论数学教学创新设计

☉安徽淮北师范大学数学院　张　昆☉江　苏　扬　州　中　学　张乃达

论数学教学创新设计

☉安徽淮北师范大学数学院张昆
☉江苏扬州中学张乃达

数学教学目标的实现，归根结底在于发挥数学知识资源蕴藏的教育价值.数学教学所要传授的知识相对固定（其最低限度已经写入课程标准）.但是，运用什么样的方式传授已经设定的知识，却随着教师所萌生的教学理念不同，预设的教学目标不同，持有的教学观念不同，获得的教学经验不同，运用的教学方式不同；理解特定数学知识性质不同，揣摩学生掌握特定知识时的认知方式不同，估计学生生成知识时现场思维活动意向与动机不同，具有多种选择余地.不同的教学设计，对发挥数学知识的教育价值，促进学生数学素质发展，大相径庭、迥然有别.本文旨在研究实现数学教学创新设计.

一、数学教学传统设计的特征及其弊端

我们称在应试背景下的数学教学设计为“数学教学传统设计”.需要指出的是，“传统”并不意味着只是新一轮数学课程改革以前的教学设计活动，即使在其之后，例如，据我们对11所安徽省省级示范中学的调查所知，在现实中的高三数学复习教学设计活动，大部分还依然处于这种状态.这种教学设计的最大缺陷，就是把数学化信息这个本来只是承载数学教育有价值的、必要的媒介，曲解为数学教学目的本身，认为学生学习数学就是为了掌握知识（其实是退化成了某种意义上的信息），应用知识解决数学问题，从而在数学考试中攫取高分.

于是，实现这种数学教学目的的途径就集中于三个具体的环节中：首先，数学教师将与考试有关的数学知识（可能退化为信息）高密度地灌输给学生；其次，分析那些有可能考试的数学问题的（主要是外部）特征，总结数学问题的类型，竭尽所能地帮助学生形成在解决问题时能够对号入座的具体方法，并将这些题型与方法（退化为信息）高速度地奉献给学生，直接套用到面对可能考试的数学问题中去；再次，选择相似的数学问题类，针对它们的解决方法集中强化训练，迫使学生掌握这一数学解题的方法（退化为信息的形式）.

这种意义上的数学教学设计，学生只是记住教师理解数学知识深层结构的结论（一种信息形式），事实上是教师在考场外代替学生思考，学生在考场上只是把通过教师的思考已经形成的方法与成果移植到当前的考题中去，而避开了其自身应当在教师的引导启发下，下苦功夫去对数学信息、知识、方法、解题套路作完整的、创造性的理解，进而形成自己对数学的深层结构的整体把握，在此基础上，使自己的知识、能力、智力、智慧等品质得以同步提升.它的典型特点是：学生绕开“理解”的匝道，进入记忆教师提供题型的“捷径”.

这样，当数学教师把知识退化为信息形式直接传递给学生时，当数学解题教学活动变成了把一切都归入数学题型（模式）-匹配的活动时，教师必将所有注意力集中到归纳解决每一类可能在考试卷中出现的题目的类型上，并将这些题型（模式）迅速交给学生，其实，这只是一个促使学生积累信息的过程，这种教学设计途径必然有损于数学资源的教育价值.因为它降低了学生对数学知识结构深层次理解的要求，从而妨碍学生形成数学精神品格：如对数学的整体性、抽象性与结构性等的体悟，对数学核心概念的准确、深刻理解，思维与计算两者间注意力的有效分配，审题中对关键文字细微差别的恰到好处的区分，数学的合情推理与归纳类比的有效应用，想象力的展开，诱发直觉思维［1］，等等.如此的教学活动，致使学生不能达到对数学课程资源的真正要紧的地方进行认真思考与有效把握.

由此可知，数学教学传统设计的典型事实所形成的特点，在于教师运用自己的一些似是而非的表象性的陈述，致力于将数学知识、利用知识解决问题的数学方法，作为信息的形式“下载”给学生，这实际上是把学生看成可填充、可控制的容器.教师（不管是有意识还是无意识）不考虑启发学生通过他们自己的思维活动生成数学知识、数学方法的认识过程，不考虑促使学生从外在化信息向数学知识、从数学知识向数学智力、从数学智力向数学理解、从数学理解向数学智慧的一个向深度运动的转化活动过程，不考虑利用数学课程资源形成批判性和创造性思考、分析思考与综合思考等培养途径，使学生的思维结构等智力因素与非智力因素不断的精致化和精确化的过程.

与之相反，一旦学生从自己鲜活的经验中经历这种转化的过程，他们就受到了一种引起内心震颤的体验，他们由此就可能永远地改变了.可惜，在数学教学传统设计的环境下，这一切都是海市蜃楼，没有立足的根基，因为数学教学传统设计致使学生鲜活的经验跑到了九霄云外，认为它是一项干扰教学的因素，于是，从信息中匆匆掠过的教学设计，泯灭了原本可以逗留或深入，而不是一味忙着朝前赶路的机会.因此，这种教学既是对学生的背叛，也是对教师的背叛，使教师的教与学生的学都停留在表层上，得不到信息向学生的心灵深度开放的支持，这是一种培养人的平庸化的场地.

学生经由数学教学传统设计的学习结果是：养成对教师、教科书的适应、顺从与服从，学习数学的主动性消失殆尽.学生萌生数学思想、数学观念、情感体验的心智活动逐渐湮灭了，他们很难从数学学习中获得支持自信息到知识、方法的形成过程中产生的鲜活的观念、思想、情感与智慧方面的教益，造成他们中的绝大部分对数学学习形成了“可望而不可即”的感觉，长时间的失望是消磨自信心与兴趣的瘟神，于是，学生后继数学学习的积极性消退了，朝气蓬勃、饱满热情与积极向上的进取精神也荡然无存，致使他们长期笼罩在较少学习成功的阴影中［2］.

我们知道，数学教学传统设计首当其冲的目标就是帮助学生攫取数学学科的高分，这一目标是如此之高，成为教学焦点中的焦点，其他更有价值的目标在此焦点之下，都隐退到很远的地方，以致于我们在数学教学传统设计中难以见其一面.如此，对数学考试高分的过分重视，不择手段的追求，其结果必然导致教师、学生乃至于家长只满足于对正确答案的妥协，在这种情况下，如果学生能够提供被认可的正确答案，教育就被认为是成功的.传统的数学教学就是这样建立起了一套封闭的知识体系、方法体系，数学教学许多非知识性的、更高层次的目标都形同虚设，成了一纸空文.

对高分的重视导致教师和学生都不愿意承担理解认知的风险（而理解恰恰是掌握数学的精髓所在），因为对知识发生过程的理解有时需要耗费大量时间，投入大量精力，使学生和教师均认为，寻求“理解”的教学反而是“本末倒置”“事倍功半”；相反，他们满足于对正确答案的妥协，这种观念阻碍了学生创造、形成、评价和运用信息能力的发展，扼杀了更高思维层次与创新能力的发展，最后的结果只能是人的意识与精神的萎缩.如果数学教育不能深入理解数学课程的恰当地位与人类潜能发展之间的关系，那么，它不仅会滋生和助长平庸，而且会导致“捆绑式的生长”，甚至会成为“灵魂杀手”.

在学生面对数学知识或所要解决的问题时，数学传统教学设计的另一特征的典型体现，就在于知识或问题中刺手的荆棘之刺都由教师自己剥去.这是因为，为了应付考试，只能把发展数学探究能力的资源转化为僵死的信息，并把这种信息当作毫无疑义的真理让学生反复背诵、记忆、在考试中套用.作为教育者和受教育者，一方展示，另一方吸收僵死的、封闭的知识体系，而不愿去实践、探求，鼓起发现真理的勇气.很多教师都深知这一点，但是迫于当今考试的要求，没有几个教师有时间和勇气去探讨考试内容（被当作是真理）以外的东西.我们建立了一套掌握某种知识的奴隶制度，其中包括所谓的机构，学生和老师就成了这种机构的奴仆.

总之，为了攫取数学考试高分的数学教学传统设计的特征在于：首先，把许多数学家经由艰难探究信息活动才转化为数学知识的过程，并从这种转化活动过程中生成的数学方法、萌生数学观念、形成数学思想都退化为僵死的信息传递于学生；其次，通过压制学生，运用大量的高强度训练，使学生对某些类型的数学问题信息通过简单的识别，就可以条件反射式地加以解决.由此产生的弊端就是数学教育教学的平庸化，经由数学教学传统设计的实施，榨尽了学生凭借自己的智慧萌发数学思想、观念、能力、情感等的可能性，迫使学生的学习处于极度被动的状态中，教师的教学其实也处于被动状态中.

