相对差异分析法：数据寻“异”，试题探“因”——以一次九年级数学期中测试分析为例

☉江苏泰州市教育局教研室　钱德春

相对差异分析法：数据寻“异”，试题探“因”——以一次九年级数学期中测试分析为例

☉江苏泰州市教育局教研室钱德春

测试分析旨在通过对测试数据及试卷的分析，研究教学问题及产生原因，为优化教学管理、改进教师教学、调控学习行为提供依据和建议.测试分析的方法较多，相对差异分析法是一种行之有效的方法.笔者运用相对差异分析法，通过数据寻“异”、试题探“因”，对A校九年级上学期数学期中测试进行分析，得到学校管理者和教师的好评.他们认为这种分析方法具有个性化和精准性的特点，令人口服心服.本文以这次的测试分析为例，谈谈笔者对相对差异分析法的思考，以期同行指正.

一、相对差异分析案例

1.基本概况

分析样本是A校2015年秋学期九年级数学期中测试数据和试题.由校内非本年级教师命题，采用网上阅卷形式.这是一所全日制公办初级中学，八年级升九年级时重新平行分班，共19个班计947人，每班人数从48到51不等.所用教材为苏科版义务教育数学教科书，本学期已学习一元二次方程、相似三角形、圆、统计.

表1：考试各部分内容得分统计表

表2：考试基本数据统计表

从部分测试数据（如表1、表2）看出：试卷在注重对“四基”考查的同时，对学生数学思维与学习能力考查着墨较多.

图1是全年级90分及以上人数的分数段折线统计图（90分以下合并）.由图1看出：全年级学生分值基本呈正态分布，大致反映了九年级上学期学生数学学习的特点与水平.

图1

2.基于测试数据的相对差异分析

笔者选取了6个维度对测试数据进行了分析.

（1）试卷各部分知识点占比分析.

图2是试卷考查内容占比制成的饼形统计图，反映两方面信息：①一元二次方程、圆、相似三角形等核心知识的分值占试卷总分值的71%，其中与圆的切线有关的知识达19分之多，说明命题者重视对核心内容的考查；②七年级、八年级知识占比达20.5%，这说明旧知考查所占比例偏大.

图2

（2）同类学校不同试卷知识占比分析

表3为A、B两校2015年秋学期期中试卷知识占比统计表.两校学生状况及规模类似，教学内容、测试类型、测试时间一致，试卷总分值相同，所用试卷来源不同.表3数据表明：在新知考查方面，A、B两校在“一元二次方程”“统计”这两部分的分值相当，而“相似三角形”和“圆”两部分的分值占比差距较大.在“旧知”考查方面，A校占总分的20.5%，接近B校的两倍，说明A校试卷对“旧知”的考查量偏大.

表3：2015年秋学期A、B两校期中试卷知识占比统计表

笔者认为：升学应试是数学教学无法回避的现实.在试题中通过以新知带旧知方式进行测试，增强学生的适应与综合能力，是一种有效的应试策略.但A校样本试卷对旧知的考查分量偏重，会对新知的教与学形成干扰.

（3）同试卷同班级各部分内容得分差异分析.

图3为A校试卷各题得分率、优秀率和及格率的折线统计图.从统计图发现：试卷第24题、第26题得分明显偏低，这引起了笔者的关注.

图3

（4）均分最高班级与最低班级比较.

笔者将两个班级各题得分按“两个班的题均分之差÷该题满分×100%”的公式计算，计算结果称为班级题均分相对差异率.笔者选择了数学均分最高的甲班和均分最低的乙班进行统计，并将两个班级的题均分相对差异率不大于5%和不低于10%的统计结果分别列表如下（见表4、表5），两个班级的总均分相对差异率为：（117.3-106.5）÷150×100%=7.2%.

