一道平面几何题的说题设计的探究

☉华南师范大学数学科学学院　陈　奕　苏洪雨

一道平面几何题的说题设计的探究

☉华南师范大学数学科学学院陈奕苏洪雨

随着近几年素质教育改革与实践，说题作为一种新型的教研模式受到广泛关注，逐渐成为一种教师同行之间、学科备课组内互相交流教学经验、探讨教学方法和教学思路的有效方式.所谓说题，就是教师在做题的基础上，阐述对题目的理解与分析、解题所用的思想方法、策略、依据及题后归纳拓展的一种教研模式.说题的目的是教师如何更好地教，因此，说题要注重教师如何“教”、学生如何“学”及题目如何“考”这三方面的联系.下面笔者就一道初中的平面几何题目进行说题设计的探究.

一、试题呈现

图1

题目如图1所示，在△ABC中，∠CAB是钝角，AB=BD=DC，∠BCA=30°，求∠CAD的大小.

二、说题设计

（一）审题分析

1.题目背景

本题是一道平面几何题，出自于人教版数学八年级下册第十七章“勾股定理”的配套练习.本题考查了学生的平面几何的综合能力，难度中等，要求学生根据相关知识点之间的联系，利用题目给出的条件，准确作出辅助线进行求解.

题目涉及的知识点包括三个方面：（1）全等三角形的判定；（2）直角三角形的性质：直角三角形30°角所对的直角边边长是斜边边长的一半；（3）等腰三角形的性质：等腰三角形底边的中线、高和顶角的角平分线“三线合一”.其中，直角三角形的性质是本题考查的重点.问题解决的难点是学生对“∠CAB是钝角”这个条件无从下手及不知如何作辅助线.其中蕴含的数学思想主要是化归的思想.

2.条件分析

在读完题后，带领学生分析题目给出的三个条件，分别是：（1）在△ABC中，∠CAB是钝角；（2）AB=BD=DC；（3）∠BCA=30°.由题目所给的条件，借助思维导图（图2）进一步分析能得到什么初始的结论，利用这些结论得到若干个解决问题的思路.这样的做法符合学生的认知规律，让学生不是根据感觉，而是有理有据地获得问题的解决办法，体会到解法的“水到渠成”.

图2

3.题目价值

面对几何题，学生通常会觉得辅助线的作法是从天而降，没有规律可循，只能凭感觉，对几何题产生了畏惧心理.本题的价值在于解决问题后学生掌握直角三角形的性质与应用，巩固全等三角形的判定与等腰三角形的性质等知识.在经历问题的解决后，学会如何挖掘题目信息，利用思维导图分析题目的已知条件，准确作出辅助线，获得添加辅助线的策略，提高解决平面几何的综合能力.

图3

（二）解题过程分析

1.解题思路的形成

思路一：从三角形内角和180°出发.

拿到题目，学生很容易想到利用三角形内角和180°与等腰三角形底角相等来建立恒等式（图3）.∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=（180°-2∠2）+∠2+ ∠3+30°+∠6=180°⇒∠2-∠3-∠6=30°.

上式得到的是关于∠2、∠3、∠6的恒等式，并不能求出∠3的大小.而且题目中的条件“∠CAB是钝角”没有使用，所以仅利用三角形内角和不能解决问题.这时学生会想到通过添加辅助线求∠3的大小.

思路二：作辅助线.

在本题中，辅助线的作法有很多种，到底如何有效地作辅助线呢？这需要结合题目的信息进行选择.由思维导图（图2）我们得到几个有用的结论：①30°角所对的直角边边长是斜边边长的一半；②钝角三角形的一个垂足在三角形外；③等腰三角形底角相等，三线合一.根据这些结论，我们选择基于等腰三角形“三线合一”的性质作辅助线，以及基于钝角三角形作辅助线.

（1）基于等腰三角形三线合一的性质作辅助线.

本题中关于边相等的条件很多，关于角的条件只有一个（30°），所以首先可以考虑利用BD=DC，∠BCA=30°这两个条件.利用BD=DC，可以知道等腰△BDC三线合一，所以考虑过点D作BC边的垂线交BC于点H.又因为∠BCA=30°，所以将HD延长交AC于点E（图4）.

为什么不过点A作BC边的垂线？这是因为题目条件是BD=DC，在△BDC中三线合一，既利用了边相等的条件，又用到∠BCA=30°的条件，若是过点A作BC边的垂线，只有∠BCA=30°这一个条件可用，并且得不到更多的结论.

再根据条件，可以得到△EHB≌EHC（HL）⇒∠CEH=∠HEB=∠BEA=60°.

图4

图5

通过上面证明全等三角形得到了∠HEB=∠BEA= 60°，这时引导学生思考：能否再寻找等量关系来证明AE=DE，根据等腰三角形三线合一的性质得到BE⊥AD，从而得到∠CAD=30°呢？学生会发现由现有的条件很难证明AE=ED，但还有一个条件“∠CAB是钝角”没有用到.

由得到的结论：钝角三角形的一个垂足在三角形外，学生可以想到过点B作AC边的垂线交CA延长线于点F，证明△BFA≌△BHD和△BFE≌△BHE.

