经历探究发现验证训练思维推理能力*
——以人教版七年级下册“平行线的性质”（第1课时）为例

☉贵州省道真自治县玉溪镇中心学校　胡　军

☉贵州省道真自治县上坝中学胡昌应冉胜植

经历探究发现验证训练思维推理能力*
——以人教版七年级下册“平行线的性质”（第1课时）为例

☉贵州省道真自治县玉溪镇中心学校胡军

☉贵州省道真自治县上坝中学胡昌应冉胜植

《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标》）把“推理能力”作为数学课程的十个核心概念之一.指出推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，包括合情推理和演绎推理.其内容范围限于“数学发现与验证”；目标层次为“能力—思维训练”；过程展开为“合情推理和演绎推理”；结果提炼为“事实丰富、过程合理；论据充分、推理严谨”.本文以“平行线的性质”（第1课时）为例，就教学内容和内容解析、学情分析及问题诊断、教学目标及重难点在教学过程中如何经历“操作—发现”、“类比—分析”、“验证—推理”等环节的教学活动探究进行相关分析，与同行进行探讨.

一、内容和内容解析

（一）内容

人教版《义务教育教科书·数学》七年级下册“平行线的性质”第1课时.

（二）内容解析

教科书由平行线的判定引入，设置一个“探究”，让学生通过画图、测量、猜想等活动，探究发现两条平行线被第三条直线所截形成的同位角的数量关系，通过操作确认，直观推理验证得出平行线性质1《.课标》要求了解平行线性质的证明，教科书将“两直线平行，同位角相等”放在九年级“圆”一章中用反证法证明，这有别于《课标》（实验稿）将其定位为“基本事实”，通过“操作确认”来获得，这是《课标》的一处重要变化.一个“思考”，利用性质1推理得出平行线的性质2、性质3，这一过程体现了由实验几何到论证几何的过渡，渗透了简单的推理，突出了数学在培养良好思维品质方面的价值；包含了研究几何图形的基本内容、套路和方法，对今后学习其他图形有“示范”的作用.从“命题”角度分析，本节所涉及的命题与上节刚好互为逆命题，呈现了命题“因”“果”的辩证转化，为下一节学习命题、定理、证明的推理有着承前启后的作用.

二、目标和目标解析

（一）目标

（1）理解平行线的性质，并会进行简单的推理.

（2）经历平行线性质的探究过程，从中体会研究几何图形的一般方法.

（二）教学目标解析

达成目标（1）的标志是：①知道平行线性质的内容：明确它们的条件是什么、结论是什么；②已知两条直线平行，应立刻想到同位角、内错角相等，同旁内角互补，并能在给定的图形中找出这些相等的角或互补的角；③防止误认为“同位角”、“内错角”总是相等的，“同旁内角”总是互补的；④会运用性质进行简单的推理，在给出的推理中，能够说出推理的依据.

达成目标（2）的标志是：①学生通过实验探究、操作确认获得性质1；②借助已有相关知识，通过推理得到另外两个性质；③知道平行线的判定和性质的异同；④能用自已的语言叙述获得性质的过程.

三、教学重、难点

重点：探究发现平行线性质及验证推理过程；

难点：平行线的性质2、3的推理过程的逻辑表述.

四、学情分析及问题诊断

平行线的性质是学生对图形性质的第一次系统研究，对于研究过程和研究方法都是陌生的，所以学生需要在老师的引导下类比研究平行线的判定的过程来构建平行线性质的研究过程.对于作为培养学生推理能力的内容——性质2和性质3的得出，学生可以做到说理，但把推理过程从逻辑上叙述清楚存在困难，需要教师先做示范，然后进行摸仿.推理过程的符号化，对于刚刚接触平面几何的七年级学生而言，具有一定的难度.为此，在推理过程符合逻辑的前提下，对学生在证明过程中使用文字语言还是符号语言进行表述不作限制，更多关注学生对推理本身的理解.

