活化教材，注重过程，突出文化——人教版八年级下册“函数”的教学设计

☉湖北武汉第三寄宿中学　　桂文通

活化教材，注重过程，突出文化——人教版八年级下册“函数”的教学设计

☉湖北武汉第三寄宿中学桂文通

去年上半年，本人有幸成为我区优质课比赛的评委，这次比赛的课题是人教版八年级下册“函数”，我想结合本次比赛情况和观课的感受，谈谈对本节课教学再设计的建议，希望能给大家一定的启发.

一、创设问题情境，激发学习兴趣

数学是模式的科学，书本上的数学知识大部分都割裂了与现实的联系，失去其直观背景，而成为量化的模式.这就使得学生面对的是抽象的数学知识，而不能体会数学知识从现实中产生所需要的数学观念与意识，失去了从数学角度观察、分析现实问题的机会.而问题情境的创设，实际上是一个返璞归真的过程.问题情境能够调动学生思维的积极性、求知欲和创造欲，“一个恰当而富有吸引力的问题往往能拨动全班学生思维之弦，奏出一曲耐人寻味，甚至波澜起伏的大合唱.”所以，我们教师有义务给学生创设合适的问题情境.

结合本节教学内容，可设计如下几种问题情境.

情境1：（“嫦娥二号”升空）通过“嫦娥二号”升空视频，让学生感受时间与高度两个变量的变化和对应关系（如下表）.

飞行时间/秒　129　146　257　332　1533离地面的距离/公里　1399.39 1583.81 2787.94 3601.54　16630

该情境不但让学生直观感受两个变量的变化过程，而且让学生感受到祖国的伟大成就，增强对国家发展越来越强大的自豪感和荣誉感，突出情感目标的实现.

情境2：（“乌鸦喝水”的故事）通过“乌鸦喝水”的故事，让学生感受石子的数量与瓶中水的高度的变化和对应关系.播放动画片《乌鸦喝水》，已知瓶子里的水已有5cm高，平均一粒石子让水升高3cm.

（1）思考：在这则故事中，哪些量是常量，哪些量是变量？

（2）填表：

x/粒1　2　3　4　　…　x y/cm　8　11　14　17　　…　y=5+3x

观察表格，让学生发现每当石子数x取定一个值时，水位高度y就随之确定一个值，自然引出课题.

该情境充满童趣，很容易激起学生探究问题的欲望.通过动画，复习旧知，引出新知.

情境3：（名探柯南的故事）通过名探柯南的故事，让学生感受疑犯的脚印长与其身高的变化和对应关系.《名侦探柯南》中有这样一个情景：柯南根据案发现场的脚印，锁定疑犯的身高.你知道其中的道理吗？请同学们一起玩一个破案游戏.

有关资料表明：脚印长与身高有如下数量关系：

脚印/cm　22　23　24　　…身高/cm　154　161　168　　…

（1）若脚印长度为26厘米，身高长度为多少厘米？

（2）若令脚印长度为x厘米，身高长度为y厘米，求y 与x之间的关系.

用数学知识破案，太有意思了，学生怎么会不集中注意力呢，这大大激发了他们的学习兴趣.

情境4：（密码破译问题）通过“二战”中密码破译的历史故事，让学生感受暗码和明码的变化和对应关系.二战中美军破译了日军密码，派战机伏击，击落了日本海军大将山本五十六的座机，重挫了日本法西斯军国主义对世界人民的侵略.

下面就是美军截获和破译的密码中的一小段：

图1

用历史小故事，让学生体会数学与军事的密切联系，激发学生的求知欲，宣扬爱好世界和平的良好情感，为新课的开展营造良好的学习氛围，启发学生要善于从数学角度去观察生活和思考问题.

真实、合理的问题情境，可有效揭示初中阶段的函数本质——“变量说”.这些情境生动有趣，充满时代感和生活性，将学生引入问题状态，有效地调动了学生思维的积极性，激发了学生的学习兴趣和动机，为学生后继的概念学习搭建了一个很好的“脚手架”，学生也感到数学有用、有趣，提高了课堂效率.