表4：甲、乙两班题均分相对差异率不大于5%的题分析表

表5：甲、乙两班题均分差异率不低于10%的题分析表

从表4、表5看出：班级题均分差异率不大于5%的题主要集中在九年级基础知识和八年级旧知，原因有二：一是八年级升九年级经过重新分班，班级间学生对旧知的掌握相对均衡；二是大多数学生对旧知的遗忘率处于较高水平.班级题均分差异率不低于10%的题主要集中在九年级新授内容，具体为填空题后一部分（13-16题）和主观题中的“方程应用问题”、“相似三角形”和“圆”这三部分，其中第25题均分差异率达14.20%，远超过两个班的总均分相对差异率7.2%，这表明学生对九年级核心知识和方法掌握的差异性较大，这一方面说明了九年级数学教师个体差异较大，另一方面反映了集体备课没有落到实处.

（5）不同班级相近分比较.

笔者选取了总均分分别为111.6、111.5、111.2的甲、乙、丙三个班进行各题得分差异比较（“乙-甲”表示乙班与甲班各题均分之差），并将分析结果列成表格（见表6）.从表6看出：乙班与甲班、乙班与丙班的均分差都不小于0的题分别有第1-6题、第7-16题、第19、22、24题；而均分差都小于0的题有第17、20、25题.结合测试内容发现：乙班九年级基本概念及几何部分教学相对扎实，而“一元二次方程的解法”及“用方程解决现实问题”、“新定义”部分相对较弱.在满分30分的填空题中，甲班比乙班低了1.3分，足以说明甲班特别需要强化基本概念教学.

表6：总均分相近班级各题得分差异性分析表

（6）同一试卷同分值的不同内容之间的比较.

表7是满分相同试题全校均分与方差统计表，从表7中发现一个现象：第18题、第19题满分都是8分，均分分别为7.1和7.3，比较接近.但第18题的得分方差接近第19题的2倍；第20题到第23题满分都为10分，但第20题平均分最低，方差18.99为全卷最高.

表7：同分题均分与方差统计表

我们知道，方差是衡量数据离散程度的量，分值方差大说明学生分化现象严重.而从位置和难度上看，试卷的第18题、第20题都是处于居中位置的常规题，命题者主观上并没有将此题作为区分题.为什么会出现这样的现象呢？

3.基于相对差异分析结果的试题分析

笔者从相对差异分析结果出发，选择相对差异性较大的几道试题，分析试题及产生差异的原因.

（1）关于代数化简计算.

（2）关于方程应用问题.

案例2：（第20题）某批发商店经销一种高档水果，如果每千克成本15元，售价30元，每天可售出500kg.现该商店决定降价销售，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克降价1元，日销量将增加20kg.现该商店要保证每天盈利6000元，那么每千克应定价多少元？

试题源于苏科版义务教育教科书数学九年级上册的“1.4用一元二次方程解决问题”.

第25页例题：某商店销售一批衬衫，平均可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施.假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件.如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？

第27页练习：某商店经销的某种商品，每件成本40元，经市场调研，售价为50元时，可销售200件；售价每增加1元，销售量将减少10件.如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利2000元.问：该商店销售了这种商品多少件？每件售价多少元？

那么，本题与教材例、习题之间有何相关性呢？将试卷第20题及教材例、习题相关信息列成表格（见表8）发现：试题与教材例、习题的条件、所求结果本质一致，相等关系都为：变化后的销售数量×变化后的单位盈利=总盈利，基本要素与分析策略也基本相同.主要区别在于：一是单位盈利，例题是直接告之，而练习和试题需要用售价减去成本；二是未知设问，教材例题是直接设未知数，而教材练习和试卷第20题则间接设未知数比较方便（教师参考书是直接设未知数，但比较复杂）；三是方程及解，都是一元二次方程，需要对解进行取舍.