（2）基于钝角三角形作辅助线.

过点B作AC边的垂线交CA延长线于点F（图5）.由于∠CAB是钝角，所以垂足F在CA的延长线上.直角三角形中，30°角对应的直角边长度是斜边的一半，所以FB=BH. 又AB=BD，所以△BFA≌△BHD（HL），△BFE≌△BHE （HL），所以FE-FA=AE=EH-DH=ED.又∠HEB=∠BEA= 60°，继而得到BE⊥AD，所以∠CAD=90°-60°=30°.

2.解答呈现

辅助线作法：过点D作BC边的垂线交BC于点H，将HD延长交AC于点E，过点B作AC边的垂线交CA延长线于点F（图5）.解答过程见流程图（图6），详细解答略.

图6

（三）变式与拓展

1.利用几何画板寻求答案

在解决完本题后向学生演示几何画板操作，通过观察测量可以很直观地得到本题的答案.在进一步操作后，学生发现：改变∠BCA的大小可以得到如下结论（图8）：

图7

（1）当∠BCA=30°时，∠CAD的大小不会随着∠CAB（为钝角）的大小改变而改变；

（2）当∠BCA≠30°时，∠CAD的大小会随着∠CAB（为钝角）的大小改变而改变.

由此可以知道，∠BCA=30°在本题中起着制约∠CAD的作用，即改变∠BCA的大小，本题答案就不同了，所以∠BCA=30°不仅仅是一个角的度数那么简单，它制约着本题中边与边的关系，以及其他角的度数.因此，解决本题要使用∠BCA=30°的性质，如在直角三角形中，30°角所对的直角边长度是斜边的一半.这时学生可以体会到为什么要如此添加辅助线了.

2.题目的“来”与“去”

解题要了解题目是从哪里来，往哪里去.从哪里来就是揣摩出题者的意图，寻找题目的原型.往哪里去即题目还有什么变式，一题变多题.

本题的条件“∠BAC是钝角”让学生不知如何入手，利用几何画板通过改变∠BAC的大小可以发现：

（1）当∠CAB为钝角（一定范围内）时，∠CAB的大小不改变∠CAD的大小，即∠CAD保持30°不变；

（2）当∠CAB为直角时，D为BC的中点，∠CAD=30°；

（3）当∠CAB为锐角时，此时点D在△ABC的下方，∠CAD的大小会随着∠CAB的变化而变化，即∠CAD不是定值（图8）.

图8

图9

其实，当∠CA′B为直角，D′为BC的中点时，就是本题的原型.容易证明此时的∠CA′D′=30°.出题者实际将A′D′向右平移，当交A′C于点A时（图9），∠CAB为钝角，D为A′D′平移后与过D′的中垂线的交点，得到本题的△ABC，而且在平移的过程当中，△BA′A和△BD′D保持全等.若我们了解出题者的意图，我们很容易可以由平移的性质知道∠CAD=30°.在接下来的证明过程中只要证明△BA′A和△BD′D确实保持全等即可.

当然了，细心的学生会发现当点A移动到CG中间时，点D移动到三角形△ABC上方；当点A移动到CA′延长线上时，点D移动到三角形△ABC下方，注意到无论A′D′怎样平移，△BA′A和△BD′D保持全等，这是解题的一个切入点.据此就可以对本题进行一系列的变式.

变式1：如图10，在△BDC中，∠BCD＞30°，AB=BD= DC，∠BCA=30°，求∠CAD的大小.

图10

图11

思路：变式1其实是将直角△A′BC中的边A′D′向右平移交BC中垂线和A′C于点D、A得到的（图11），在这个过程中，△BA′A和△BD′D保持全等，解法类似本文一开始提出的问题的解法.

变式2：如图12，在△ABC中，∠BAC是锐角，AB= BD=DC，∠BCA=30°，求∠CAD的大小.

图12

图13

思路：变式2其实是将直角△A′BC中的边A′D′向左平移交BC中垂线和CA′延长线于点D、A得到的（图13），在这个过程中，△BA′A和△BD′D保持全等，解法类似本文一开始提出的问题的解法.

三、总结

新课标提倡学生为本，在习题课上的体现在于教师站在学生的角度，考虑学生可能的思维，剖析学生的解题思路.教师可以尝试引导学生进行“出声思维”，即把解题思路用语言表达出来，分析题目条件、考查的知识点、突破口、思想方法等.同时要重视题型归纳、辨析、变式、总结，实现一题多解、多题变一题，通过归纳提升、变式训练，提高学生的解题能力，真正地实现“减负”.在教学中要善于使用计算机技术（几何画板），在本题的解答过程中，几何画板的使用让我们看到当∠CAB改变的时候，不变的量是什么，从而可以指导我们进行下一步的证明.

参考文献：

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.孟德俊.中考数学压轴题说题案［J］.中小学数学（初中版），2014（5）.

3.吴万征.一道解析几何题的说题实录与反思［J］.数学之友，2015（5）.

4.修其生.一道高考数学试题的“说题”［J］.高中数学教与学，2014（18）.