好的开端，往往是一堂课成功的开始！

二、重视数学过程，获取函数概念

数学就是人们对客观世界的定性的把握和定量的刻画，逐渐抽象概括，形成方法和理念，并进行广泛应用的过程.概念教学的核心是引导学生开展概括活动，将凝结在数学概念中的数学思维活动打开，以若干典型具体实例为载体，引导学生展开分析各实例的属性、抽象概括共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念.概念教学要让学生经历概念的概括过程，一般有如下几个基本环节.（1）背景引入；（2）具体实例的属性分析、比较、综合；（3）概括共同本质特征得到概念的本质属性；（4）下定义（准确的数学语言描述）；（5）概念的辨析——以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义；（6）用概念作判断——形成用概念作判断的“基本规范”；（7）概念的“精致”——建立与相关概念的联系.

上面几个环节，课堂上可以如下实施.

（1）情境引入（略）.

（2）通过教师提供的生活中的实例或学生自己身边的实例，抽象出函数关系.比如：

a.行程问题中路程S与时间t：S=60t；

b.弹簧的长度L与挂物重量m：L=20+4m；

c.圆的面积S与半径r：S=πr2；

……

【通过大量的生活中一个量随着另一个量的变化而变化的实例，让学生体会在这种变化过程中两个变量之间的关系，逐步建立函数概念.】

（3）引导学生分析上面函数的特征.提炼出函数的三要素：函数是研究一个变化的过程，它反映的是两个变量间的一种数量关系，当一个变量的值确定时，另一个变量也唯一确定（唯一性）.

（4）概括函数概念.结合函数的三要素，概括出函数的基本定义.

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是自变量的函数.

（5）概念的辨析与判断，巩固概念，“回到定义中去”.可设计下面一组变式训练.

练习1：下列三种情况中，你能用x表示y吗？y是x的函数吗？为什么？

图2

图3

图4

（1）如图2，左边的数都乘以2后，得到了右边的数；

（2）如图3，左边的数平方后，得到右边的数；

（3）如图4，左边的数开方后，得到右边的数.

图5

练习2：图5是武汉某天的气温变化曲线，时刻t的变化引起温度T的变化.

（1）T是t的函数吗？为什么？

（2）t是T的函数吗？为什么？

练习3：在分数统计表中，分数是考号的函数吗？

考号　0001　0002　0003　0004分数　120　116　96　106

练习4：如图6，给出变量y与x的关系，请依次指出y是否是x的函数.

图6

【函数概念的理解是本节课的难点.首先，对函数概念中的“每一个”“唯一确定”等关键词理解难以到位，教学中可以从正、反两个方面识别函数，从数与形的角度认识函数（还可以介绍心电图曲线、股市K线图等），帮助学生理解；其次，对于学生来说，接触的主要是用解析式表示的函数，他们对图像、图表表示的函数，因为难以找到判断的标准，所以在图像、图表中，我们要重视“变量说”中“唯一性”的特征.另外，在函数的识别中，我们也可以渗透它的三种表示方法，即解析法、图像法、列表法.这样可有效地突出教学重点、突破教学难点.】

（6）概念的“精致”阶段.在教学过程中，可以比较函数与自变量的区别，以及函数与函数值的区别.

（7）介绍函数在生活中的简单应用.

例1（教材第73页）一辆汽车油箱现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（L）随行驶里程x（km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.

（1）写出表示y与x的函数关系式；

（2）指出自变量x的取值范围；

（3）汽车行驶200km时，油桶中还有多少汽油？

【例1是函数在实际生活中的简单运用，不但巩固了变量与函数等概念，让学生体会到生活中许多问题都存在着函数关系，还揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质，是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型.通过问题的解决，让学生体验用函数观点处理身边问题的过程，体会用函数观点构建数学模型对于处理实际问题的高效与实用.通过变量之间的关系，能使学生进一步审视已有的代数式、方程、不等式的知识及其联系，增强综合应用知识的意识，提高分析问题和解决问题的能力.】

至此，在函数概念的教学过程中，突出了数学过程，在头脑创造中还原生命活力，让静态的数学概念，呈现出丰富的数学内涵、数学思考、数学观念.在探索和发现的过程中，学生体会到数学概念的提出过程，知识的形成和发展过程，使学生在这些过程中“火热的思考”，欣赏到形式化概念中“冰冷的美丽”.

三、重组教学素材，凸显教师智慧

新的课程标准提出：“教材内容的选择应符合课程标准的要求，体现学生的身心发展特点，有利于引导学生利用已有的知识与经验，主动探索知识的发生与发展，同时也有利于教师创造性进行教学.”我们教师不仅是教材的使用者，还应该是教材的开发者.叶圣陶先生也说过：“课本只是一个例子”.我们教师可以根据课本这个例子，创新地使用教材，不要一味地“教教材”，要有很强的“用教材”意识.

