开放与放开：概念生成与例题变式的教学追求——从“三角形内角和”教学说起

☉江苏省南通市第一初级中学　周红娟

开放与放开：概念生成与例题变式的教学追求——从“三角形内角和”教学说起

☉江苏省南通市第一初级中学周红娟

几何新授课教学一直是教学研讨的重点，特别是几何概念如何生成？新概念怎样得到运用和巩固？都是教师值得精心设计的主题.本文从近期笔者开设的一节“三角形内角和”教学研讨课的两个教学片断说起，并围绕几何概念的生成、例题教学的开放两个角度进一步阐释，提供研讨.

一、从“三角形内角和”教学说起

教学片断1：三角形内角和定理的情境引入.

师：小学我们就已经知道三角形三个内角的和等于180°，当时你是如何验证这个结论的？

生1：把三角形的三个角都用量角器测量出来，然后加起来发现是180°.

生2：用折纸的方法，将三角形折成一个长方形（演示过程如图1所示）

图1

图2

图3

生3：也可以把三角形的三个角剪下来，拼到一起，发现构成一个平角.

师：几种方法都正确.现在大家利用手中的三角形，通过剪和拼的方法验证我们的结论.（学生大多拼成类似图2或图3的图形）

师：现在我们本子上或黑板上画的这个三角形，无法将角剪下来，我们能不能从刚才实验操作的过程中总结方法，尝试证明三角形的内角和是180°呢？

（学生先独立思考，然后在小组之间进行交流）

解读：三角形内角和为180°是学生在小学就已熟知的一个性质，但是小学图形学习并不要求推理证明，这里通过引导学生回顾当时是如何通过剪拼“实验”验证这一性质，主要意图并不是重复小学阶段的剪拼活动，而是重新反思这些操作活动的原理，并由这些操作活动得到的“拼接线”受到启发，作出相应的辅助线，为进一步推理证明获得思路启发.

教学片断2：三角形内角和定理的例题教学环节.

在“三角形的内角和”的例题教学环节中，设计了以下两个问题巩固定理.

问题1：在△ABC中.

（1）若∠A=50°，_________________，则∠C的度数是_______________.

（2）若_____________________________，则∠C的度数是_______________.

（补充一个条件，使能求出∠C的度数）

生4：若∠B=60°，则∠C=70°.

生5：若∠B比∠A大10°，则∠C=70°.

师：不错，三角形中已知两个角，就能求出第三个角的度数.

哪位同学还能补充一个与此不同类型的条件？

生6：若∠C=∠A，则∠C=50°.

生7：若∠B=∠A，则∠C=80°；若∠B=∠C，则∠C= 65°.

这时学生在考虑他们熟悉的一些图形，在尝试分析三角形三个角之间的关系.

（在短暂的等待后）生8：若∠B-∠C=10°，则∠C= 60°.

师：为什么想到补充这样的条件？

生8：如果∠A=50°，则∠B+∠C=130°，再补充∠B-∠C=10°的条件，就可以组成方程组.

师：正确！△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°是关于∠A、∠B、∠C的一个数量关系，当已知其中两个角，则可求得第三个角，当已知其中一个角，则可求得另外两角之间的关系.

解读：由于学生在小学阶段就运用三角形内角和性质解过大量的习题，所以我们安排的例题就没有重复小学的练习类型，而是设计成开放式的问题，让学生参与设计，结果精彩纷呈，出现丰富的题型，并且结合了方程组的思想，从多个等量关系的角度解读学生设计问题，也使得例题的讲评更加有了初中阶段的“学段特点”.

二、关于几何概念生成与运用的思考

以上再现了笔者在“三角形内角和”教学时的两个教学片断，下面再围绕几何概念生成和巩固运用给出进一步的阐释和思考.

