熟而不俗　余味悠长——“基于教材，高于教材”的中考探究题赏析

☉江苏如东县茗海中学　居建斐

熟而不俗余味悠长——“基于教材，高于教材”的中考探究题赏析

☉江苏如东县茗海中学居建斐

一年一度中考尽，阅尽题目无数.就在这浩如烟海的题目中，我们不难发现一些熟悉的面孔，但仔细看来又与往年有所突破，较好地体现了“基于教材，高于教材”的命题导向，并且这类题目立意于能力，聚焦于核心，给人熟而不俗之感，细细斟酌一番，颇有数学真味.本文拟撷取3例与诸位共享.

例1（2016年云南省第23题）有一列按一定顺序和规律排列的数：

……

（1）经过探究，我们发现：

【溯源】本题源于人教版八年级上册P148的阅读与思考——容器中的水能倒完吗？以此问题为基点，巧妙地将分式的运算与放缩不等式实施推理结合在一起，是对学生“算与思”结合的考查.

例2（2016年漳州市第25题）现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板的两直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N.

（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是__________________.

（2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线的交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由.

（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM= ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形.

（4）图4是点O在正方形外部的一种情况.当OM=ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论.（不必说理）

图1

图2

图3

图4

解答：（1）OM=ON.

（2）OM=ON仍然成立.

如图5，过点O作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F.

∠OEM=∠OFN=90°.

由O是正方形ABCD的中心，得OE=OF.

由∠EOF=90°，得∠3+∠2=90°.又∠1+∠2=90°，则∠1=∠3.则△OEM≌△OFN.

则OM=ON.

图5

图6

（3）如图6，∠OEM=∠OFN=90°.

由∠C=90°，得∠3+∠2=90°.又∠1+∠2=90°，则∠1=∠3.

又OM=ON，

则△OEM≌△OFN.

则OE=OF.

则点O在∠BCD的角平分线上.

若点O在∠BCD的角平分线上，类似（2）的证明可得OM=ON.

则O在正方形内部（含边界）移动所形成的图形是对角线AC.

（4）所成图形为直线AC.

【溯源】本题源于人教版八年级下册P63——丰富多彩的正方形，取自旋转不变性的立意.

【赏析】这是一道典型意义上的探求变化中的不变量问题.图形的背景为学生所熟知，不但是取自教材的问题，平时学习过程中，这个背景图应该也为大家熟知.本题铺设出了从特殊到一般的认知轨道，融正方形的性质与三角形全等的判定与性质于一体，通过角的平分线的性质与判定把其不变性外显出来，成为凸显数学特色的好题.尤其是探究过程中的辅助线，贯通前后，成为问题解决的引擎.

例3（2016年衢州市第23题）如图7，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形.

图7

图8

图9

（1）概念理解：如图8，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问：四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由.

（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间的数量关系.

猜想结论，（要求用文字语言叙述）写出证明过程（画出图形，写出已知、求证）.

（3）问题解决：如图9，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE，已知AC=4，AB=5，求GE的长.

解答：（1）四边形ABCD是垂美四边形.

由AB=AD，得点A在线段BD的垂直平分线上.

由CB=CD，得点C在线段BD的垂直平分线上.

则直线AC是线段BD的垂直平分线.则AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形.

（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等.

如图10，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E.求证：AD2+BC2=AB2+CD2.

图11

证明：由AC⊥BD，得∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED= 90°.

由勾股定理得：AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2.

则AD2+BC2=AB2+CD2.

（3）如图11，连接CG、BE.

由∠CAG=∠BAE=90°，得∠CAG+∠BAC=∠BAE+ ∠BAC，即∠GAB=∠CAE.

则∠ABG=∠AEC.又∠AEC+∠AME=90°，则∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG.