教学环节注重关联，变式训练兼顾逆向——评一节“同底数幂的乘法”汇报课

☉江苏省泰州市姜堰区实验初级中学　许小燕

教学环节注重关联，变式训练兼顾逆向——评一节“同底数幂的乘法”汇报课

☉江苏省泰州市姜堰区实验初级中学许小燕

最近有机会观摩一名年轻教师执教的“同底数幂”汇报课，限于观摩展示活动的“和谐”气氛，对于该课教学中的不少环节，笔者认为值得商榷与改进，故观摩之后，笔者将该课教学流程梳理出来，并提出自己的一些个性化商榷意见，提供研讨.

一、“同底数幂的乘法”教学流程

1.数学实验，引入新课

活动设计：通过演示折纸，创设情境，激发学生学习新知识的兴趣，导入探究对象：同底数幂的乘法.

演示：将一张纸条对折，每次对折后有纸几层？第1次对折后有纸几层？第2次对折后有纸几层？第3次对折后有纸几层？第4次、第5次呢？……

预设：引导学生得出规律：第1次对折后有纸21层，第2次对折后有纸22层，第3次对折后有纸23层，第4次对折后有纸24层，第5次对折后有纸25层，……

观察：式子21、22、23、24、25有什么共同之处？

预设：学生可能回答：它们都是2的乘方的形式，此时，教师可以进一步推广：它们都是同底数幂的形式.其间复习底数、指数、幂的概念，为同底数幂的乘法法则的准确表述打下基础.

导入新课：如果把21、22、23、24、25等用乘号连接起来，那就是本课所要研究的主要内容：同底数幂的乘法运算.（板书课题：同底数幂的乘法）

2.探索新知，归纳性质

引导学生自主探究同底数幂的乘法的运算规律.

计算观察：

（1）25×27=_____；

（2）2m×2n=_____=2（）；

（3）a5·a7=________=a（）.

预设追问：

（1）这几道运算题有什么共同特点？

（2）请看一看自己的计算结果，这些结果有什么规律？

自主探究：aman=______=a（）.

预设互动：教师提出问题，引导学生探究规律，学生书面练习，自主探究、议论、交流、回答.

预设点评：学生通过练习，探索规律，用乘方的概念进行推算，再从特殊构建出一般的规律，教师通过问题的提出，如把指数用字母m、n表示，而后得到aman=am+n（m，n为正整数），即同底数幂相乘，通过乘方的意义推导出：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.（可让学生自行概括出幂的第一个运算法则）

归纳概括：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

符号表示：aman=am+n（m，n为正整数）.

自主探究，拓展推广：am·an·ap=am+n+p（m、n、p都为正整数）.

3.理解运用，巩固训练

（1）x4·x6=x24（）；（2）x·x3=x3（）；

（3）x4·x4=x8（）；（4）x2·x2=2x4（）；

（5）（-x）2·（-x）3=（-x）5（）；

（6）a2·a3-a3-a2=0（）；

（7）x3·y5=（xy）8（）；（8）x7+x7=x14（）.

设计意图：判断题这种小题型的训练，从正反两个方面对法则的应用加以甄别，有利于学生加深对法则的理解，为学生进一步运用法则解题奠定理论基础.

例2计算：

（1）x2·x5=_____；（2）a·a6=_____；（3）2×24×23=_____；（4）xm·x3m+1=_____.

预设引导：（1）使学生正确理解法则，运用法则进行计算.

（2）a·a6中注意a是a的一次方，提醒学生不要漏掉这个指数1.

（3）计算结果可以用幂的形式表示.如103×104=107，但是如果计算较简单也可以计算出得数.

设计意图：上述例题的探究，目的是使学生理解法则，运用法则，解题时不要简化计算过程，要让学生反复叙述法则.

跟进练习：计算：（1）b5·b=_____；（2）10×102×103= _____；（3）y2n·y2n+1=_____；（4）-a·a6=_____；（5）（-2）3× （-2）2=_____.

设计意图：学生在教师提供的数学材料的思维情境中思维的方向进一步拓展，初步体验了同底数幂乘法法则计算的优越性.

4.互动游戏，激发热情

为了进一步深化同底数幂的乘法法则的理解和运用，激励学生自主学习的热情，提高学习能力，设计如下的游戏活动.

活动设计：

（1）下列哪些数或式子相乘可以用同底数幂的乘法法则进行运算？

设计意图：将可以用同底数幂的乘法法则进行运算的各分成一类，老师在学生讨论发言后，以媒体形式动画演示.

（2）学生对这些同底数幂自行组合，出一道计算题送给同桌，看他（她）能不能正确地解答出来.

