以函数典型题观中考

☉江苏省南通市通州区川港中学　张建群

以函数典型题观中考

☉江苏省南通市通州区川港中学张建群

本文将以综合题为例，旨在抛砖引玉，谈谈与函数相关的综合题的解题方法以及相关题目的分析方法.

一、一次函数常见综合题

图1

例1有甲、乙两个容器，均装有进水管和出水管.初始时，两个容器同时只开进水管，8分钟时，甲容器关闭进水管，打开出水管；到16分钟时，再打开进水管，此时进水管与出水管同时打开，既进水又出水；到28分钟时，同时关闭两个容器中的所有水管.两容器中的各种水管每分钟的进水量和出水量均为常数，容器内的水量y（升）与时间x（分）之间的函数关系式如图1所示，解答下列问题.

（1）甲容器的进水管每分钟进水______升，出水管每分钟出水______升.

（2）求乙容器内的水量y与时间x的函数关系式.

（3）求从初始时刻到两容器最后一次水量相等时所需要的时间.

分析：这是一道典型的考查一次函数的题型.通过图像可以看出，在一定范围内，y与x刚好能构成一次函数的关系.由已知可得到在甲容器中进行了多次变换操作，因此对甲的分析可以先分段，在特定的时间段进行分析.

在第一问中，求甲容器的进水速度和出水速度，只需要得到一定时间内的进水量或出水量，就可以利用水量与时间的比来得出进出水的速度.从原题中“两个容器同时只开进水管”，此时，甲容器只开进水管直至第8分钟，对应的图像中，我们可以看到，x轴上的时间为8分钟时对应的y值水量为40升，那么进水速度就是每分钟5升.同样的道理，求甲容器中出水管出水的速度，则根据图中8分钟至16分钟时，关闭了进水管，只开出水管，这段时间内的水量变化及时间，得出出水量为（40-20）升，所耗时间为（16-8）分，出水速度为每分钟2.5升.

在第二问中，要求的是乙容器中水量y与时间x的函数关系式，可以直接使用待定系数法，从图中找到相应的点，容器中原有10升水，5分钟时有15升水，代入求解.

设乙容器内水量y与时间x的函数关系式为y＝kx+ b（k≠0）.

所以y＝x+10.

在第三问中，由图像可知：两个容器最后一次水量相等是在16至28分钟之间，此时甲容器的状态是进水管与出水管都打开了，每分钟的进水量为2.5升.在16至28分钟之间，甲容器中水量y与时间x的关系式为y＝2.5x＋b，把点（16，20）代入，得b＝-20.所以y＝2.5x-20.要求两容器水量相等时的时间，可以令这两个函数的y相等，直接求出x.即x＋10＝2.5x-20，解得x＝20.也就是在20分钟时，两容器内的水量相等.

总结：这是一种结合函数图像综合考查的一次函数题型，是一种非常典型的问题.在解决这类问题的时候，最重要的就是结合题目中的已知，充分挖掘出图像中的信息，把函数图像中隐含的所有信息找出来，明确图像中不同线段所表示的意义.能把图像看懂，就可以说大致上没有问题了.而在看图的时候，也一定要养成良好的习惯，先确定x轴和y轴分别表示什么，再结合已知条件细心研究图像.

二、反比例函数常见综合题

例2如图2所示，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别相交于点A、B.四边形ABCD是正方形，双曲线y=在第一象限经过点D.

图2

（1）求双曲线表示的函数解析式.

（2）将正方形ABCD沿x轴向左平移______个单位长度时，点C的对应点C′恰好落在（1）中的双曲线上.

分析：反比例函数相对来说还是比较简单的，因此常与其他的相关知识点结合在一起考查，在考试中常常会考查k值的求解方法.

第一问直接是求反比例函数的解析式，也就是要求出k的值，我们知道，k＝xy，也就是求出双曲线上任一点的坐标即可求出函数的解析式.如图2，D点在双曲线上，可以先求出D点的坐标.

先过点D作DE⊥x轴于点E.

由四边形ABCD是正方形，得∠BAD=90°，AB＝AD.

由∠BAO+∠DAE＝90°，∠BAO＋∠ABO＝90°，得∠ABO＝∠DAE.

又∠AOB＝∠AED＝90°，AB=AD，则△AOB≌△DEA.则DE＝OA，AE＝BO.

根据直线y=-2x+2与x轴、y轴分别相交于点A、B，容易得到A（1，0）、B（0，2），即OA＝1，OB＝2.则DE＝1，OE＝3，即点D（3，1）.

在第二问中，同理可知点C的纵坐标为3，横坐标为2，当点C′恰好落在（1）中的双曲线上时，此时x对应的值为1，也就是由原来的位置向左移动一个单位即可.其实这个问题重点在于求出点C的坐标，其他方面倒是更简单一些.

总结：在反比例函数问题中，k的值可以说是一个必考点，学生在平时的学习中要能够理解k值并灵活地运用.在很多题目中k值还表示对应图形的面积，这点也是要多加留心的.

三、二次函数常见综合题

图3

例3如图3，将抛物线l1：y=-x2平移得到抛物线l2，且l2经过O（0，0）和点A（4，0）.l2的顶点为点B，它的对称轴与l1相交于点C，设l1、l2与BC围成的阴影部分面积为S.解答下列问题.

（1）求l2表示的函数解析式及它的对称轴、顶点坐标.

（2）求点C的坐标，并直接写出S的值.

分析：第一问中考查的是二次函数的基础知识，首先是求二次函数的解析式.平移后的二次函数图像的开口方向和开口大小是不变的；同时抛物线经过原点，也就是c＝0，所以我们可以设抛物线l2的解析式为y= -x2+bx，这里直接把另一个点（4，0）代入函数解析式中，得：-16+4b=0⇒b＝4.函数的解析式为：y=-x2+4x.

要求出函数的顶点坐标及对称轴，可以用公式直接代入计算，也可以利用配方法来求出h和k，这两种方式实质上也是一样的.在这里，我们对函数进行配方，得y=-（x-2）2+4，可以看到，抛物线l2的对称轴为直线x＝2，顶点B的坐标为（2，4）.

第二问中，C点刚好在抛物线的对称轴上，也就是x＝2，代入计算得到C点的坐标为（2，-4），那么S＝8.

对于第三问，存在满足题意的点P.

设直线AC表示的函数解析式为y=k1x+b1（k1≠0），把（4，0）、（2，-4）代入到函数解析式中，得解得所以y=2x-8.

设点P的坐标为（m，2m-8），则S△POA=

△POAm＝5，则2m-8＝2.所以点P的坐标为（5，2）.

综上所述，点P的坐标为（5，2）或（3，-2）.

总结：在二次函数的综合题中，一般会考查基础知识和其他综合性的知识，像这道题中，既考查了求解析式、顶点坐标及对称轴，又考查点是否存在的问题.这是一类非常典型的二次函数综合题.考生们一定要对相关的知识熟练掌握并能够灵活运用到解题当中.

从上面三道例题不难看出，中考对函数的考查是重中之重，无论是什么类型的函数，都可以命制综合题，题型的结构和模式不管怎么变，考查的知识点是不变的.学生们在备考的时候必须要从基础抓起，把基础知识掌握牢固了，解题时才会有更加灵活的思维.

1.张仲义.浅谈二次函数在中考题中的综合运用［J］.新课程学习（中），2013（8）.

2.刘勇华.例谈中考动态题中图形面积与运动变量的函数关系［J］.中学时代（理论版），2013（8）.

3.唐星.点击中考反比例函数问题［J］.中小学数学（初中版），2013（7）.