以变为本：例题打磨的视角与可能

☉江苏如东县新店镇初级中学　周坚宁

以变为本：例题打磨的视角与可能

☉江苏如东县新店镇初级中学周坚宁

文1（人大复印报刊资料《初中数学教与学》2016年第4期全文转载）从“回到课本”的角度给出了习题改编的视角与可能，仔细研读后受益匪浅.最近一段时间以来，笔者在八年级的教学实践中发现人教版义务教育教科书数学（简称“新教材”）与人教版义务教育课程标准实验教科书数学（简称“旧教材”）相比更换或改写了相当一部分例题.下面结合两个典型案例给出这类例题在实际教学中的打磨思路，并给出一些相关的思考，欢迎各位专家和同行批评指正.

一、案例1

“旧教材”八年级下册第93页例1：

如图（图略），小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边长为8m，其他三条边各长多少？

“新教材”八年级下册第42页例1：

如图（图略），在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E、F.求证：AE=CF.

1.教材变化

案例1中，“新教材”中对“旧教材”中的例题进行了更换，笔者认为主要是基于对初中几何学段特征的认识，强化学生的演绎推理和逻辑思维能力，加大学生对符号语言的练习力度，从而使师生认识到符号语言（几何学习的根本）的重要性；另一个重要的原因是为了引出新增加的概念——两平行线之间的距离，但是在实际教学中却不能够引起一线教师的注意，教师不能深刻理解教材编写者的意图和良苦用心，下述打磨过程正是为了实现上述意图（特别是第三稿）.

2.打磨过程

第一稿：结合“新教材”，以及实际教学情况进行教学.

第二稿：

例：如图1，在平行四边形中ABCD中，DE⊥AB， BF⊥CD，垂足分别为E、F.

（1）求证：AE=CF；

（2）DE=BF吗？如图2，直线a∥b，A、D为直线a上任意两点，点A到直线b的距离和点D到直线b的距离相等吗？为什么？

图1

图2

第三稿：

例：如图1，在平行四边形中ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E、F.请指出图中相等的线段，并说明理由.

3.打磨思路

笔者在第一次教学中按照教材思路（第一稿）按部就班地进行，发现很难完成教学任务，课堂教学仓促，课后检测情况更是令人担忧.在此基础上查阅了相关资料，特别是文3提供了一个不错的思路，将信息技术（几何画板）与该课教学内容融合，实现了课堂教学效益的最大化.但是，笔者在自己的教学实践中发现第二稿的教学指向比较明显，不太符合新课程理念，于是结合实际教学情况，在此基础上设计了第三稿，主要是基于图1中相等的线段比较多，可以更全面地考查学生所学内容；同时将问题进行“开放式”设问，符合新课程理念，当教学中出现DE=BF时，再按照第二稿的设计思路进行教学.有一点需要提醒的是：教学中应该引导学生体会两平行线之间的距离与点到线和点到点之间距离的关系，进而渗透转化的数学思想.

二、案例2

“旧教材”八年级下册第15页例3：

“丰收1号”小麦试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为（a-1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克.

（1）哪种小麦的单位面积产量高？

（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

“新教材”八年级上册第136页例3：

如图（图略），“丰收1号”小麦试验田是边长为am（a＞1）的正方形减去一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为（a-1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg.

（1）哪种小麦的单位面积产量高？

（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

1.教材变化

案例2中，“新教材”和“旧教材”的题干表述基本没有变化，只是“新教材”比“旧教材”的表述更加严谨，但是在问题解决过程中却发生了根本性的变化.

首先，教材中的旁白发生了变化，“旧教材”中的旁白是：根据问题的实际意义可知a＞1，所以（a-1）2=a2-2a+ 1＜a2-2+1=a2-1，即（a-1）2＜a2-1；“新教材”中的旁白是：因为a＞1，所以（a-1）2-（a2-1）=a2-2a+1-a2+1=-2（a-1）＜0，即（a-1）2＜a2-1.

图3

图4

通过上述分析可以看出，“旧教材”对不等式的处理方式是放缩法，这是明显超出初中生能力之外的；“新教材”在正文中以“几何直观”的形式对不等式进行了说明，在旁白中对不等式采用作差法的方式给出了进一步的证明（初中生可以理解），同时设问（2）有点儿渗透用作商法比较两个正数大小的味道.

2.打磨过程

第一稿：按照“新教材”的思路进行教学.

第二稿：

在题干的最后增加：设“丰收1号”“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为F1、F2.

设问方式改为：

（1）F1=______，F2=________；（用含a的式子表示）

（2）求证F1-F2＜0；

第三稿：

设问方式在第二稿的基础上进行如下修改：

（1）、（3）保持不变，（2）改为：我们曾经利用图4的方式验证了完全平方公式：（a-b）2=a2-2ab+b2，你能否利用类似的方法（画图）比较F1与F2的大小，并给出说明？

3.打磨思路

从第一稿到第二稿，刘东升老师在文4（例9）中进行了详细的阐释，在此不再赘述.从第二稿到第三稿，主要是基于《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下文简称“《课标（2011）》”）对“几何直观”的重视，使学生领会数形结合的思想，在教学过程中应引起一线教师的足够重视，此外将第二稿中“直接证明”的形式改为以“探究”的形式给出，可培养学生探究问题的能力.

三、结语

章建跃教授在文5中指出，“教材不同于一般出版物，教材是要经得起反复读的”“教材的结构体系、内容顺序是反复考量的，语言是字斟句酌的，例题是反复打磨的，习题是精挑细选的”.特别是随着《课标（2011）》的实施，人教版“新教材”相比“旧教材”更换（案例1）或改写（案例2）了部分例题，因此，在教学过程中，教师应该充分重视这部分例题，深刻理解教材编写者的修改意图，在例题改编过程中实现课堂教学效益的最大化.

当然，上述两个案例只是众多案例中的一部分，笔者为此进行的实践还不全面，欢迎更多的一线教师参与研讨，开发更多类似的案例.

参考文献：

1.刘东升.以本为本：习题变式的视角与可能［J］.中小学数学（初中版），2015（12）.

2.刘东升.辨别学段特征：初中几何教学的用力点——以“圆（第一课时）”教学为例［J］.中学数学教学参考（中），2015（3）.

3.王师森，于彬.三磨三度三层追求三重境界——“平行四边形的性质1”磨课侧记［J］.中学教研（数学），2015（7）.

4.刘东升.经历问题生成，深刻理解教材——人教八上“每日一题”的命题实践与思考［J］.中学数学（下），2014（4）.

5.章建跃.中学数学课改的十个论题［J］.中学数学教学参考（上），2010（3）.