，h（1）=0；（2）对任意a∈［0，1］，有h（h（a））=a；（3）在（0，1）内单调递减，则称函数h（x）为补函数.已知函数

图5

（Ⅰ）判断函数h（x）是否为补函数，并证明你的结论.

（Ⅱ）若存在m∈［0，1］，使h（m）=m，称m是函数h（x）的中介元.记时h（x）的中介元为xn，且Sn=若对任意的n∈N*，都有，求λ的取值范围；

（Ⅲ）当λ=0，x∈［0，1］时，函数y=h（x）的图像总在直线y=1-x的上方，求p的取值范围.

分析：对于问题（Ⅰ），只要依照补函数的定义一项一项地验证就行了.由补函数的定义，知（λ＞-1，p＞0）是补函数.

对于问题（Ⅲ），当λ=0时，由问题（Ⅱ）的解答，知函数h（x）的中介元为.（ⅰ）若0＜p≤1，知所以对中介元xp而言，而y=1-，则函数y=h（x）的图像不总在直线y=1-x的上方.（ⅱ）当p＞1时，依据题意只须在x∈（0，1）时恒成立，化简成xp+（1-x）p＜1在x∈（0，1）时恒成立.设k（x）=xp+（1-x）p，x∈（0，1），则k′（x）=p［xp-1-（1-x）p-1］.由 k′（x）=0，知时，k′（x）＜0；当x∈时，k′（x）＞0.又因为k（0）=k（1）=1，所以在x∈（0，1）时，k（x）＜1.

综合（ⅰ）、（ⅱ），知p的取值范围为（1，+∞）.

本例通过定义“补函数”与“中介元”，以此为基础，形成了两个方面的创新：其一，命题的创新，这些虽然是在命题者的要求下所进行的研究活动，而不是学生自发地进行研究的过程中自己产生的相关的观念与思想，但是，也能使得考生真正感受像数学家一样地理解数学、研究数学、为解决数学问题而开拓材料、方法等一整套的过程；其二，解题的创新，例如，由“中介元”的定义，生成了一个等比数列，“中介元”又是解决问题（Ⅲ）的必备条件，解题的创新在这一系列的过程中展示出来了.

三、试题能力立意的启示

在高考命题从知识立意向能力立意转变时，有部分教师认为：学生最薄弱的环节是阅读理解能力比较差，影响了审题，乃至逻辑推理、运算等能力的发挥.其实不然，能力的考查中渗透着抽象、概括、数学联结、数学交流等方面的能力，交织着对社会生活的体验程度，对学习数学的情感、态度和价值观的体悟，所有这些方面的实践，现在都得到相应的强调（如同学生的运算能力差，是否都可以归结为粗心大意的原因呢？），问题也暴露了，但是在理论上还没有找到真正的原因.［2］

我们知道，客观上可以如此说：高考是教学的指挥棒.希望在转变教育观念、更新评价理念和调整课程内容的变革中，使中学数学教学有所突破，使学生的数学素养更上一个台阶.高考命题的能力立意正在走向深入，我们将竭尽全力，去实践能力立意的命题使命.我们相信高考命题全面落实能力立意之时，必将是研究性学习和创新教学产生良性互动作用、一代新人的数学素养全面提高之日.

1.张昆.渗透目标观念驾驭数学高考［J］.中学数学（上），2013（6）.

2.陈嘉驹，查建国.高考命题体现能力立意的策略［J］，数学通报，2003（8）.Y