素养为旨有厚度　低入高落有层次——2016年重庆市中考数学试题评析

☉重庆市教育科学研究院　张晓斌

☉重庆市永川中学　唐　芬

素养为旨有厚度低入高落有层次——2016年重庆市中考数学试题评析

☉重庆市教育科学研究院张晓斌

☉重庆市永川中学唐芬

随着《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《标准》）的颁布实施，从2012年开始，各版本教材也相应有很大的变化.因此，从2015年开始，各地中考试题也纷纷较之往年有较大调整，重庆市中考数学试题也不例外.本文结合重庆市中考实际，对2016年重庆市中考数学试题进行特点梳理、特色试题赏析与思考.

一、试卷总体特点

1.力求平稳，不乏创新——有变化

纵览2016年重庆市中考数学试卷，基本沿袭2015年已有的变化，内容和题型保持相对稳定.在试卷结构比例、个别题目难度系数等方面有所调整，体现“求稳，求新”的命题指导思想，彰显“以学生发展为本”的命题立意，展现命题者的拳拳用心.

与2015年相比，2016年中考试题有何变化？

（1）从试卷内容看，《标准》的三大课程内容结构比例有所调整，数与代数所占比例从50%提升到52%，空间与图形从35%提升到38%，统计与概率由15%降到10%.其中，统计与概率内容考查了一个填空题、一个选择题，而解答题从2015年的10分降为7分.

（2）从题型编排看，部分经典题型的呈现位置略有改变.如统计与概率的解答题从第22题调到第20题；综合方程、不等式、三角函数等知识的应用题从第24题调到第23题；阅读理解题从第23题调到第24题.

（3）从试题难度看，选择题9～12题适当增加了难度，难度提高较为明显的是第12题；其次，第18题以矩形为载体变为以正方形为载体，主要考查三角形、四边形的相关知识，难度明显降低；其他试题与2015年难度大体相当.

2.立足课标，指向八方——有广度

重庆市中考承载着“初中毕业考试”和“高中招生考试”的双重任务.为实现“双重”功能，整套试卷依据《标准》和《考试说明》，全面考查了二者规定的核心内容，涉及的知识点多面广，重视对基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的考查，逐步实现了从重“双基”到重“四基”的命题取向.同时，为凸显义务教育阶段数学教育的价值追求，兼顾重庆地区各版本教材内容设置，命题者对试卷结构、试题顺序、试题难度均作了局部调整.这对广大一线教师而言，在教学上有很强的导向性和指导性，能够在取向于“功利”的教学时，兼顾或者逐步转化为取向于提高学生“数学素养”的教学，以期实现“人人都能获得良好的数学教育”.

3.关注基础，兼顾选拔——呈梯度

整卷试题设置有层次性，低起点，缓坡度.试卷既关注大部分学生的学业水平，让他们有成功的体验，同时又体现一定的区分度.较难试题能给数学学习能力较强、数学思维较好的学生创造展示自我的空间.

（1）基于“毕业考试”的定位.试题根据《标准》中的核心内容，注重考查学生的基础知识、基本技能，其分值约占60%.其中第1、2、3、4、7、8、13、15题只涉及一个知识点（共计32分），第5、6、9、14题涉及两个基本知识点（共16分），题目难度与教材练习题接近，大部分学生能直接写出答案；第19、20、21、22题系解答题，虽涉及多个知识点，但均系对基础知识的考查，只需简单的计算或者推理，大部分学生没有思维障碍.

例1（第1题）在实数-2，2，0，-1中，最小的数是（）.

图1

例3（第19题）如图1，点A、B、C、D在同一直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD.求证：AE=FB.

评析：例1考查有理数大小比较；例2考查算术平方根和零次幂；例3考查平行线的性质和全等三角形“SAS”判定与性质等基础内容.命题者立足于大多数学生能顺利毕业，充分体现义务教育的基础性和全面性的考查.同时，由于基础题目的顺利解答，能够为后续解答中档题、较难题提供心理支持，有助于学生发挥正常水平，提高选拔考试的信度和效度.

（2）基于“高中招生考试”的定位.在注重基础知识考查的同时，还应注重对学生“四基”、“四能”的考查，通过具有区分度的试题，实现中考的选拔和甄别功能.本卷在选择题压轴题（第12题）、填空题压轴题（第18题）、解答题压轴题（第26题）上，一如既往地坚守这一使命.

图2

例4（第18题）如图2，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF、BF、E′F.若，则四边形ABFE′的面积是________.