五、设计理念

以《课标》“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”的基本理念为依据；以“操作—发现”、“类比—分析”、“验证—推理”为主线设计课堂教学活动；以学生看得到、感受得到的基本生活素材创设问题情境，循序渐进地引导学生认真思考分析，初步感知简单的推理，构建言之有理、有依有据的基本思维方式，养成“事实丰富、过程合理；论据充分、推理严谨”的思维习惯.

六、教学过程实录及评析

活动1：创设情境，设疑激思.

例1如图1，在建道安高速公路（贵州省高速公路规划“678”网的第三纵线）时，在我县境内某前方遇到一座高山，为了降低施工难度，工程设计师决定绕过这座山，如果第一个弯是左拐30°（图2），那么第二个弯应朝什么方向.才能不改变原来的方向？

图1

图2

图3

师：在这个问题中包含了什么数学问题？怎样将它转化成数学问题？

学生议论纷纷，但表达不清楚.

师：上节课我们学习了平行线的三种判定方法，分别是什么？

学生：思考后回答（过程略）.

师（多媒体演示，几何画板动画演示图1～图3的变化过程）这个问题包含了两条平行线被第三条直线截得的有关角的数学问题，我们已学习了用角的数量关系来确定线的位置关系，反过来，怎样用线的位置关系来确定角的数量关系呢？这就是我们本节课要研究的平行线的性质（板书：课题平行线的性质）.

评注：活动1用“例1”展示在建道安高速公路时的施工情境，让学生经历生活数学，从现实生活情境中发现数学问题，感知数学源于生活，服务于生活；借助几何画板演示，使学生认识几何图形是从实际生活情境中抽象出来的；“如果第一个弯是左拐30°，那么第二个弯应朝什么方向？”让学生处于一种“似懂非懂”、“似会非会”、“半生不熟”的状态，感到解决问题的困难.从复习平行线的判定，联想到由角的数量关系确定线的位置关系，教师设问“反过来，怎样用线的位置关系来确定角的数量关系呢？”实现了“用线的位置关系确定角的数量关系”的思路，有效渗透了数形结合思想，唤起了学生的解决问题意识，激发了学生强烈的求知欲望，调动了学生的学习积极性.

活动2：实验操作，探究性质.

探究1：两条平行线被第三条直线所截得的同位角会具有怎样的数量关系？

实验探究：教师要求，学生任意画出两条平行线（a∥b），画一条截线c与这两条平行线相交，标出8个角（统一采用阿拉伯数字标角）（如图4）.请同学们“操作—发现—验证”图4中的同位角有怎样的数量关系？

找一找：图4中，哪些是“同位角”？

量一量：准确地量出图4中“同位角”的度数.

猜一猜：通过度量，你发现怎样的猜想？

图4

试一试：如图4，变换截线c的位置至d，经历再度量的过程，你发现了什么结论？

拼一拼：将图4中的同位角任选一组剪下后拼一拼，叠合后的结果与你的猜想发现一样吗？

演一演：教师用几何画板，拖动截线位置直观演示验证上述猜想（过程略）.

议一议：将你探究发现的结论与小组同伴交流，并类似平行线的判定，用自已的语言归纳概括猜想结论.

学生通过以上活动，由操作确认，从而得出平行线的性质1.

教师板书：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等（简单说成：两直线平行，同位角相等）.

师：你能将“两直线平行，同位角相等”用图形准确地表示出来吗？再根据图形能写出符号语言吗？

学生画图，并根据自己所画图形写出符号语言，教师巡视并了解学生的学习情况，对部分学生个别辅导，然后集中讲评（过程略）.