二、数学教学创新设计价值及其实现

数学教学创新设计就是为了纠正数学教学传统设计的弊端而言的，它要力求扭转数学教学的唯一目标就是学生取得数学信息，从而可以在考试中得到高分的情状，将其转化为营造促进学生全面发展的氛围，从而最大限度地发挥数学课程资源的教育价值.数学教学创新设计要求：首先，要处理好数学化信息、知识、智力、理解、智慧等的合理内涵与位置排列的顺序；其次，估计学生基于数学化信息到知识、智力、理解、智慧等萌生与转化的心理活动过程；再次，分析不同的数学化信息、不同的学生心理构成的不同转化通路，经过教学法处理设计合适的教学流程.以此，最大限度地发挥数学课程资源的教育价值.

有效数学学习的一种递进图式为：第一层面是数学信息，数学信息被正确置于作为数学教学交流的媒介，一种教师指导学生生成数学认识的思维场的基础；第二个层面是数学知识，数学信息可以转化为数学知识，其中，直接经验常常把零碎的数学信息整合为整体的知识与技能上的精通；第三个层面是智力，数学知识的积累为有意识地培养“智力”创造了可能性，智力可以通过直觉和分析的辩证来分割、形成、创造数学信息与数学知识；第四个层面是理解，理解帮助学生超越智力的力量而运用心灵观照自我及其所处的外在环境，它是一个服务个体性格发展与社会发展的认知方式；第五个层面是智慧，经验孕育了发展智慧的可能性，智慧把对真理的洞见与伦理上的正确融合起来［3］；第六个层面是转化，从信息到知识、从知识到智力、从智力到理解、从理解到智慧孕育着递进转化的可能性.

数学教学创新设计的目标就是要找到具体的途径，将这种递进转化的可能性改造成教学活动的现实性.以此，促进学生“头脑”的改变，培养学生的智力与数学思考能力，而不是指令学生思考什么，即要求引导学生通过批判性思考、创造性思考、分析性思考、综合性思考与发挥想象力等，促使大脑精致化与精确化.形成智慧又是超越了智力的范畴，智慧常常优雅简单，穿过复杂的云层，提出超越智力的方向与洞见，智慧就像一个整体，一个人并不能确切地占有它，但是，可以在行动中体现它，智慧有别于技能掌握和智力敏锐，尤其当它和理解的心灵整合起来的时候.

数学教学创新设计的途径就是促使学生生成运用自己的心智活动与肢体活动现实地实现从数学信息向数学知识、从数学知识向数学智力、从数学智力向数学理解、从数学理解向数学智慧这样一个向深度运动的过程，一种意识的进展和扩展，它是学生自我心理组织和自我超越的动力和冲力.一旦数学教学达到了激发这种进展的境界，它将带领学生超越数学信息的限制，超越社会结构的限制，超越文化条件的限制，超越自我设定的框架的限制.由此，学生不仅得到聚集数学信息的能力，而且也得到了进展与超越的能力，由此，引导我们走向教学中最具深度的时刻.

成功的教学创新设计的数学教师深谙创造性地运用教学策略，使用自己的解释把数学信息呈现于学生的方法，或把数学信息转化为学生易于理解的清晰的观点，促使学生对数学化信息始终保持着真正的兴趣，促进学生和数学化信息的教学内容进行共舞和互动.他们的成功不是因为一种技巧或一种普遍的风格，而是因为他们对教学艺术的真实、独特的表达，这种教学艺术要求鼓励有意义的学习、性格培养与促进想象力的发展.基于这种方式的数学教学设计，为学生的内在的“人”的诞生提供了机会，而不只是简单地将人置于数学信息之中，它关注学生的发展.

很显然，数学教学创新设计是对数学教学传统设计的超越.然而，现实的困境是：一般数学教师很难达到教学创新设计的境界；那些被认为是专家或权威的教师，也经常担心暴露自己作为一个人或一个专家的不足之处，他们往往选择藏躲于数学信息、方法论或者角色的背后，不敢开放性地面对现实，而宁愿选择知识产生的捷径进行教学活动.因为数学教学创新设计具有高度艺术性的表现，不可能给出一个具体的程式，为了说明问题，看笔者的一个具体例子.