表8：试卷第20题及教材例、习题相关信息表

如何用方程解决实际问题，也是学习难点之一，考查了学生的阅读与理解能力、信息提取与分析能力、运算与反思能力.测试数据与试题分析结果表明：学生出现明显分化现象，已掌握分析方法和解题策略、能熟练地解方程并对结果正确取舍的同学正确率较高，而相当多学生遇到稍有变化的问题就望题兴叹.虽然教材从小学开始就作为学习的重点，但如果靠大量机械训练与学生模仿，失分多与两极分化就成为必然.

（3）关于试题综合程度.

案例3：（第24题）已知▱ABCD的两边AB和AD为方程x2+（2k-1）x+k2+1=0的两个根.

图4

（1）如图4①，以点A为圆心、AB长为半径的圆，经过点C、D，试求k的值及的长度；

（2）如图4②，已知▱ABCD（AB＜AD）内接于⊙O，过点D作⊙O的切线交AC的延长线于点E，若k=-1，求CE的长.

该题为一元二次方程、四边形、相似三角形和圆的综合题，考查一元二次方程根的判别式、圆的切线性质、相似三角形的性质与判定，由于问题信息量大、题型比较综合，加之还有八年级特殊四边形的判定与性质在新知识背景下的灵活运用，造成学生失分较多.这说明：新授阶段由于内容呈现碎片化、学生消化反思时间少等原因，知识点有待整合、疑难点有待突破、思维有待提升.因此九年级第一学期阶段性测试的试卷不宜过分综合，否则会影响试卷效度，难以达到考查目的.

（4）关于旧知识考查.

图5

该题作为试卷压轴题，主要考点是八年级点的坐标、一次函数、反比例函数、矩形性质，九年级相似三角形等知识的综合运用.由于旧知处于遗忘的“自由落体”状态，得分偏低在预料之中.该题对数学思想的考查相对集中，考查分类思想、方程思想、数形结合思想、化归思想等，要求偏高，不宜作为新授阶段测试卷的压轴题.

（1）∠BEO=_____°.

（2）求实数k的值.

（3）将矩形ABCD进行适当平移，设平移后矩形的顶点B的坐标为（m，n）.

①若点B、D均在反比例函数y=

4.基于分析结果的命题与教学建议

（1）关于对命题的建议.

作业、测试采用“滚雪球”的方法，将适当比例的旧知通过滚动式练习、考查，提醒学生温故知新，不失为有效应试之策.然而不同类型、不同阶段试卷的指向应有所区别，命题者要研究课程标准、教材，了解考试目的要求与学情，列出双向细目表.作为九年级第一学期新授阶段测试，应侧重新知与“四基”考查，旧知分量一般控制在10%左右，也不宜在区分位置题上考查.同时试题应该根据新授阶段学生的特点低起点小坡度，不宜过分综合.

（2）关于对教学的建议.

就教学而言，一是强化概念的过程性教学.数学概念是一切数学知识的逻辑起点，教学中必须延长概念生成的过程，引导学生在概念的形成与揭示、抽象与模仿、归纳与表征、运用与辨析中理解、内化概念的外延与内涵.二是代数运算教学要有三部曲：算理、习惯、训练.第一步是掌握算理，让学生明白每一步运算的理由，所运用的法则、公式、运算律.第二步是培养习惯，强化整体思考与按步骤运算.如分式化简时需要括号内通分，将除法运算转为乘法运算，将分子、分母中的公因式约简……这个过程要依次进行，不能跨步运算.第三步是综合与深化，通过一定量的练习达到熟练运算的程度.三是方程应用教学要抓重点.如何列方程是此类问题的重点，教学中侧重引导学生阅读理解题意，提取相关信息；找相等关系；用含未知数的代数式表示相等关系；正确解方程并对结果进行取舍.四是发挥新旧知识相互作用的“正能量”.既要注意知识的同化，引导学生把新知纳入已有知识结构中去，也要强化知识的顺应，在新知学习中不断深化、完善原有知识结构.这样，学生的数学知识才能形成有机整体，不至于造成知识遗忘率高、答题时顾此失彼的现象.