评注：数学发现的一个重要手段就是观察与实验，实验的过程，就是提出猜想结论的过程.为了探索发现问题的结论，活动2利用学生熟悉的三线八角，“找一找”图中的同位角，明确探究对象；“量一量”图中同位角的度数，直觉发现“两直线平行，同位角相等”的事实；“猜一猜”两直线平行，同位角的数量关系，提出合理的猜想，感性认识“两直线平行，同位角相等”；在“试一试”、“拼一拼”的学习活动中通过触觉、视觉等多种分析器官共同参与的多种操作活动验证猜想，确认“两直线平行，同位角相等”的真实性；特别是教师利用几何画板的直观演示，用两块三角板的平行移动，让学生观察“移动过程中的不变量”，渗透了观察能力的培养，为抽象的数学思维提供了直观的模型，拓展了学生的思维动态想象空间，给学生提供了更为充分的归纳推理环境，突出了归纳推理的过程.小组合作“议一议”让学生有条理地思考，理性概括探究发现的结论，并会用数学语言和符号语言叙述，“水到渠成”得出平行线性质1.整个过程让学生经历了平行线性质1的发现验证的思维过程，学生的思维活动被激活了，受到了数学思想方法乃至数学观念的训练，体验到在数学理论的产生过程中，数学不仅有严密的逻辑推理，抽象的演绎论证，也有直观、猜想、非逻辑性，而且也有合情推理.

活动3：类比思考，推导性质.

思考1：类比上一节课利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”的方法，同学们能由性质1推出两条平行线被第三条直线所截得的内错角（∠2与∠3）又有什么数量关系呢？

师：（引导学生分析）如图5，由性质1，直线a∥b，可得什么结论？

众生：∠1=∠2.

师：依据是什么？

生：两直线平行，同位角相等.

师：图5中的∠1与∠3是什么角？

生：（迫不及待）对顶角，对顶角相等，可得∠1=∠3.

图5

师：由∠1=∠2，∠1=∠3推出什么？

众生：∠2=∠3.

师：上面的分析过程实际上就是已知直线a∥b，推出∠2=∠3.

师：想一想，谁来用数学语言简要表述推理过程.

生：如图5，直线a∥b，c是截线，根据“两直线平行，同位角相等”，得到∠1=∠2，又∠1与∠3是对顶角，由对顶角相等得到∠1=∠3，所以∠2=∠3.

师：类比性质1，你能用文字语言表述上面的结论吗？

学生答教师板书：平行线的性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.

师：你能将“两直线平行，内错角相等”的图形准确画出来吗？你能结合图5用符号语言表述性质2吗？

生：如果a∥b，那么∠3=∠2.

思考2：如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角又有什么数量关系呢？

学生分组讨论，师生共同交流.

师：谁先来说说你的想法？

生：（思考、议论后回答）如图5，因为a∥b，所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），又∠1与∠4互为邻补角，所以∠1+∠4=180°（邻补角定义），所以∠2+∠4= 180°.

师：谁能用文字语言表述上面的结论？

生抢答师板书：平行线的性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.

评注：类比是思维过程中由特殊到一般的推理，是合情推理的主要形式之一.活动3设置2个思考题，引导学生类比平行线的判定，用说理的方式由性质1推导性质2、3.对于推理，由于学生还比较陌生，不知道应由什么，根据什么，得出什么，特别是推理所用的三段论的形式——由小前提得到结论，以大前提作为理由，一下子也很难适应.因此，逐步深入地让学生学会说理，是本章的一个难点.此环节学生在老师的引导下通过类比为学生创设“最近发展区”，引导学生将新内容、新问题与相关的旧内容、旧问题进行比较，由条件或形式类似，猜想结论或解决的途径类似，从而产生积极的认知活动，逐步构建研究思路，循序渐进地引导学生根据性质1推导性质2，通过互动交流，说理训练，学生也能对推理的理由、三段论的表达形式有进一步的认识，这样用前一步为后一步做准备，逐步提高，慢慢教会克服困难的办法，有效突破了从“说理”向“简单推理”过渡这一教学难点，并且渗透从特殊到一般的思想，遂步从合情推理过渡到演绎推理.

