巧用极端化情形解决与点的坐标相关的取值范围问题

☉浙江省绍兴市上虞区竺可桢中学　徐　骏

巧用极端化情形解决与点的坐标相关的取值范围问题

☉浙江省绍兴市上虞区竺可桢中学徐骏

在近几年的中考中，以平面直角坐标系为背景的与点的坐标相关的取值范围问题层出不穷.此类问题以能力立意，常涉及转化、数形结合、方程、函数和分类讨论等数学思想方法，能有效地考查学生在数学活动过程中所表现出来的思维水平，因而备受各地中考命题者的青睐.解答此类问题需用极端化思想对条件的某种极端状态进行考查，进而探明解题方向.尽管此类试题对解答过程往往不作要求，但对初中生的思维能力要求较高，不少学生遇到这类题目往往束手无策.本文以近5年中考试题为例进行归类剖析，供参考.

一、点在反比例函数图像上

图1

图2

解析：易得B（0，2），k=-4，直线BC的解析式为y= -2x+2.

点评：解决此类问题的关键是先利用轴对称性设法寻求两个角相等时的极端情形，即求出一个点关于某条直线的对称点坐标，再结合图形得出符合角度大小关系的相应坐标的取值范围.

综上，当0＜a＜2或

二、点在圆上

例2（2014年天津市，有改动）如图3，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-2，0），点B（0，2），E、F分别为OA、OB的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α.若直线AE′与直线BF′相交于点P，则点P的纵坐标的取值范围是_______.

图3

解析：易证AE′⊥BF′.如图4，点P在以D为圆心，半径为的圆上运动.当D、E、P三点共线，即点P为⊙D与射线DE的交点时，此时点P的纵坐标的值最小.因为EP=DP-DE=-1，所以点P的纵坐标的最小值为

图4

图5

如图5，点E′在以O为圆心，半径为1的圆上运动.当直线AE′与⊙O相切时，点P与点D′重合，此时点P的纵坐标的值最大.

在Rt△AOE′中，OE′=1，OA=2，所以∠OAE′=30°，

点评：本例是典型的定弦对定角问题，即如果三角形有一边固定，且该边所对的角大小不变但位置不固定，此时可以构造这个三角形的外接圆.容易想到当点P位于x轴下方时，若P为O（A的中点，则点P到x轴的距离最大，此时点P的纵坐标取到最小值.要使点P的纵坐标的值最大，直线AE′需在x轴上方，且与x轴正方向的夹角最大，然而最大角度的确定又需根据从动点P所在直线AE′与圆的相切位置相关联，这是解决本例的突破口.

三、点在直线上

1.构造圆

例3（2016年江苏徐州）如图6，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（-1，0），B（0，-），C（2，0）.M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点，连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围.

图6

图7

在线段OB上取点N，使得∠BAN=30°，于是∠ANB=

以N为圆心，NB为半径作圆，与抛物线的对称轴交于点M1、M2，则∠AM1B=∠AM2B=60°.

过点N作NH⊥M1M2于点H，连接NM1，则NH=.又故从而

点评：本例主要探究直线（抛物线的对称轴）上满足∠AMB=60°的点M，由“一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”把问题转化为点与圆的位置关系问题.而在点与圆的位置关系中，则以点在圆上作为解题的突破口.要善于利用张角和圆周角的大小关系，即某一条弦所在直线同侧的圆内角大于圆周角，圆外角小于圆周角，从而确定线段M1M2上的点满足题意.

图8

2.构造基本图形

例4（2016年浙江绍兴、义乌）如图8，在矩形ABCO中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P 在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x-3.我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形称为图形F.已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围.

解析：（1）当点N在直线l1上时，N（x，2x+3）.

①若点N在点A的上方（x＞0），如图9，显然当点P与点B重合时，点N到y轴的距离最大.

图9

图10

（2）当点N在直线l2上时，N（x，2x-3）.

①若点N在直线AB的上方（x＞3）.