评析：作为填空题的压轴题，例4以正方形为载体，综合考查全等变换、三角形、四边形、特殊三角形、特殊四边形、角平分线的性质等相关知识，以及与中点相关的等积变换、割补法求面积等方法，几乎囊括了初中阶段除圆以外的几何核心知识；其次，解答该题时，只要明确：在正方形ABCD中，∠ADO的角平分线与AC的交点E是唯一的.这样，在正方形中，只需知道其中一条线段的长度，即可求出其他所有线段的长.题目已知“AE=于是其他所有线段即可求出.当然，此题若用解析法求解也是不错的选择.由于涉及知识点广，解题时切入点多，重在考查推理、抽象、模型等基本思想与方法，具有一定的挑战性.但是熟悉的题目背景、基本模型和解题方法，熟而不俗，将经典图形再创造、再综合，若能将看似散乱的知识点串成知识链，加上运算难度适中，故不至将绝大部分考生堵在题外.笔者估测，该题的平均分会比去年高（该题分值4分，去年该题平均0.07分），也更会受到一线教师和考生的认可.

4.素养为旨，思想为魂——有厚度

一套好的试卷，内容面向全体，有广度、梯度和深度还不够，还应凸显数学核心思想与方法，关注学生数学活动经验，尤其注重对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等核心素养的考查.全卷在多个题目中都能得到很好的诠释.

（1）判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）经过B、C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，点Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止. 点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；

（3）如图4，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为A′.将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A、C的对应点分别为点A1、C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′、C1E′.△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由.

图3

图4

图5

评析：作为整卷的压轴题，该题以抛物线为背景，综合考查二次函数、勾股定理及其逆定理、一次函数、三角形等众多核心知识，涉及轴对称、平移、旋转等多种变换，植入教材中课题学习“最短路径问题”之“造桥选址问题”，从点动（点P、点Q）到线动（抛物线），再到面动（△AOC）；解答时需要“数形结合”、“分类讨论”，构建“模型”，对考生的推理、抽象、直观想象能力、运算能力都是极高的考量，三个小问低入高落有层级，彰显初中学段核心知识、核心素养，尽显其全卷“压轴”之特质.

第（1）问方法明晰，多数学生无思维障碍.第（2）问，如图5，应先求出关于△PCD面积的二次函数解析式，通过求其最大值确定动点P的位置（坐标），再根据求三条线段之和的最小值模型，确定点M、N的位置（坐标），从而确定最短路径P→M→N→A，最后求出PM+MN+NA的长，即OP+AO的长.乍一看，本小题信息量大，但若学生谙熟并能迁移两个数学模型：“已知两定点（点C、D）和一动点（点P），求三角形面积的最大值”、“造桥选址问题”，根据模型画出图形，解题思路亦呼之即出.第（3）问以平移、旋转变换为载体，把抛物线之动（平移）与三角形之动（旋转）有机结合，在动态中寻求静态的相等关系：△A′C1E′有两边相等，在这个看似静态的关系中，通过动态的分类讨论，三个方程的建立就水到渠成.这对学生的空间想象能力、画图能力、推理能力，以及数学活动经验的积累，都极具挑战性.

总而言之，本卷既全面考查了双基，又突出考查了数学核心思想与方法；考查内容广而不浅，厚而不繁.体现了命题者以基础为本，能力为旨，思想为魂的命题立意，是一套值得借鉴的好试卷.

二、特色试题赏析

本试卷在遵照《标准》、《考试说明》，展现各地中考试题共性的同时，又有自身独特的命题取向和价值追求，生成了独具特色的系列试题.例如，本卷第23题，关注2016年社会热点，把一元一次不等式、一元一次方程附以“猪肉价格”的实际背景，相信考生会对40元/千克的猪肉价格印象深刻，引发学生在后继生活中关注时政，发挥育人功能.第25题第（3）问，“直接写出答案”.估计其命题立意为：一方面，避免烦烦的运算过程，给考生节约答题时间；另一方面，允许学生合情推理、归纳猜想，但又不能仅凭猜想得出答案，也需要较强的逻辑推理，更需要准确的运算，可谓“一箭双雕”.这种命题形式，对于重庆市中考数学试题，既是一次有益的尝试，也是对整卷难度的一种平衡.

评析：本题是不等式与分式方程的珠联璧合，用参数镶嵌其中，渗透了分类讨论和逐步筛选的数学思想与方法.