活动4：理性思考，理解性质.

例2判断下列说法是否正确.

①两直线平行，同旁内角相等；②两直线平行，内错角互补；③同位角互补，两直线平行.

例3如图6，直线a、b不平行，被直线c所截，同位角∠1与∠2、内错角∠2与∠3还相等吗？同旁内角∠2与∠4还互补吗？

图6

生：（思考后）同位角∠1与∠2、内错角∠2与∠3不相等，同旁内角∠2与∠4不互补.

师（强调）：只有在两直线平行的条件下才有同位角、内错角相等，同旁内角互补，这是我们本节课学习的平行线特有的性质，并不是所有三线八角中的同位角、内错角都相等，同旁内角都互补.

评注：活动4让学生充分理解平行线性质结论的前提是“两条直线平行”，通过3个判断和图形的变式，既突出了两直线平行的位置关系的实质，又抓住了同位角、内错角、同旁内角的数量关系的核心和关键，在理性上感知平行线性质1的特征.

活动5：知识应用，巩固新知.

例4如图7，平行线AB、CD被直线AE所截.

（1）从∠1=110°，可以知道∠2是多少度吗？为什么？

（2）从∠1=110°，可以知道∠3是多少度吗？为什么？

（3）从∠1=110°，可以知道∠4是多少度吗？为什么？

图7

师生活动：教师首先引导学生分析，学生独立解答例题中的问题，同组学生相互补充，然后教师根据学生的解答板书准确的解题形式（过程略）.

巩固练习：

1.如图8，直线a∥b，∠1=54°，∠2，∠3，∠4各是多少度？为什么？

2.如图9，AB∥CD，AE∥CF，∠A=39°，则∠C是多少度？为什么？

3.如图10，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE=60°，∠B=60°，∠AED=40°.

①DE和BC平行吗？为什么？

②∠C是多少度？为什么？

图8

图9

图10

学生独立练习后教师讲评，过程略.

评注：巩固练习的第1、2题直接利用平行线的性质来计算，目的是巩固平行线的性质；第3题先应用判定再应用性质，强化二者的区别和联系，为下一环节归纳总结平行线的性质和判定的区别教学作准备；这一环节教师首先引导学生分析例4，帮助学生根据图7理解“平行线AB、CD被直线AE所截”（文字语言）的含义是AB∥CD，AE是截线，∠1与∠3是同位角，∠1与∠2是内错角，∠1与∠4是同旁内角，然后根据平行的三个性质分别得到∠2、∠3、∠4的度数，目的是巩固平行线的三个性质，然后通过“为什么”训练学生学会文字语言符号化，已知条件图形化，促进文字语言、符号语言、图形语言之间的相互转化训练，培养了学生的逻辑推理能力，有效地突破了“推理过程的逻辑表述”这一教学难点.

活动6：归纳理解，回归现实.

师生活动：教师要求学生先说出平行线的判定与性质的条件、结论，然后小组讨论，平行线的判定与性质之间有什么区别？

师（概括）：“平行线的判定”研究的是两条直线与第三条直线相交所得的角（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）的数量关系确定两直线的位置关系（平行）.“平行线的性质”研究的是两条平行（位置关系）直线被第三条直线所截时，就一定有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补（数量关系）.

师（追问）：你们能叙述研究平行线性质的过程和方法吗？

学生：（你一言，我一语）根据板书过程回忆本节课研究平行线性质的过程和方法（过程略）.

师（归纳）：借助于一条直线与另外两条平行直线相交所成的角，通过观察、度量、猜想、验证等活动归纳出平行线的性质1，并用“简单推理”，由性质1推导出性质2、3，研究了平行线的性质.

师（追问）：通过学习，你能不能用本节课所学知识解决课前提出的例1呢？第二个弯应朝什么方向？依据是什么？

众生：第二个弯是右拐30°方向.依据是：两直线平行，同位角相等.