三、勾股定理教学创新设计示例

关于勾股定理的教学设计问题，新课程教科书编制时，突出了定理的发现活动，关于定理的证明，一般是选择我国古代数学家赵爽构建的“勾股弦图”来对教师带领学生发现的勾股定理的结论加以说明，促使学生确信这个定理是正确的.教材上只是给出了赵爽“勾股弦图”的结论，没有提示赵爽构造这个“勾股弦图”的具体的心理活动过程，这就给学生以“神来之笔”的感觉，学生只可能敬慕于赵爽的巧智，似乎变成了一种“魔术”，而不知道构造这个“勾股弦图”的心理机制究竟出于何处.如此，极大地损伤了几何论证培养学生思维能力、创新能力与学习兴趣等的教育价值.

课例：勾股定理的教学设计.

师：古人特别喜欢使用面积来表示（或证明）代数恒等式，请你设计一个图形，表示完全平方式（a+b）2=a2+ 2ab+b2.

生1：可以构建一个以边长为a+b的正方形，如图1，就可以达到目的.

师：也可以构造一个说明完全平方差公式（a-b）2= a2-2ab+b2的几何图形吗？

图1

图2

图3

图4

图5

生2：可以，只要将图1变成图2，就可以达到达到目的.图2中的面积关系为：（a-b）2=（a+b）2-4ab=a2-2ab+b2，这正是完全平方差公式.

师：假如要研究一个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形的三边关系，可以借助于上述这些研究结果中的图形吗？

赵爽为《周髀算经》勾股圆方图注道，“案弦图又可以勾、股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股自差自乘为中黄实.加差实亦成弦实”［4］.如图5，教科书为了帮助教师施教、学生学习，在验证勾股定理结论时，直接给出了图5中的结论.如何构建出图5，具有极其重要的教育价值，它的实现，教师非细心地把握学生构建时的心理活动环节不可.

该课例的显著特点是选择了合适的先行组织者，即在学生认知结构中与勾股定理的数学符号表达式（a2+ b2=c2）相近的结构——两数和（差）的完全平方公式——非常熟悉的知识结构组织具有一个数的平方条件的“凝聚核”，因此，完全平方公式就构成了勾股定理的现行组织者；接着，通过中国（埃及、希腊）古代数学家常常采用图形（“出入相补原理”）来表达或说明（论证）代数恒等式，启发学生，促使学生萌发了数形结合的数学观念等.于是，勾股定理使用完全平方公式的先行组织者策略的教学设计展开了.

引导学生找到了使用正方形与矩形（图2）的面积来表示两数和的完全平方公式的结论；自然地就会提出新的问题，如何使用正方形与矩形来表示两数差的完全平方公式？学生构建出了图3达到了目的.到此，虽然稍微有点儿牵强，但是还算是顺水推舟地提出了新问题：要研究一个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形的三边关系，可以借助于上述的图形吗？由于图2或图3中都明显地内含着符合要求的直角三角形，学生在思考时，自然地会试图作出这两个图形中的边长分别是a、b的矩形的对角线，从而获得满足要求的直角三角形，到此发现将图3中的四个矩形的对角线依次连接成图4的形式，肯定对问题讨论的深入具有帮助，割除外围的四个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形，得到了图5这个边长为c的新正方形.在图5中运用“出入相补原理”，就可以由之得到勾股定理的数学符号表达式.如此的教学设计，改变了教科书上直接向学生提供“勾股弦图”的结论，而是启发学生通过自己的思维活动构建“勾股弦图”.

四、简要结语

数学教学创新设计的目标是改变数学教学传统设计中，一切为了学生获取考试分数的教学目标.实现数学教学创新设计的条件是要求教师萌生合适的教学理念，练就高超的教学能力，习得精湛的教学技艺，形成完善的教学行为，养成反思教学实践的习惯，挑战与生俱来的人性弱点.这些要素是作为教师主体的意识结构整体力量发挥作用的，它是一项系统性、体系性、结构性的工程.只有数学教学创新设计，才有可能形成数学教学的有效性，发挥数学课程资源的教育价值.

参考文献：

1.张昆.高考答卷惜时如金：问题与出路［J］.数学通报，2011（50）.

2.张昆.基于理性思维平面几何理性思维教育价值的教学实践研究［M］.（见）全国教育硕士专业学位优秀论文选（第二辑），全国教育专业学位教育指导委员会组编.北京：人民教育出版社，2013.

3.［美］托宾·哈特.从信息到转化：为了意识进展的教育［M］.彭正梅，译.上海：华东师范大学出版社，2004.

4.刘钝.大哉言数［M］.沈阳：辽宁教育出版社，1993.