践行“学材再建构”，追求“开放式教学”——以二次函数起始课同课异构为例

☉江苏省苏州工业园区青剑湖学校　潘卫峰

践行“学材再建构”，追求“开放式教学”——以二次函数起始课同课异构为例

☉江苏省苏州工业园区青剑湖学校潘卫峰

专家教师李庾南老师新近提出了“学材再建构”，是指师生根据学习任务，为了实现学习效益的最大化，对各种主客观性学材进行主动加工重构的过程.这一过程由3个部分组成：一是教师独立地对学材进行建构；二是学生在教师的引导下独立地对学材进行建构；三是师生共同对学材进行建构，这三者合起来就是一个完整的学材再建构过程.在最近一次教学研讨活动中，笔者观摩了多节二次函数起始课的教学研讨课，同课异构，精彩纷呈，本文梳理两种较有代表性的教学流程，并给出相关评析与思考，提供分享.

一、两种有代表性的教学流程

【第一种教学流程】

教学环节1：实际问题，引入新课

（1）出示一组实际问题的题例（限于篇幅，略去）.教师导语：通过前面一阶段的学习，我们知道现实生活中的一些实际问题常常可以用函数模型来刻画，下面请同学们来看这组实际问题，写出它们的函数关系式，并思考：以上的函数关系式中，哪几个是你深入研究过的？（其中有两个一次函数、三个是二次函数）

（2）复习一次函数研究过程，为建构二次函数章知识框架作准备.

①回顾一次函数研究了哪几个方面的内容？

引导学生回顾从实际问题抽象一次函数，在此基础上形成一次函数概念，研究一次函数的图像和性质，利用一次函数的图像和性质求解，得实际问题的答案.

②一次函数的图像和性质又是如何研究的？

回顾通过画图像，观察图像得一次函数的图像特征和性质，经历了从特殊到一般的探究过程，先研究了特殊的一次函数——正比例函数y=kx（k≠0）的图像和性质，再研究了一般的一次函数y=kx+b（k≠0）的图像和性质；并且分了k＞0，k＜0，两种情况讨论，由k取具体的数值入手，最后归纳出一般的情况.

教学环节2：归纳二次函数概念，建构二次函数知识框架，明确研究方向

（1）定义二次函数概念（略）.

（2）建构章知识框架图，如图1.

图1

教学环节3：探究y=ax2（a≠0）的图像与性质

（1）类比一次函数的研究内容和方法，画最特殊的二次函数y=x2的图像，观察并说出图像的特征和性质.

列表：从解析式分析自变量的取值范围，在此基础上合理地选取x的值，计算y的值.分析表格中数据的特点，预测图像的特点：过原点（0，0），其余各点均在x轴的上方；无最高点，原点为最低点；图像关于y轴对称.

描点连线：学生自己动手实践，对称描点，从左至右用平滑的曲线顺次连接.描点的过程中，验证了对二次函数y=x2的图像的预测.

（2）观察图像，概括二次函数y=x2的图像特征和性质.

引导学生类比研究二次函数y=x2的角度和方法，尝试从对称轴、顶点、开口方向、开口大小及增减性等方面描述图像特征和性质.

（4）类比a＞0时的研究过程，研究当a＜0时，二次函数y=ax2的图像特征和性质.

当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.

（5）归纳梳理二次函数y=ax2的图像和性质.

教学环节4：小结与作业（略）

【第二种教学流程】

教学环节1：从一元二次方程到二次函数

（1）任意写出一个一元二次方程，比如2x2+x-1=0，引导学生发现2x2+x-1是x的函数，设2x2+x-1=y，追问：y 与x有怎样的函数关系式？这个解析式有什么特点？引出课题（二次函数）.

（2）给出二次函数的一般式y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），强调a不为0，并就b，c是否为0，让学生分类有几种情况，引出几种特殊形式的二次函数表达式.

（3）引导学生初步理解一元二次方程与二次函数间的关系.

教学环节2：研究函数y=x2

（1）小组讨论：根据学习一次函数的经验，对一个函数要研究什么？怎么样进行研究？

①从解析式看：自变量x的取值范围是全体实数，函数y≥0，由此猜测这个函数图像有什么特征？

②从列出的表格看：小组交流刚才从解析式分析得出的结论，从表格上能不能看出？

x　　…　-2　-1.5-1　-0.5　0　0.5　1　1.5　2　　…y=x2…　　…

进一步引导学生发现：表格中的点关于y轴对称，如图2.能从解析式中看出来吗？从表格中还能获取什么信息？

图2

③从函数图像看：上述信息，我们再通过描点、连线、画图像来体会验证一下.师生共同小结函数y=x2的性质.