师：请课后思考解决下面的的问题：

如图11，一自行车运动员在一条公路上骑车，两次拐弯后，和原来的方向相同（即拐弯前后的两条路互相平行），若测得第一次拐弯的∠B是142°，则第二次拐弯的∠C应是多少度才合理？为什么？

图11

评注：活动6通过回顾，帮助学生梳理本节课所学内容，掌握本课核心内容——平行线的性质；让学生讨论归纳思考平行线的“判定”和“性质”的区别，由此得出平行线的判定讨论的是确定两直线平行需要什么条件，平行线的性质讨论的是平行线有怎样的特性；学生“叙述研究平行线性质的过程和方法”进一步体验研究几何图形性质的基本内容、套路和方法，对今后学习其他图形起到“示范”的作用.最后，教师追问“你能不能用本节课所学知识解决课前提出的例1呢”及课后思考从解决实际问题的需要出发，以实际问题为出发点和归宿，再次让学生经历生活数学，感受到数学来源于生活现实，服务于现实生活，培养了学生应用所学知识解决实际问题的意识和能力.

七、总评

本节课，教师根据初中一年级学生的思维处于从直观形象思维向抽象逻辑思维转折时期的特点，引导学生在获得了平行线性质的过程中，获得关于推理的一些直接经验，形象直观，有操作、有想象、有分析、有归纳，有序训练了思维推理能力，并具有如下特点：

（1）问题情境——在课的开始，教师通过例1，创设了一个经过学校附近的在建高速公路的施工现实情境，提出思考问题“不改变原来的方向”在数学中理解应是什么？在这个问题中包含了什么数学问题？怎样将它转化成数学问题？使学生知其然而不知其所以然，想求明白而感到困难，想说又说不明白，从而产生一种想说清楚的欲望和心理上的推理需求，起到了问题情境的“愤”、“悱”效果，唤起了学生推理意识，自然导入新课.

（2）性质的发现——借助实验操作“找一找、量一量、猜一猜”等探究活动，通过动手、动眼、动脑等多种感觉器官共同参与凭借经验和直觉发现“两直线平行，同位角相等”的合理性.

（3）性质的验证——经历“试一试、拼一拼”和现代信息技术从图形的运动变化过程中去发现其中不变的位置关系和数量关系，通过触觉、视觉等多种分析器官共同参与多种操作确认获得的感性认识，合情合理验证“两直线平行，同位角相等”的真实性.

（4）性质的归纳——通过小组合作“议一议”让学生以学习经验为基础理性概括探究发现性质，并用数学语言和符号语言叙述.这一过程实际上是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳概括等推断“两直线平行，同位角相等”的本质特征.有效地发展了学生的合情推理能力.

（5）归纳类比，推导性质——类比上一节课利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等（或同旁内角互补），两直线平行”的方法，会区分命题的条件和结论，探索并证明平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）.逐步深入地让学生学会说理，即从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，把“说理”和“简单推理”作为“数学发现与验证”的自然延续，结果提炼为“事实丰富、过程合理；论据充分、推理严谨”的有序训练，实现了由实验几何到论证几何的过渡.

（6）理性思考，辨析性质——通过判断和图形变式让学生理解平行线性质结论的前提是“两条直线平行”，结论是“同位角相等、内错角相等或同旁内角互补”，既突出了两直线平行的位置关系的实质，又抓住了性质的核心和关键是同位角、内错角、同旁内角的数量关系，为学生“能力—思维训练”提供依据.

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.李海东.渗透几何研究方法，做好从实验几何到论证几何的过渡［J］.中学数学教学参考（中），2013（1-2）.

3.胡兴余.培养学生猜想能力的几条有效途径［J］.中国数学教育（初中版），2014（1-2）.

*本文属于2012年贵州省基础教育科学研究教育教学实验课题——“中学数学课堂教学案例研究”（课题编号：2012B078）的研究成果之一.