突破知识局限瓶颈 提升数学教学质量

吉智深

[摘 要]

如今一些小学数学教师在专业知识上存在着问题，具体表现为：对数学知识的理解不够深刻，知识是零碎的堆积形不成系统等。这些问题的存在直接地影响着数学教学质量和学生的全面发展。分析小学数学教师在专业知识上存在的问题以及帮助他们学会如何提高专业知识素养是十分必要的。

[关键词]

数学；专业知识；教学质量

我国数学新课程改革初期，一些专家和学者认为：知识不是最重要的，最重要的是能力，有了能力就可以从外界获得知识。十多年来我国的各级各类小学数学教师培训也只关注现代教育教学理论的学习和运用、新数学课程标准及教材的分析和解读等。在许多人看来，小学数学课程改革存在的问题主要是理念问题、教法问题、学法问题，而不是知识问题，小学数学学科的知识都很简单，目前以小学数学教师的学科知识水平教小学生绰绰有余。但现实是：一些教师在课堂教学中只注重教法和学法的改变，未能深刻理解小学数学知识，从而导致数学课堂教学留下一些遗憾。如何突破知识局限瓶颈，提升数学教学质量，下面笔者结合具体的教学，谈谈自己的认识。

一、用原理的深度分析数学知识，提高教师分析问题的能力

布鲁纳在《教育过程》一书中指出“决定美国史学科应该教些什么或算术学科应该给他们教些什么，这种决断要依靠该学术领域里有着远见卓识和非凡能力的人士的帮助才能做好。决定代数的基本观念以交换律、分配律和结合律的原理为基础，他必须是个能够鉴赏并通晓数学原理的数学家……只有借助这些最优秀的人士的力量，才能把学识和智慧的果实带给刚开始学习的学生”。

数学原理内涵有两个：第一，数学命题（指真命题），主要包括数学公理、定理、公式、法则等和数学推理与证明。第二，数学命题（除公理之外）都必需论证，只有论证之后，才可作为证明的重要依据。如果我们能正确运用这些原理来分析问题的话，许多模糊认识就可能清晰起来。边小明和边巨星两位老师在文章《我“错”在哪里了》谈到了等式[860÷40=86][÷4=21??????2]正确性问题。[860÷40=86÷4]，[86÷4][=21??????2]，这两个等式都是正确的，而等式[860÷40=][21??????2]为什么又不正确呢？”这还要从相等关系就是一种特殊的等价关系谈起，既然相等关系是等价关系，它就满足等价关系的三个性质之一——传递性。如果[860÷40]与[86÷4]相等关系， [86÷4]与[21??????2]也是相等关系，那么没有理由说明[860÷40]与[21??????2]不相等，因为相等关系满足传递性，而事实是[860÷40]与[21??????2]不相等。是不是[860÷40]与[21??????2]可能相等，可能不等，根据数学推理的逻辑起点三原则中的矛盾律： [860÷40=21??????2]不可能又是错误的又是正确的。教学过程中如果不讲清楚其中的道理，就会给学生一个不好的影响，学生们会怀疑之前建立起的关于等式传递性的正确性，教师此时应该及时消除学生们的怀疑，给学生一个正确的解释，不仅让学生对错在哪里有所感悟，教师也理应知道为什么会错。那么推理的过程中到底哪里出现了问题呢？让我们回头看看两个等式[860÷40=86÷4]，[86÷4=21??????2]，第一个等式没问题，推理发生错误，只能说明第二式子不是等式，回到式子[86÷4=21??????2]的最初定义，式子[86÷4=21??????2]是等式[86=4×21+2]的一种记法，并不是一个等式，如果离开了被除数[86]和除数[4]，符号“[=21??????2]”就没有意义，它的前面可能是[65÷3]，也可能是[107÷5]，[??????]，但[65÷3≠107÷5]，从另一个侧面说明[86÷4=21??????2]不是一个等式，所以[860÷40=86÷4=21??????2]这种写法是不规范的，容易让人产生歧义，所以我们只能分别写成：[86÷4=21??????2]，[860÷40=21??????20]。虽然[a÷b=q??????r]不是等式，但有余数除法表示为：[a÷b=q??????r]（其中[r