设计意图：学生通过亲身的体验，体会法则的便捷性，在活动中感受到学习的乐趣.

听课手记：学生热情高涨地出了很多典型的易错题：23×210×（-2）5×4×（-24）；（-a）4·a3·（-a7）·a6；（-x）5·x3· （-x4），……

5.回顾反思，小结收获

教师PPT投影如下小结问题，引导学生回顾学习活动的过程，归纳其中的解题经验，体会其中的数学思想.

（1）通过本节课的学习，你学会了什么知识？得到了什么解题经验？

（2）通过本节课的学习，你体会到了哪些数学思想方法？

听课手记：学生能说出本课所学的知识技能，如：学会了同底数幂的乘法，使用范围是两个幂的底数相同，且是相乘关系，使用方法：在乘积中，幂的底数不变，指数相加；运用时可以拓展，例如，对含有三个或三个以上的同底数幂，仍成立；底数和指数，它既可取一个或几个具体数，也可取单项式或多项式；幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆等.另外，老师引导学生归纳本课涉及的一些数学思想方法：观察、猜想、验证、应用，体会从“特殊”到“一般”再到“特殊”的思想方法.

二、评课意见与商榷改进

从各个教学环节的有序推进来看，上述课堂流程是完整的、有效的，教学形式是丰富多样的，教学对话是精彩生成的，课堂氛围是热烈的.然而从追求更有数学味，前后关联度更强的角度来看，上述教学设计还有一些值得商榷改进的空间，分述如下：

1.开课情境与新课内容的关联值得商榷

开课情境中用所谓的折纸问题的数学实验，用来演示乘方运算的“奇异美”是有积极意义的，但是作为同底数幂的运算法则引入，则似乎缺少关联.所以这个开课情境的选择并不可取，开课阶段可以直接安排一组“计算观察”，通过计算之后猜想并发现幂的运算规律，进一步证明同底数幂的运算法则，把节约出来的教学时间用于同底数幂的性质证明及后面的变式训练.

2.游戏活动调节课堂氛围但不能泛娱乐化

该课在训练巩固环节安排了游戏活动，激活了学生参与的热情，活跃了课堂氛围，也有效训练了同底数幂的运算法则.然而学生也列举出一些易错的问题，并且有学生因此而弄错，但在出错之后学生之间只是简单的纠错，有些学生在嬉笑彼此之后，并没有深入追问出错的原因，教师也没有利用这些现场“生成性资源”做出必要的点评，使得究错教学、化错教学没有落到实处.值得指出的是，初中数学课堂不同于小学数学，适当的游戏活动调节课堂氛围与课堂泛娱乐化之间的界线有时比较模糊，作为一门推崇理性思维的学科，笔者以为，数学课堂上的游戏环节应该慎用.根据数学家罗素的观点，数学是一种冷峻美，需要的是一种“拈花微笑”的会意，不是表面上的热闹就能凑效的.

3.巩固训练环节可以变式给出“逆向”问题

巩固训练环节主要侧重要同底数幂的正向运用，没有变式出逆向运用的问题，对学生完善学习认知是一种习题设计上的不足.作为数学研究的一种重要范式，就是思考原命题后要继续思考条件与结论转换后的逆命题，向学生渗透这种研究方法是十分必要的，以下一些“逆向”问题就可以作为这节课的变式巩固与拓展运用环节开展训练.

一组“逆向”问题：

（1）已知8×2x=32，则x=________.

（2）已知3x=6，则3x+2=________.

（3）已知am=4，an=32，则am+n=________.

（4）已知am=5，am+n=10，则an=________.

（5）已知4x=8，4y=32，求x+y的值.

（6）若2x=m，2y=n，求2x+y+2的值.

三、写在最后

《中学数学》（下）近期曾刊发过专家教师李庾南老师关于幂的运算课例设计，李老师基于“单元教学”的思想，把三种幂的运算法则在起始课时全盘托出，并进行了证明，想来也是值得我们借鉴的.笔者以为，无论哪种设计，是否站在理解数学的高度，理解学生的角度，可否让“数学味”浓厚一点，能否让学生“想得更优化、更深入、更合理”（郑毓信教授语），应该是我们努力的方向.

参考文献：

1.汤志良.步步有据：推导幂的运算性质——李庾南老师“幂的运算性质”课例赏析［J］.中学数学（下），2015（5）.

2.周红娟.从操作走向思考，从“参观”走向“探索”——“等腰三角形的性质（第1课时）”教学与反思［J］.中学数学（下），2014（7）.

3.郑毓信.善于优化［J］.人民教育，2008（20）.

4.郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”［J］.数学教育学报，2016（3）.