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———《商的变化规律》教学设计与解读

李春英（特级教师）

一、复习和差变化规律，激发探究规律兴趣

1.复习和的变化规律

师：（出示5以内加法表）还记得这张表吗？你能从这张表中发现什么规律？

师：（板书：从上往下，从下往上）还可以怎么看？还能发现哪些规律？

小结：这是一年级上学期的一个表格，从不同的角度观察，我们会发现不同的和的变化规律。

【解读：从最简单的5以内加法表格的规律开始，降低找规律的难度，提高找规律的表达。虽然也可以直接从积的变化规律入手，但是考虑到商的变化规律应该是加减乘除中的最后一个变化规律了，有必要在这节课让学生们完整地感悟和差积商之间的联系。而且重要的不是发现规律，而是能够用简洁精炼准确的数学语言表达自己的发现。】

2.复习差的变化规律

师：（出示20以内退位减法表）这张表格中的规律你能说一说吗？

师：横着看谁不变？竖着看谁不变？斜着看谁不变？

师：在什么不变的情况下，一个数加1，另一个数要减1呢？为什么？

小结：从不同的角度观察，我们都能发现有一个数是不变的。为什么其他两个数都发生了变化，而这个数可以不变呢？这里藏着的是差的变化规律。

【解读：差的变化规律和商的变化规律有着极其相似之处，它不仅能够为商的变化规律提供方法上的支撑，还能为商的变化规律的总结提供语言上的帮助。】

二、复习积的变化规律，探究商的变化规律

1.复习积的变化规律。

师：（出示下图）快速口算，你能用一句话说一说你发现的规律吗？

师：（出示下图）刚才我们是让乘法中的其中一个因数不变，现在我们让乘法中的积不变。你能填出方框中的数吗？你能用一句话说一说规律吗？

师：你觉得找规律的时候，先找到哪个数比较容易发现规律？

师：你是怎么发现不变的数的呢？

小结：这是我们刚刚学过的积的变化规律。我们可以先找到不变的数，再找到变化了的数，然后分析变化了的数的变化特点，最后用准确的语言表达出来。

【解读：积的变化规律和商的变化规律是相通的，因为乘和除的运算本身就是互逆的。四年级的学生对乘除之间的互逆关系应该非常熟悉了。二年级学习乘法口诀的时候，用一句口诀写出4个算式的训练就是基础。这里埋下伏笔，意在用这个材料进行转化，一旦转化成功，商的变化规律便呼之欲出，水到渠成了。】

2.探究商的变化规律。

师：和有变化规律，差有变化规律,积也有变化规律，猜一猜，商有变化规律吗？

师：怎样来探究商的变化规律呢？用大表格还是小表格？为什么？

师：你可以用刚才这几个表格来探究商的变化规律吗？

生：可以。把刚才的乘法表格转化成除法表格就可以了。

师：怎么转化？请你选择其中的一组在练习本上写一写。

师：通过变形，我们成功地把3组乘法算式转化成了4组除法算式。观察这四组算式，你能找到每组算式中不变的数吗？圈一圈。

师：这些不变的数分别在除法算式中的哪一个位置上？同桌互相说一说。

师：你能像老师刚才出示的乘法算式一样，把这4组算式也写成表格的形式吗？试一试。

反馈并呈现算式表格：

表1　

表2

表3　

表4

师：这四个表格中藏着除法中商的变化规律。刚才我们已经找到了每组算式中不变的数所在的位置。请你仔细观察每组算式中其他两个数是怎样变化的？有什么规律？

师：请同学们四人小组合作探究。

【解读：学生写算式表格形式的过程其实也是他们体会变与不变关系的过程。在写的过程中，首先要把不变的数单独放在一个位置上，不用画表格；其次要用一一对应的思想把剩下的两个数放进相应的表格里。当学生能够用这样的形式表示出这几组除法算式的时候，也是他们完成观察这几组除法算式数据特点的时候。】