关于文章所提到的规律：在有余数除法中，如果被除数和除数都扩大（或缩小）同数倍，虽然不完全商不变，但余数随着扩大（或缩小）同数倍，也就是规律：

如果[a÷b=q（余r）]

那么[（a×n）÷（b×n）=q（余r×n），]

或[（a÷n）÷（b÷n）=q（余r÷n）.]是可以证明的，具体过程如下：

已知[a=b×q+r，（r

那么[a×n=（b×q+r）×n]

[=b×q×n+r×n]

[=（b×n）×q+r×n]

因为[r

所以[（a×n）÷（b×n）=q（余r×n）]

同理可证[（a÷n）÷（b÷n）=q（余r÷n）.]

这个规律的证明用了以下两个性质

如果[a=b]，那么[a×n=b×n]

如果[a

这两个性质可以自然数大小的定义来证明。

不要抛弃数学的原理，因为通过它们，我们学会了分析问题，看清了问题的本质，所以广大教师要多用原理的深度分析数学知识，认清其正确性和合理性，这样，才不会让自己和学生带着怀疑与错误走出课堂。

二、用关联的角度处理数学知识，激发学生学习数学的热情

义务教育《数学课程标准》（2011年版）总目标之一：“学生能体会到数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，……增强发现和提出问题的能力、发现和解决问题的能力。”数学知识之间的关联可以帮助学生把数学看成一个整体而不是一些复杂的、不相关联的概念、规定、步骤和过程。数学与其他学科之间的关联为学生提供了欣赏数学力量和概括性的机会。数学与生活之间的关联能够帮助学生认识到数学的价值，同时激励他们学习新的数学知识。

朱长青老师的《回到思维原点》和黄良春老师的《由“回到思维原点”引发的思考》两篇文章都讨论了同一个问题：为什么先算乘除，后算加减？两位老师对“规定来源于具体实际问题”有不同的理解。朱老师认为：“运算顺序的产生并非来自于哪种实际问题数量的多与少”。黄老师则认为“对于小学数学而言，很多规定都来源于具体实际问题，这是不争的事实”。笔者同意黄老师的观点，史宁中教授多次强调：为了说明规定的合理性，就必须回到现实世界。他在《基本概念和运算法则》一书中用了讲故事的形式说明运算次序两个基本法则的合理性。

第一个例子：[（3+2）×4=5×4=20]

这个式子的实际背景问题是：操场上有4排同学，每一排有3名女同学2名男同学，问操场上有多少名同学？

同学总数=每排同学数[×]排数，同学总数是一个大故事，式子中的括号中表达了是一个小故事：每排的同学数。大故事包含一个小故事，所以要先完成小故事（先算括号），再完成大故事。

第二个例子：[3+2×4=3+8=11]

这个式子的实际背景问题是：操场上原来有3名同学，又来了一队同学，这队同学每排有2名同学，共有4排，问现在操场上有多少名同学？

如果把乘法理解为加法的简便运算，用[3+2×4=3+4+4=3+8=11]来解释先算乘除，后算加减，但这样的解释无法抽象出共性。第二个式子的背景讲了一个大故事：同学总数，大故事要包含了两个并列的小故事：一是原来的同学数，二是后来的同学数，同学总数=原来的同学数[+]后来的同学数，先计算乘法是为了完成一个小故事：后来的同学数，要完成大故事，要把后来的同学数加上原来的同学数，也就是：先乘法，再加法。

作家莫言在诺贝尔文学奖颁奖演讲中，用了一种最为平实的方式——讲故事，叙述了自己成为“讲故事的人”的历程，简简单单，却透彻心扉，同样，史宁中教授也用讲述故事的形式，讲清现实世界中为什么先算乘除，后算加减的道理，道理也简简单单，让人印象深刻。