教学环节3：类比函数y=x2，研究函数y=-x2，y=2x2，y=-2x2的图像和性质

教学环节4：小结与作业

（1）这节课研究了什么内容？（二次函数的概念与图像）

（2）我们是怎样进行研究的？

预设：研究函数的一般过程与方法：分析函数解析式→列函数与自变量的部分对应值表→描点连线画函数图像.

（3）布置作业（略）.

二、进一步的评析与思考

以上两种有代表的二次函数起始课都有一个显著的特点：打破教材课时规划，在“学材再建构”（李庾南老师语）的操作要义下重组教材、整合教学内容.以下就围绕“学材再建构”给出三点评析与思考.

1.深刻理解教学内容是“学材再建构”的前提

从两种教学流程来看，都没有严守教材上二次函数起始课只讲二次函数概念的课时规划，而是把起始课的教学重点放在二次函数y=x2图像与性质的研究上，这不是简单的取舍，而是基于教者对教学内容的深刻理解上，取舍得失，自在心中.笔者认为，这种取舍是智慧的，原因有三：其一，学生对从实际问题中提取函数解析式已不陌生，在八年级函数学习时已有类似的训练，在七年级列代数式、列方程都是同类型的问题训练，不必成为九年级二次函数起始课的重点；其二，二次函数的概念也不必大量练习，比如下面这类练习.

习题：已知函数y=（k-2）xk2+k-4是关于x的二次函数，则k=________.

这类习题与学生在七年级学习一元一次方程定义时的相关练习是类似的，与八年级学习一次函数的相关练习也是一致的，到了九年级再用宝贵的课堂教学时间做大量的同类训练并不是必要的，可见，以上两种教学设计把这些训练时间节约出来做了更多有意义的新知探究.

2.激活学生已有“研究经验”是该课型的关键

整合教材之后，使得二次函数起始课就要快速进入形如y=x2的图像与性质研究，从以上两种教学设计来看，教师都安排了复习一次函数相关研究经验的教学环节，这是很有智慧的教学策略，当学生复习一次函数研究套路时，自然就会想到此前从一次函数的概念、特殊形式（正比例函数），再到一次函数图像与性质的研究方法.对于这些已有经验的复习，也是激活学生已有研究经验的教学努力，也是以上两种教学课型的关键所在.这里也可提及所谓的“本原性问题”的研究，人教社章建跃博士曾说：“对于‘本原性问题’，我国数学教育界有过讨论，且有很好的成果，这些成果并没有引起中学数学教学实践的重视.”并认为“没有从‘中学数学内容的实质性理解’的角度进行阐释”是一线教师“不解渴”的原因所在.笔者以为，重视在同一知识领域中研究经验的总结，促进学生有效迁移、学会学习，可以看成是本原性问题的一种内涵和价值，值得我们深入实践与思考.

3.预设开放式问题，促进开放式教学

以上两种教学设计中，以第二种教学设计更为“数学化”，彻底放弃了所有的实际问题引入新课的情境设计，而是直接“从一元二次方程到二次函数”引入新课，用一个“数学现实”（课标2011年版语）定义了二次函数的概念，并且预设一个开放式问题：函数关系式中b、c是否可以为0，并组织学生讨论不同情形，得出二次函数的几种特殊形式，为进一步从简单（特殊）到复杂“一般”研究二次函数的图像与性质而预留了铺垫.再到函数y=x2的图像研究时，又通过开放式的设问，引导学生基于解析式、列表分析、图像分析的不同角度理解二次函数的图像与性质的奇异、和谐与一致.“教学环节3”中，又是彻底“放开”，让学生自主研究函数y=-x2，y=2x2，y=-2x2的图像和性质，为归纳、概括形如y=ax2的图像与性质提供必要的案例准备.再对比“教学环节4”，后者也提出了更为开放的小结问题，如这节课我们是怎样研究的，促进学生积累数学活动经验，有效加深对函数研究套路的理解.想来这些教学设计的精心预设，背后都是教师追求“开放式教学”的苦心经营.

参考文献：

1.李庾南.自学·议论·引导教学论［M］.北京：人民教育出版社，2013.

2.周红娟.从操作走向思考，从“参观”走向“探索”——“等腰三角形的性质（第1课时）”教学与反思［J］.中学数学（下），2014（7）.

3.郑毓信.“开放的数学教学”新探［J］.中学数学月刊，2007（7）.

4.郑毓信.善于优化［J］.人民教育，2008（20）.