特色1：题目精炼、熟而不俗、精而不涩，体现数学的简洁美，颇有数学味儿.作为选择题的压轴题，改变了压轴题“冗长、生涩、难懂”等标签印象，学生入手快，对考试心理是一种抚慰，体现了命题者的人文关怀.

为了验证这一特色，基于本题知识均系人教版教材八年级上册及以前的知识点，笔者在7月4日做了如下实验：从1380名初二学生中，抽取了6名学生（均为数学成绩前30名），一次性作对的有2人，另外4人都不约而同选择A，其原因是忽略x≠3，导致未筛掉a=-1.真可谓“貌似平常，却暗藏玄机”，是一道值得推广的好题.

（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数，求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；

（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值.

评析：本题是“新定义题”，2015年卷有尝试，本题在命制上较之2015年更为成熟.此题既是对基础知识的考查，更是对学生数学基本思想、基本活动经验的考查，有较强的教学导向功能，对发展学生的核心素养有着深远的意义.这是一个好的试题形式，是命题应坚持的方向.

特色1：原创性.在本卷刚刚出炉时，笔者通过“百度”，搜索到“最佳分解”的定义素材，但是本题并未囿于素材定义，而是在此基础上应用定义论证，新增定义“吉祥数”，巧妙植入二元一次方程，再求解最值.展现了新定义题的又一种呈现方式：一次定义（最佳分解）→二次定义F（n）=→应用（论证F（m）=1）→三次定义（吉祥数）→再应用（求所得“吉祥数”中F（t）的最大值）.本题完美展现了命题者的智慧.

特色2：公平性.“最佳分解”、“吉祥数”的定义简洁明了，再辅以相应的举例，通俗易懂，让学生都能有所为，最大限度地体现中考的公平性.新定义依托学生熟悉的因数分解、绝对值等基础知识，让学生倍感“亲切”，有“大显身手”的愿望.本题凸显了旧知识新定义、老问题新方法的命题理念.

特色3：创新性.对学生而言，完全陌生的“新”就是“魔”，适度的“新”才是“佛”，才能真正的启迪思维，培养能力，发展素养.本题让学生用已有的经验，以及题目约定的定义、规定、方法，踏雪寻路，顺藤摸瓜，去探究一个新的问题，并创新地解决新问题.本题题意“新”而不“涩”，“新”而不“繁”，求解过程计算量小，思维量大，体现了“少算多思”的特点.

三、两点思考

1.试题要具有自洽性

自洽性是指一个理论内部各命题之间的无矛盾性，简单地说就是按照自身的逻辑推演，可以证明自身至少不是矛盾或者错误的.一个不能够满足自洽性的理论或者试题显然是不攻自破的.试题的命制是教师的常规工作，稍不留神就会出现题设条件自相矛盾的问题，从而犯科学性错误.因此在命题时一定要慎重，避免试题条件的不自洽问题的发生.例如，本卷第12题，不等式组是无解的，而分式方程有整数解，但二者的未知数均为x.如果遵循同一试题中，同一个字母代表相同的含义，那么这里是否存在矛盾？二者换成不同的未知数是否严谨一些？

2.试题的“新”、“难”要适度

中考作为“高厉害”的考试，求新是必然的，但“新”而有度，“新”而不涩，“新”得自然，方为要义.例如，本卷第23题中，猪肉“价格下调a%”、“总销量增加了a%”，“总金额日提高了a%”，高频次的“a%”，给人以拼凑的嫌疑.第26题在第（2）问中，待定的点有四个：P、Q、M、N，两次“沿适当的路径运动”，由于这些生涩迂回的表述，导致多数学生的解答到此就戛然而止.

当然，部分中考题也需要一定的“任性”，但要适度恰当，才能充分体现中考的信度、区分度和选拔功能，如何平衡各种“厉害”，乃是对命题者持久的考验.

参考文献：

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.张晓斌，廖帝学.山重水复之困与柳暗花明之路——2015年重庆市中考数学试题的几点思考与建议［J］.中学数学（下），2015（8）.

3.许峻.体现育人为本，彰显数学价值——2012年江苏省南京市中考数学试卷全景分析［J］.中国数学教育（初中版），2013（7-8）.

4.郝旭岚.2014年河北省中考数学试题赏析及反思［J］.中国数学教育（初中版），2014（11）.

5.编辑部.2015年中考数学：特色试题网评20例［J］.中学数学教学参考（中），2015（9）.