1.重视知识的生成过程，注重引导学生自主学习

在上文“教学片断1”可以发现，教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础.“三角形的内角和是180°”这个结论学生非常熟悉，折纸亦或剪拼对他们来说也容易接受，但是最后的“如何证明”这个问题很快将学生的思维由直观感知引向严密的逻辑思维.学生需要思考用怎样的数学方法不改变角的大小但是改变它的位置？这时就有学生想到通过构造平行线来等量转换角.虽然拼成图3的同学在学习过程中遇到了一些阻碍，我们不用急于告诉学生这种拼的方法行不通，无法证明.全国著名特级教师李庾南老师专家报告曾提及如下观点：中考复习期间，较难综合题讲解时，常常向学生展示合理念头往前推演，思路受阻时，解决问题的智慧在于：合理念头，推演几步，思路受阻，回头是岸，调整方向，贯通思路，反思全程，明辨“是非”.笔者深有共鸣：这样的过程，才能让学生从被动接受性学习转变为主动获取性学习，学生的自主学习能力才能获得提升.

2.开放例题追求变式生成，促进学生思维能力发展

在“教学片断2”中提供的开放式例题，带来的教学效果不仅限于一题多解、一题多变、一题多法.而是在已知条件和问题上进行开放或半开放，一方面面向全体学生，适应学生个性发展需要，使得不同的人在数学上得到不同的发展；另一方面，尽量不让学生跟随老师惯性运转，掌握学习的主动权，克服思维惰性，让学生思维的变通性和创造性得到发展.而学生在设计问题的过程中，不断在大脑搜集整理关于本题的信息（已知和未知），用什么来建立关联.算式方法也好，方程思想也罢，重要的是，这是属于学生自己的问题，自己的方法！新课标指出：学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心.

3.教师敢于开放和善于放开，学生主体性就能得到激发

从上面两个教学片断来看，概念教学的情境开放与例题教学中条件、结论的开放，都源于备课设计时教者的敢于开放，如果情境也限制教师的预设、例题也是教师本人给出，则学生亦步亦趋地跟着学完一节课，对于这一节内容的教学效果达成也可能是高效的.但是对于学生主体性的体现，就没有达到一定的高度，没有能走向从学会到会学的学力发展高度.比如，笔者此前在“等腰三角形”教学研讨课的研究中，曾经纠结过不同的新课导入方案（两种引入方案），方案1：（人教教材）如图4，先将一张纸片对折剪出一个等腰三角形进而发现其轴对称性；方案2：（苏科教材）如图5，将等腰三角形纸片沿顶角平分线折叠，你有什么发现？因为是模拟课堂，所以最终也无法定夺究竟哪种更易为学生接受.

图4

图5

图6

笔者以为：无论哪一种引入方法，实际上都给学生框定了一条路“折叠”，为什么这个方法不能由学生来主动思考呢？既然等腰三角形是学生熟悉的，“等腰三角形的两个底角相等”也是学生知道的结论，教师何不直接抛出问题“你如何验证等腰三角形的两个底角相等？”引导学生“将等腰三角形沿顶角平分线折叠”，进一步分析得到通过作等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线或者底边上的高来构造全等三角形（如图6），等腰三角形几个性质的获得和证明都是水到渠成.

有人说，课堂教学中的“生成”并不应该期待更多的预设之外的生成，而应该是教师本人预设下的精彩生成.这是有充分道理的，但是课前预设的基本功，以及敢于和善于“放开”的智慧又是值得认真研讨的话题.笔者以为，这些预设的功夫最后都指向教师的专业基本功：善于提问、善于举例、善于优化（郑毓信教授语）.

参考文献：

1.李庾南.自学·议论·引导教学论［M］.北京：人民教育出版社，2013.

2.周红娟.从操作走向思考，从“参观”走向“探索”——“等腰三角形的性质（第1课时）”教学与反思［J］.中学数学（下），2014（7）.

3.郑毓信.“开放的数学教学”新探［J］.中学数学月刊，2007（7）.

4.郑毓信.善于举例［J］.人民教育，2008（18）.

5.郑毓信.善于提问［J］.人民教育，2008（19）.

6.郑毓信.善于优化［J］.人民教育，2008（20）.