从数学史中汲取营养
———《用字母表示数》教学设计

卞庆龙

【教学内容】

苏教版五年级上册第99～100页。

【教学过程】

一、与史同步，经历知识产生过程

1.感知——初步理解用字母表示数。

（课件依次出示用小棒围成的1个、2个、3个三角形）

师：像这样用小棒围成不连续的1个、2个、3个三角形，各需要多少根小棒？如果再继续围3个、4个、5个三角形，还各需要多少根小棒？怎样列式表示围每种三角形所需小棒的根数？

（学生说，教师板书算式）

师：你们能继续摆下去吗？你想摆多少个三角形？需要多少根小棒？

（教师指多名学生回答）

师：你知道三角形的个数和所用的小棒根数有什么关系吗？

师：大家想摆的三角形个数各不相同，你们能用一个式子既能表示我们已经摆好三角形所用小棒根数，又能表示我们心中想摆出的三角形所用小棒根数吗？请大家写在作业纸上。

教师展示:所用小棒根数=a×3。

师：a表示什么？a×3表示什么？

生：a表示摆成的三角形个数，a×3表示所需小棒的根数。

师：小棒根数也就是数量，也就是说a×3能够表示数量。（板书：数量）

师：a能表示1个三角形吗？能表示2个三角形吗？能表示3个、4个三角形吗？a能表示你心中想摆的三角形吗？

生：能。

生：a表示变化的数。

师：a能取小数吗？a能表示分数吗？

生：不能，这里a只能表示自然数。

师：原来a表示的数是有范围的。

师：这里的3为什么不用字母表示？

生：3是我们已经知道的，是固定不变的数，所以不需要用字母表示，我们用字母表示变化的数，一道式子就可以表示所有的答案。

师：通过摆三角形我们知道：变化的数量可以用字母表示，同一个字母可以表示很多的数。已经知道的固定不变的数不需要用字母表示。

2.感悟——进一步用字母表示数。

师：（出示一个黑布袋，神秘一晃）黑布袋中有50元钱，知道由哪些面值的货币组成吗？

（教师从袋中掏出部分1元、5角、1角的钱币）

师：如果用去10元，剩下多少元？

师：如果用去15.8元，剩下多少元呢？

师：如果让你去买文具，你想用多少钱去买文具，还剩下多少元？

……

师：你能用一个式子表示用去一部分钱后，剩下的钱数吗？

生1：如果用字母a表示用去的钱数，剩下的钱数就是50-a。

生2：如果用字母b表示用去的钱数，剩下的钱数就是50-b。

……

师：我们可以用不同的字母表示用掉的钱数。这里为了交流的方便，我们把用去的钱数用字母b表示，剩下钱数就用什么表示？

（学生说，教师投影：50-b）

师：这里50表示什么？b表示什么？50-b表示什么？

生：50表示原有的钱数，字母b表示用去的钱数，50-b表示剩下的钱数。

师：50-b表示剩下的钱数，钱数也是一个数量，50-b表示数量；而且在“50-b”中，通过50-b我们清楚看出原有的钱数、用去的钱数和剩下的钱数三者之间的关系。

（教师相机板书：数量关系）

师：这儿的b可以表示哪些数？

生1：可以表示10元。

生2：可以表示15.8元。

……

师：也就是说字母b可以表示变化的数。

师：b能表示小数吗？b能表示分数吗？

二、了解简写规则由来，掌握代数式简写方法

师：如果用S表示长方形的面积，长方形的长是a,宽是4，这个长方形的面积怎么表示？

生：S=a×4。

师：如果长方形的长是x,宽是4，面积该怎么表示呢？

生：x×4。

师：德国数学家莱布尼茨发现乘号和字母X很像，就提出如下建议：

课件出示：

你知道吗？

德国数学家莱布尼茨认为“×”容易与字母“x”相混淆，建议用“·”表示乘号；如果有数，数要写在字母的前面。这样，用“·”标志乘号得到了广泛的承认。如今，欧洲大陆派（德、法等国）规定以“·”作乘号。其他国家则以“×”作乘号，“·”为小数点。而我国则规定以“×”或“·”作乘号都可，一般用于字母或括号前的乘号可略去。

教师请学生根据上述规定重新说说a×4、x×4 的写法，并根据学生回答相机板书a×4=4·a=4a。x×4=4x。

师：a×4可以看成表示4个a，你觉得哪种写法看起来更简洁。

生：4a和a×4都表示4个a，但是4a看起来更简洁。

师：a×1该怎样简写呢？

生：a×1=a。

师：为什么等于a？

生：任何数乘1得原数。

师：开始我们写的a×3该怎么简写呢？

请学生在作业纸上写一写。

师：如果正方形的边长是a，那它的面积是多少？

生：a×a。

投影课件出示：

你知道吗？

1636年，苏格兰人苏姆对a×a的形式做了简写，写成aa的形式。一年后，数学家笛卡尔对此进了了改良和推广，把a×a写成 a2，表示 2个 a连乘，读作“a的平方“ ”。现在世界各国普遍采用笛卡尔的缩写方法。

（学生读）

师：请大家说a×a可以怎么简写？怎么读？b×b怎么简写？c2等于什么呢？

（学生练习后集体交流，教师相机教学a2与2a的区别）

师：如果用字母 a、b、h 分别表示梯形的上底、下底和高，梯形的面积公式可以怎么表示呢？

生：S=（a+b）h÷2。

师;这里的加号、除号能省略吗？

生：不能。如果省略加号、除号，人们就会把它们误解为乘法了。

师：对，在含有字母的式子中，只有乘号可以省略，加号、减号、除号是不能够省略的。

三、以史为鉴，渗透代数思想

出示表格。

师：（指 5×3=3×5）这是我们以前学过的什么运算律？

生：加法交换律。

师：加法交换律用字母怎么表示？

生：a+b=b+a。

师：5×3=3×5也能表示加法交换律啊？

生：5×3=3×5只能表示一种特殊情况，不能代表其他情况。而a+b=b+a能表示所有的情况。

师：也就是说用字母表示加法交换律具有高度的概括性。

师：［指 8×（3+5）=8×3+8×5］这是我们以前学过的什么运算律？

生：乘法分配律。

师：用语言叙述一下乘法分配律的内容。

生：两个加数的和与一个数相乘，可以先把这两个加数分别与这个数相乘，再把乘得的积相加，得数不变。

师：乘法分配律用字母怎么表示？

生：(a+b)×c=a×c+b×c。

师：字母表达式和文字表达相比，你觉得哪种表达方式好？

生：字母表达式好，字母表达式比文字表述更简洁、更明白。

师：用字母表示运算律、公式，不仅概括，而且简洁。当然，我们在用字母表示运算律、公式的时候，一定要理解字母表达式所表示的意义。

四、课堂总结，揭示课题（略）