另外，加强集体研究很有必要.教师个体之间的均衡是相对的，而差异性是绝对的.这就要在教师个体研究的基础上，加强集体备课，同组教师相互切磋，共同研究，研究教学重点、难点，本校本班学生的疑点、易错点、思维障碍点，并思考应对策略，形成共识.通过相互听课、研课、评课，及时发现并解决教学和学生学习中存在的问题，尽可能缩小班级间的差距.

二、对“相对差异分析法”的思考

1.什么是相对差异分析法

所谓差异分析法，是通过比较测试数据差异所在，结合试题分析，查找教学问题原因，给学校、教师、学生提供建议.差异分析法可分为两类：一类是绝对差异分析法，即在命题时根据测试目标、评价意图和学生状况预先设计评价标准，测试后将实测数据与预设标准比较，从而对教和学给出评价和建议；另一类是相对差异分析法，即通过对某些指标（或条件）相同情况下的若干关联对象数据的差异性分析，结合试题分析产生这种差异的原因.本文分析案例主要采用相对差异分析法.

2.相对差异分析法的意义

洛仑兹效应告诉我们：初始条件十分微小的变化经过不断放大，对未来状态可能会造成巨大的影响.测试数据的微小差异分析，有时能够反映教与学的突出问题.相对差异分析法正是从微观层面出发，从不同维度对测试数据的差异性进行比较，并结合试题分析，找出出现差异的原因，以精准的分析与建议，对命题与教学产生积极影响.

3.相对差异分析法的特点

相对差异分析法重点在相对比较，具有主体多样与目标多元、角度多重与范围广泛、精准科学与操作简易等特点.

（1）主体多样，目标多元.

从分析主体来看，可以是主管部门的分析、命题者自我分析，也可以是被测试者（学校、教师、学生）的自我分析.从分析目标上看，相对差异分析法可以为学校了解教学情况、完善教学管理提供科学依据，为命题者掌握试题效能、优化命题思路提供全新视角，为教师反思教学行为、调整教学状态提供合理建议，还可以为学生完善自我认知、强化学习调控产生直接影响.

（2）数据多样，角度多维.

相对差异分析法具有采集数据多样、分析角度多维的特点.从采集数据来看，可以是区域、学校测试数据与试题，也可以是班级、教师、学生个体测试数据；可以是具有某方面相同特征或内容、类型、功能的其他（如不同地区、不同学校、不同班级、不同时间等）测试数据.从分析视角来看，可以多维度分析.如本文案例就选择了6个维度的数据进行了分析.

（3）精准科学，操作简易.

相对差异分析法是基于数据差异、结合试题的比较分析，可以细化到具体班级、试题，具有针对性强的特点.从操作方法上说，这种从数据到试题、从定量到定性的分析方法，无需太多的技术支撑，简单易行.

4.相对差异分析法的路径

相对差异分析法的基本路径为：资料准备→差异分析→提出建议.

（1）资料准备.

在进行分析前需要作如下准备：①汇总阅卷系统生成的常规数据；②了解测试目的与测试内容、测试范围与测试对象，学生学习内容与学习现状；③确定相对差异分析维度；④收集测试试卷、参考解答、双向细目表；⑤收集其他相关数据.

（2）差异分析.

分析过程可分为寻找差异、试题分析、教学调研三步骤.①寻找差异——根据收集的相关数据和预先确定的分析目标、分析对象和分析维度，选择某方面数据特征相同或接近的对象进行统计分析，找出数据差异；②试题分析——根据数据分析，筛选出差异性较大的试题，从试题位置、得分、所考查知识点、与课程标准或教材的关联、解题策略、数学思想方法、能力要求、课堂教学等方面找出导致差异的原因；③教学调研——可根据分析结果带着问题进行师生访谈、课堂观察，真实、全面了解情况，从而提出客观、科学的建议.

（3）提出建议.

根据不同的分析对象、目标和要求，提出基于分析结果的建议，如命题建议、学校教学管理建议、教师教学建议、学生学习建议等.