比如一位老师根据教学内容，设计了一个“小明同学到森林公园去烧烤”问题串，给零碎的问题赋予一定情节，突出教学设计的整体感.她的三个问题如下所示.

探究1：（购物）在家附近超市，小明打算用8元钱去购买同一款火腿肠.粗的0.5元/根，细的0.4元/根，单价与购买数量之间有什么关系？

探究2：（乘车）小明乘以40千米/时的速度匀速行驶的公交车去森林公园，用t表示它行驶的时间（小时），用S表示它行驶的路程（千米），S与t有什么关系？

探究3：（在公园玩）扔一个石子到水里，荡开圆形水波纹的面积S与半径r有怎样的关系？

在三个问题中，自然地引入了初中学习的三类函数（反比例函数、一次函数、二次函数）.

还有一位老师在整个课堂中都是围绕“世博”设计问题，突出“世博”文化主题，也很好地体现了数学的现实性.他设计的一组问题如下所示.

问题1：小明从武汉乘动车组去上海，如果动车组以250千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，用含t的式子表示s为___________；

问题2：小明在早上10点进入世博园时了解到园区现在有8万人，如闸门每小时平均净放入3万人，则t小时后园内的人数n（万人）可以表示为_________；

问题3：德国馆前要用200米的栏杆围成一个长方形的休息场地，如一边长为x米，面积为y平方米，用含有x的式子表示面积y为_____________；

问题4：由于每天参观世博会人数众多，很多场馆必须长时间排队进入.某个商店每天销售6000个折叠小凳，平均每小时卖m个，t小时卖完，用含有t的式子表示m 为_________.

其实，还可以根据教学的需要，将课本上的问题有意识地进行改造或分解，创造性地挖掘教材，极大地凸显教师的智慧.比如有老师对例1重新设计为如下5个小问题：

（1）写出表示y与x的函数关系的式子；

（2）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？

（3）汽车行驶多少千米后油箱中还有油12L？

（4）汽车最多行驶多少千米？

（5）指出自变量x的取值范围.

对照教材上的安排，增加了问题（3）、（4），并把问题（5）放置最后.问题（3）、（4）的增设，即已知函数值，求自变量的值，不但帮助学生理解函数的“单值对应关系”，而且渗透了函数与方程的联系，还为问题（5）的解决作了铺垫.

四、文化润泽课堂，绽放理性之光

数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分，《数学课程标准》指出：数学教学应当承担向学生传递数学文化的重要职责，教师应有意识地在数学课堂上渗透数学文化，让数学这个学科绽放出应有的理性光辉，努力构建“以智生情”的数学文化课堂.重视数学数学思想方法的教学，让课堂充满数学味.在课堂上，我们要充分挖掘出教材中隐藏的数学思想方法，并且将它放大、外化，并在课堂中予以传递，让它成为学生进行数学思考的重要支撑.比如在本节教学中，可以适时地渗透函数、数形结合、数学建模等思想方法.引入数学史，凸显人文课堂.适当地介绍函数概念的发展历史、函数一词的由来和一些数学家（比如欧拉）的故事，这样做不但使学生了解函数概念的发展过程，而且还让他们从数学家的身上获得一种精神力量，引导学生透过史实，触摸到史实背后的价值和观念，使其构成一种更有教育意义的积极影响.

另外，通过数学与生活的联系，让学生感受到数学来源于生活，又服务生活这一辩证唯物主义观，也体现了数学的应用之美，让学生感受到数学的力量.

构建民主、平等的生态课堂也是课堂文化的一部分.教师要始终为学生创设一种师生平等、民主的课堂氛围，师生平等对话，充分调动学生的积极性，让学生积极参与教学活动.教师还要运用激励性评价，帮助学生更好地认识自我，建立学好数学的信心.一位老师用“聪明是勤奋的函数”结束新课，意味深长，不但点明课题，而且启迪人生.

正是教育对人的生命存在及其发展的整体关怀，使得学生在课堂上表现得精神饱满、自信专注，师生间才有心灵的碰撞、思路的交锋，使得课堂教学焕发出无穷的生命力.

参考文献：

1.李延林.理解教材是设计教学的重要基础［J］.中学数学教学参考（下），2008（7）.

2.吴琳.关于教材整合的一些思考［J］.中国数学教育（初中版），2015（12）.

3.冯菊美.从一堂优质课谈“过程化”教学的实施［J］.中学数学教学参考（下），2008（12）.