当然，除了数学与生活之间的联系之外，还有数学知识之间、数学与其他学科之间的联系。比如前面提到的有余除法与减法的关系，于芳老师在《正视冲突——反复对比——实现迁移》一文中，正是利用有余除法与减法的关系，借助于“表内除法”与“有余数除法”之间的联系，让学生真正理解了有余数的除法。再比如：音乐和数学的联系很密切，在音乐理论、音乐作曲、音乐合成、电子音乐制作等等方面，都离不开数学。

我们要重视知识之间的关联，发展数学知识的关联，促进学生的数学学习，让数学成为一个具有挑战性的、学生愿意参与的和令人兴奋的学习领域。

三、用高数的高度看待数学知识，避免课堂教学尴尬的发生

小学数学教师不但要深刻地理解小学数学知识，而且要知道这些知识和高等数学之间的联系，确保在课堂教学中不犯或者少犯错误，避免课堂教学尴尬的发生。

陈永明老师在《[π]是除出来的吗？》讲这样一个事情：陈老师在一所小学听课，老师讲到圆周率[π]是一个无限不循环小数：3.1415927[??????]，一名学生举手问：这个“[??????]”是怎样得出来的？这位老师不假思索地回答：这个“[??????]”当然是除出来的！陈老师指出：这位老师讲错了，两个整数相除，如果除不尽，可以出现“[??????]”但是这个结果一定是循环小数。而[π]是一个无理数，[π]不可能是两个整数相除的结果。陈永明老师在文章《[π]还是个超越数》中进一步指出：[π]可不是某个整系数整式方程的解，它也不可能由整数通过加、减、乘、除、乘方、开方得到，它是用“超越”了代数的运算——极限得到的，因此它是超越数。

可能有的老师会想：“我的课堂上，学生不一定会提出这样的问题。”但不可否认的是在小学的课堂上我们事实上也面临着类似的挑战与机遇，只是问题的表现形式可能有所不同。一位实习生告诉我他遇到的尴尬，他在教学《分数化小数》时，通过归纳得出规律：如果分母中除了含有2、5以外不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数。一位学生反问：“这是为什么呢？”这位实习生不知道原因，用“刚才不是通过归纳得到了这个规律了吗？”搪塞过去。等我把其中的理由讲给他听以后，他遗憾地说：“如果当时知道这个原因有多好！”

十年来，小学数学课程改革争议比较多的内容之一就是随机事件发生的可能性大小的定量描述。为什么有很多争议呢？主要原因是这一部分内容对小学阶段的学生来说有难度，还有一个隐性原因是教师缺乏对统计与概率学科知识的深刻理解，导致教师无法向学生解释实验所得到的数据，课堂上遇到许多尴尬。比如：A老师在教学“游戏的公平性”课始，设计了情境冲突：这里有一个布袋，里面有3个红球和1个黄球。我们进行游戏，一共摸20次球，这个游戏规则是如果摸到的红球多，就算女生赢，如果摸到的黄球多，就算男生赢。男生认为不公平，因为黄球只有1个，红球3个，黄球个数比红球少。教师不顾男生的反对，坚持做这样一个游戏，统计结果是红球摸到了9次，黄球摸到了11次，男生赢了。A老师本来想通过这次游戏突出这样做是不公平的，结果男生组“意外地”赢了这场游戏，尴尬与无奈写满了执教老师的脸。为什么有这样的尴尬，因为这位老师没有理解统计与概率中的大数法则，大数法则是指在随机试验中，每次出现的结果不同，但是大量重复试验出现的结果的平均值却几乎总是接近于某个确定的值。其原因是，在大量的观察试验中，个别的、偶然的因素影响而产生的差异将会相互抵消，从而使现象的必然规律性显示出来。大数法则中强调试验次数的大量性，在很少的几次试验中，规律不一定显现出来，比如：8次掷硬币试验中结果未必是4次正面和4次反面。虽然2011版的数学课程标准把可能性大小的定量描述移至第三学段，但这些尴尬却时时提醒我们：要教好一个知识点，教师就必须知道与此相关的高等数学，这样，才能避免课堂教学尴尬的发生。