如图11，显然当点P与点C重合时，点N到y轴的距离最小.过点N作y轴的垂线，垂足为D，交CB的延长线于点E.

图11

图12

如图12，显然当点P与点B重合时，点N到y轴的距离最大.

如图13，显然当点P与点C重合时，点N到y轴的距离最小.

混沌序列作为伪随机序列,要有良好的相关性能,自相关值需近似于δ函数,以利于扩频码的检测与同步；而互相关值需接近于0[13],以有效地抑制不同扩频码之间的干扰,这对通信中的多址应用十分重要[14]。理论中无限长度的混沌序列能满足上述条件,但实际上混沌序列使用时都需要截短处理,这样会影响混沌序列的相关性。除此之外,混沌序列的初值也会影响序列的相关性,经过大量测试后发现复合混沌序列在初值为0.76时的相关性能较好,所以以此初值产生的混沌序列来进行测试。

图13

图14

如图14，显然当点P与点B重合时，点N到y轴的距离最大.

过点N作y轴的垂线，垂足为D，交BC于点E.

3.构造直角三角形

例5（2015年浙江绍兴、义乌）如图15，在平面直角坐标系中，O为原点，▱OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA=4，OC=2，且OC⊥AC.P、Q分别是边BC、AB上的点，连接AC，PQ，B1是点B关于PQ的对称点.过点B1作B1F∥x轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、F.若B1E∶B1F=1∶3，点B1的横坐标为m，求点B1的纵坐标，并直接写出m的取值范围.

图15

图16

（1）若点B1在线段FE的延长线上.

如图17，当点Q与点A重合时，点B1到x轴的距离最大.

图17

图18

如图18，当点P与点C重合时，点B1到x轴的距离最小.

图19

如图20，当点Q与点A重合时，点B1到x轴的距离最大.

过点B1作B1H⊥x轴于点H，则B1H2+AH2=B1A2，即（3-m）2+（4-m）2=4，整理得7m2-50m+75=0，解得m1=5（不合题意，舍去），m2=.

图20

图21

如图21，当点F与点O重合时，此时点E与点A重合，点B在x轴上，即（3-m）=0，解得m1=3.

故当点B1在线段FE上时，满足题意的m的取值范围为≤m≤3.

通过上述问题的探究，我们可以发现，求解与点的坐标相关的取值范围问题的前提是先要定性分析动点运动的路径，需牢牢抓住图形的几何特征，研究点在运动的过程中保持不变的关系.如例5用参数法的思想找到动点的横坐标与纵坐标之间的关系，即可借助中间变量m，使横坐标（x）与纵坐标（y）之间建立起联系，然后再从所求式子中消去m，得出动点的运动路径是线段.若从动点看某两定点的张角为定值，尤其当该张角为直角（如例2）时，动点的运动路径是圆弧.解决此类问题的关键是要善于把动态问题转化为静态问题来解决，或利用轴对称性获取两个角相等时的极端情形（如例1），或寻找动点与两个定点构成夹角的变化规律，转化为相切（如例2）或相交（如例3）时的极端情形，或考虑动点之间的相互关联，从其中一个动点在所在边上的极端位置入手（如例4和例5），进行线段、角度有关计算.在探索规律的过程中应该遵循由特殊到一般的思路进行，并结合相似三角形、勾股定理等知识，最终运用合情推理解决问题.在平时的数学教学过程中，教师要有意识地引导学生经历解题思路的探索过程，帮助学生更深入地认识问题的本质，鼓励学生以不同的视角深度剖析问题，从而促进学生思维水平的提升，提高学生分析问题和解决问题的能力.

参考文献：

1.徐骏.盘点近几年中考中与“从动点”的“路径”相关的一类长度问题［J］.中学数学（下），2014（11）.

2.翁海芳.借助始末位置，确定取值范围［J］.中学数学（下），2012（7）.

*基金项目：北京市教育科学“十二五”规划一般课题“基于创新能力培养的数学实验教学研究”（课题编号：DBB15077），作者系该课题主持人.