“技巧”舞出的是“玄妙”“通俗”演绎的是“精彩”
——2014年高考福建卷数学压轴题另解与思考

☉福建省福州华侨中学 李文明

“技巧”舞出的是“玄妙”“通俗”演绎的是“精彩”
——2014年高考福建卷数学压轴题另解与思考

☉福建省福州华侨中学 李文明

数学解题彰显数学本质是数学解题的根本所在，无技巧就是最好的技巧；解题方法追求浑然一体，而不是突发奇想，顺势而为，水到渠成.2014年福建高考数学压轴题解法虽然多样，但是每一种方法中都夹杂了解题者“超然”的“智慧”，令考生望尘莫及，望而生畏.到底有没有解决问题的“通俗”方法呢？值得探究，值得挖掘.

一、试题呈现

已知函数f（x）=ex-ax（a为常数）的图像与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线的斜率为-1.

（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的极值；

（Ⅱ）证明：当x＞0时，x2＜ex；

（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex.

二、命题目的

本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词与存在量词等基础知识；考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想.

三、官方解答

解法1：（Ⅰ）f′（x）=ex-a.

由f′（0）=1-a=-1，得a=2.

所以f（x）=ex-2x，f′（x）=ex-2.

令f′（x）=0，得x=ln2.

当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增.

所以当x=ln2时，f（x）取得极小值，且极小值为f（ln2）=2-ln4，无极大值.

（Ⅱ）令g（x）=ex-x2，则g′（x）=ex-2x.

由（Ⅰ）得g′（x）=f（x）≥f（ln2）＞0，因此，当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex.

（Ⅲ）①若c≥1，则ex≤cex.

由（Ⅱ）知：当x＞0时，x2＜ex，则当x＞0时，x2＜cex.

取x0=0，当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex.

当x＞2时，h′（x）＞0，h（x）在（2，+∞）内单调递增，取x0=16k＞16，所以h（x）在（x0，+∞）内单调递增.

h（x0）=16k-2ln（16k）-lnk=8（k-ln2）+3（k-lnk）+5k.

易知k＞ln2，k＞lnk，5k＞0，所以h（x0）＞0，即存在x0=当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex.

综上所述，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex.

解法2：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法1.

由（Ⅱ）知当x＞0时，x2＜ex，所以

当x＞x0时，

因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex.

解法3：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法1.

由（Ⅱ）知：当x＞0时，x2＜ex，从而h′（x）＜0，则h（x）在（0，+∞）内单调递减，所以h（x）＜h（0）=-1＜0，即

当x＞x0时，有

因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex.

四、剖析点评

1.点评

作为高考试题的压轴题的第三问，毫无疑问是本卷最难的问题，具有极强的区分度和效度，最能体现高考的选拔功能，官方给出问题的三种解法，而且每一种解法都要借助于问题（Ⅱ）的结论，真的一定要如此进行吗？难道问题（Ⅱ）是必经之路吗？三种解法中，x0选取了三个不同的特殊值，它们之间有何关系？为什么要选取这样三个不同的值？为什么这样的特殊值就能够达到证明目的？耐人寻味，发人深省！

2.剖析

要使不等式x2＜cex成立，只要2lnx＜lnc+x成立.设h（x）

当0＜x＜2时，h′（x）＜0；当x＞2时，h′（x）＞0.

所以h（x）min=h（2）=2-2ln2+lnc.

当c≥1时，h（x）min=h（2）≥2-2ln2＞0，即当x＞0时，恒有x2＜cex，于是命题（Ⅱ）得证.

因为h（x）min=h（2）≥2-2ln2＞0，所以h（x0）＞0，因此，当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0恒成立，即有x2＜cex.

五、创新再解

令y=c（c＞0，c是常数）.

当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当0＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减.

所以当x=0时，g（x）取得极小值g（0）=0；当x=2时，g（x）取得极大值因此g（x）的值域是［0，+∞），如图1所示.

图1

图2

所以当x＞0时，x2＜ex，即问题（Ⅱ）得证.

图3

两个交点的横坐标分别是x1、2（x1＜2）.

令x0≥2，当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex.

图4

三个交点的横坐标分别是x1＜x2＜x0（x1＜0，0＜x2＜2，x0＞2）.

综上所述，当x＞0时，x2＜ex；对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex.

六、感悟反思

（1）《2014年高等学校全国统一考试福建考试说明》中明确指出了数学高考命题所要考查的函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想、有限与无限思想、必然与或然思想这7个重要的数学思想方法，由此可见这道理科数学压轴题所要承载的使命是沉重的，令人费解的是本题考查了7种数学思想中的5种之多，没有考查必然与或然数学思想在情理之中，但是函数问题不考查数形结合思想实属罕见.数形结合思想不仅是非常重要的数学思想，更是解决函数问题的利器！函数的解析式与函数图像是函数问题的两个最重要的支撑，是“数”与“形”和谐统一的重要标志，函数、方程、不等式三者关系中，函数是“根”，函数是“魂”，函数是现实世界客观事物不断运动变化规律的高度概括与抽象，而方程、不等式只是函数的两种特殊状态！我们解决问题不能舍本求末，更不要本末倒置.恰当运用数形结合，起到了化繁为简，化难为易的作用.数学解题最重要的是彰显数学本质，因势利导，顺势而为，不能虚张声势，更不能欲盖弥彰，尤其是高考标准答案更应有利于中学数学教学，有利于培养学生的思维能力.

（2）《2014年高等学校全国统一考试福建考试说明》中明确阐述了高考试题的命题指导思想是：贯彻课程理念推进素质教育，立足基础知识注重整体设计，淡化特殊技巧强调思想方法，彰显能力立意突出问题解决，坚持学以致用强化应用意识，倡导开放探索关注创新意识，体现层次要求控制试卷难度这7个重要的指导思想，这7种思想是一个有机的整体，要真正贯彻落实到高考命题和“参考答案”制定的每一个环节.高考命题是“提出问题”的过程，而“参考答案”是“解决问题”的过程.高考试题所承载的命题目的和命题思想主要是通过“问题解决”才能得到落实和展现！说的好不如做得好，要淡化特殊技巧强调思想方法，数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中．因此，对数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想、方法的理解和掌握程度．考查时，要从学科整体意义和思想含义上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴含的数学思想和方法的掌握程度．我们的数学教育和数学教学并不反对“数学技巧”的运用，但是我们不能有意或无意地过分夸张和渲染“技巧”的作用.数学教育教学要返璞归真，数学教育教学要回归自然.高考数学题的“参考答案”理应是数学解题的典范，我们的数学解题决不能为解题而解题，一定要在问题的引领下，帮助学生开拓思维空间，使我们的不懈努力丰富学生的数学理解，激发学生的数学潜能，启迪学生的数学思维，培养学生的数学智慧.通过问题探究与解决，为学生开启解决同类问题的一道门户，开辟通往数学美妙世界的一个通道，尽可能让学生在数学问题的解决过程中享受和体验数学的简洁之美，自然之美，和谐之美，“尽可能少用“技巧”舞弄“玄妙”，多用“通俗”演绎“精彩”.

1.蔡小雄.启迪思维是数学习题教学的首要［J］.中学数学（上），2013（8）.

2.李文明.问非所答答非所问［J］.数学通报，2011（2）.

3.李文明.同源三省压轴题通法再解顾大局［J］.（广东）中学数学研究（高中版），2014（9）.