任何人都无法教给别人他自己都不懂的东西，我们要多看看关于数论、统计与概率等高等数学方面的书籍，它会帮助我们高屋建瓴地理解小学数学知识，提升课堂教学质量。

四、用应用的广度理解数学知识，提升小学数学教师的素养

著名教育家苏霍姆林斯基在《给教师的建议》指出“教师教育素养的第一要素，就是要熟知学科内容并且绰绰有余。”他还指出“如果数学教师只能勉强对付当天要教的一段教材，这个班上的学生中是出不了数学人才的”。

我们都知道公历四年一闰，百年少一闰，四百年又加一闰，但其中的缘由不是每一位老师都知道的。高飞老师在《“规定性知识”还可以这样教》一文所给的阅读材料不够具体，如果要真正理解其中的原因，还要用连分数的相关知识来解释。

地球绕着太阳一周所需的时间是365天5小时48分46秒，也就是

[365+524+4824×60+4624×60×60=3651046343200]（天）

应用辗转相除化为简单连分数，得

[365+14+17+11+13+15+164]

通常把上面的连分数写作：[365+14+17+11+13+15+164]。

它的分数部分依次截段得到分数[1046343200]的渐进分数：

[14]

[14+17=729]

[14+17+11=833]

[14+17+11+13=31128]

[14+17+11+13+15=163673]

[??????]

用365加上这些渐进分数所得的天数，一个比一个更接近于地球绕太阳运行一周所需的实际时间。

第一个渐进分数是[14]，说明可以每隔四年加一天，这就是四年一闰的由来，当然这还是很不精确的。

第二、第三个渐进分数分别是[729]与[833]，说明如果每29年加7天就相对精确些，而每33年加8天就又精确些，于是每99年里只加24天（每100年少加7天），这正是百年少一闰的由来。

第一个渐进分数是[31128]，说明如果更精确一些的话，可以每128年里只加31天，于是在128年中，头三个33年各加8天，后29年加7天。在四百年内，有三个128年和四个4年，所以四百年应加97天（[31×3+1×4]）。而根据四年一闰，百年少一闰的规定，四百年只应加96天，于是又规定每四百年又加一天（[96+1]），这就是四百年又加一闰的由来。

虽然这些知识不可能讲给学生听，讲了也听不懂，但作为教师要知道为什么要这样规定，虽然学生这时不知道其中的缘由，但他有一天学到该知识的时候，肯定会感叹数学应用的广泛与神奇。

“给人一杯水，自己要有一桶水。”广大教师要突破知识局限的瓶颈，加深对数学知识的理解，只有教师对数学知识有了深层的理解，才能有助于教师引导学生对数学知识的深入思考，才能正确及时处理课堂上遇到的“意外”、才能引导学生用数学原理分析数学知识、用关联的角度看待数学知识，这样的课堂教学才是高质量的课堂教学。

[参 考 文 献]

[1]边小明，边巨星.我“错”在哪儿了——从“商不变性质”引发的“后摄抑制”说开去[J].教学与管理，2014（6）.

[2]朱长青.回到思维原点——“乘法和加、减法的两步混合运算”教学新视野[J].中小学数学（小学版），2010（3）.

[3]黄良春.由“回到思维原点”引发的思考[J].中小学数学（小学版），2010（6）.

[4]史宁中.基本概念和运算法则[M].北京：高等教育出版社，2013（5）.

[5]于芳.正视冲突 反复对比 实现迁移——“有余数的除法”教学思考[J].小学数学教师，2014（6）.

[6]陈永明.π是除出来的吗？[J].小学数学教师，2014（2）.

[7]单壿.初等数论[M].南京：南京大学出版社，2000（7）.

（责任编辑：李雪虹）