3.提炼商的变化规律。

师：通过四人小组的合作讨论，谁能说一说你们发现的规律？

师：观察表1，你发现了什么规律？

生：从上往下观察，除数不变，被除数乘几，商也乘几。

生：从下往上观察，除数不变，被除数除以几，商也除以几。

师：你们知道“商也乘几”或者“商也除以几”中的“也”是什么意思吗？

师：你们能再找几个例子验证一下吗？

小结：发现一个规律之后要进行验证。多举几个例子来证明自己的发现是正确的。

师：观察两个表2，你发现了什么规律？先试着用准确的语言和同桌说一说。然后举几个例子验证一下你发现的规律，看看是否正确。

（反馈同桌交流情况）

师：观察表3，你又发现了什么规律？你能很快说出来吗？自己试着说一说。

（多请几个学生来说）

师：这个规律中，谁是不变的？除了先说不变的数之外，你还有别的说法吗？试一试。

生：可以先说变化的，再说商不变。

师：把“商不变”这三个字放到最后去说，请你试一试。

师：这个数可以是任意一个数吗？为什么？

生：不可以是0。因为0不能作除数。

生：因为同时乘0两边都得0，看不出变化规律，没有意义。

【解读：商不变的规律教学处理与前两个稍有不同，是让学生独立思考并总结提炼的。不论从哪一个角度来表达这个规律，只要是学生自己总结的，就要给予充分肯定。】

师：你能再举几个例子验证商不变的规律吗？通过举例你又有什么新的发现？

生：我发现商不变的规律能帮助我们简便计算。

小结：通过观察4个算式表格，我们发现了商的三个变化规律。这三个变化规律既有区别也有联系。而且这些规律能让计算更加简便。

三、阅读商的变化规律，运用商的变化规律

1.阅读商的变化规律。

师：请同学们打开数学书第87页，自己阅读。想一想，你刚才总结的语言和数学书上的一样吗？哪点不一样？为什么？

师：找出第87页中你认为最关键的词，圈一圈。和你的同桌说一说，为什么说这个词是最关键的？

师：在你觉得还不理解的地方画上“？”，问一问你的小伙伴。

反馈：“同乘”是什么意思？“同除以”呢？

师：你能把书上的例子继续写下去吗？以第（3）个为例，你还能写多少个这样的算式？为什么？

小结：同样，（1）和（2）也能写出无数个这样的算式。有兴趣的同学友可以试一试。

【解读：阅读数学书也是一种能力。可以先阅读再教学，也可以先教学再阅读。因为对教材的解读不仅仅是教师的专利，学生同样有解读教材的权利。通过阅读，进一步加深对规律的理解。能写出无数个这样的算式不仅是对商不变规律的再运用，而且渗透了极限思想。】

2.运用商的变化规律。

基本练习：独立完成第87页“做一做”。同桌互批。

反馈：请三个学生分别报一组得数。

教师追问：这样的算式还有吗？运用了哪一个规律？同桌互相说一说。

师：请同学们独立完成第89页第1题。

集体反馈：请你说出完整的过程。如120÷30=12÷3=4，被除数和除数同时除以10，商不变。

小结：运用商不变的规律，可以使看似复杂的计算变得简便。关键是要看清楚算式中的数字特征。

师：请同学们看书第89页第5题。以抢答的形式很快说出商来。

小结：第1题和第5题的每个算式中都有明显的特征，一眼就能看出来被除数和除数同时要除以几。如果算式中数字特征不明显，你还能很快说出商来吗？

【解读：仔细研究教材中的题目，你会发现每一道题目都有它独特的教育教学功能。所以不要急于跑到教材外边寻找练习题目，先好好分析教材中的这些题的价值，充分利用，然后适度开发与拓展。】

综合练习：出示 280÷35、180÷36

师：你能把它们转化成除数是一位数的除法算式来口算吗？根据是什么？

师：你能再举几个例子考考你的小伙伴吗？

小结：看到除法算式，先观察算式中被除数和除数的数字特征，就像刚才的这两道题目一样，如果我们没有观察到它们的数字特征，就要列竖式来计算了；如果我们能够观察到它们的数字特征，就可以运用商不变的规律使计算简便。

师：（出示 700÷25、1000÷125）你能运用今天学的规律进行简便计算吗？有几种方法？试一试。

小结：为了使计算简便，我们可以根据数字特征选择同乘还是同除。同乘简便就选择同乘，同除简便就同除。

拓展练习：100÷25=400÷（ ）=（ ）÷200=（ ）÷（ ）=1÷（ ）

课堂总结：今天我们通过观察算式特点发现了商的变化规律，通过验证总结了商的变化规律，通过运用灵活了商的变化规律。如果你忘记了这些规律，不要着急，你可以想一想我们今天学习的方法，自己写几个式子重新找到规律。方法永远比知识更重要！

【解读：通过一组有层次的题目，在运用规律的过程中体会规律的价值，并达到灵活运用发展思维的目的。】