神奇的几何图形——“半搬角”

☉湖北武汉第三寄宿中学　何亚琴

神奇的几何图形——“半搬角”

☉湖北武汉第三寄宿中学何亚琴

数学新课标要求数学教师教给学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容有利于学生主动进行观察、猜测、验证、推理与交流等数学活动.内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求.有效的数学学习活动不能单纯依赖于模仿与记忆.动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.

笔者在数学习题课教学时常常进行一些有效的尝试，让学生在自己探索的前提下提出问题，然后通过小组合作交流得出结论，进一步培养了学生的观察推理能力，提升了学生的数学学习热情.下面我将一类被学生命名为“半搬角”的习题的探求过程呈现如下.

人教版平行四边形这一章中有这样一道习题：如图1，正方形ABCD中，∠EAF=45°，角的两边分别交边BC和边DC于点E、F，探求线段DF、BE和EF之间的大小关系.

学生经过短暂的交流与讨论后，很快找到了解决办法.延长线段CB到H，使BH=DF，连接AH，证明△ABH≌△ADF，再证明△AEH≌△AEF，得到EH=EF，所以BE+ DF=EF.实际上是将△ADF绕A点旋转90°，这时线段AD与线段AB重合，并且C、B、D、F四点共线，这是问题的根本.

当然，这道题中我们还可以得到FA是∠DFE的角平分线，EA是∠BEF的平分线，这个结论为后续的变换提供了依据.当我把“角的两边分别交边BC和边DC于点E、F”改为“角的两边分别交直线BC和DC于点E、F”探求线段DF、BE和EF之间的大小关系时，课堂气氛顿时活跃起来，学生纷纷画图.很快有学生在黑板上画出了图2，并告诉同学们“形变法不变”，证法基本相同，属于基本的图形变换题.

图1

图2

图3

图4

学生探求至此，应该是有收获的，但并没有领悟到此题的本质.这里的正方形能否进行替换？如果替换，哪些条件会跟着一起换？

观察图3，四边形ABCD中，∠EAF=45°，角的两边分别交边BC和边DC于点E、F，___________添加四边形ABCD的边和角必须满足的条件），线段DF、BE和EF之间的大小关系依然成立！

学生进行小组合作讨论，有小组提出∠BAD必须是90°，还有小组提出∠BAD的对角必须也是90°，马上又有学生提出必须保证两组对角都互补，最终学生共同探究的结果是：∠BAD必须是90°，∠BAD的对角必须也是90°.

那么四边形ABCD的边必须满足什么条件呢？

我让学生回忆上一题中的证明过程，我们在证明△ABH≌△ADF时，实际上是将△ADF绕着A点旋转了90°到△ABH，为了确保线段AD和线段AB重合，这里必须有AD=AB.

至此，我们可以将课本习题改为“四边形ABCD中，∠EAF=45°，角的两边分别交边BC和边DC于点E、F，∠BAD=90°，∠BCD=90°，AD=AB.请问：线段DF、BE和EF之间有何大小关系？

经过小组讨论，学生对这个结论的由来已经非常清楚明了，变形后的证明也轻而易举了.如图8，当∠EAF的两边分别交边BC和边DC的延长线于点E、F时，图2中的结论依然成立.

提出了对角互补这个条件的小组依然坚持自己的见解，并将此题进行了进一步变形，他们提出当四边形的一组对角互补时只用将∠EAF的度数改成∠DAB的一半，也就是将题目改变成：四边形ABCD中，∠EAF的两边分别交边BC和边DC于点E、F，∠EAF等于∠BAD的一半，∠BAD+∠BCD=180°，AD=AB.请问：线段DF、BE和EF之间有何大小关系？

很快有其他的小组给出了证明.当然证明思路不变.并且马上有学生翻出了课本中的图5这道题，说明这道题就是刚才变换后的一种特殊情况，这道题目是这样的：已知等边三角形ABC，以BC为底作等腰三角形BDC，使∠BDC=120°，BD=DC，∠EDF=60°，∠EDF的两边交直线AB和AC于点E和F，请问：线段BE、EF、FC之间有什么大小关系？

图5

图6

图7

图8

学生能够举一反三，确属不易，我充分肯定了学生的发现，这时又有学生将本题改编成图6的变换形式.图5中BE+FC=EF，图6中FC-BE=EF.当然ED和FD也是∠BEF和∠EFC的角平分线.

此时又有小组在课本中找出了图7，他们提出实际上这道题也属于此题范围，题目是这样的：已知AB∥CD，E为AD的中点，∠BEC=90°，问：线段AB、CD及BC之间有何大小关系？我让学生阐述理由，他这样告诉我：这里的EA=ED，∠BEC等于∠AED的一半，解题方式一样，相当于将△ABE绕E点旋转180°，（也可看成中线倍长）这里AB∥CD，∠A与∠D互补，能够确保旋转后线段AB和线段CD在同一条直线上，当然很容易证明AB+CD= BC，当然两条角平分线依然成立，它们就是BE和CE.而且学生还发现这里共有五个条件，已知AB∥CD：∠BEC= 90°，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，E为线段AD的中点，AB+CD=BC，这五个条件只要给定两个作为已知条件就可推出其他三个.

对于学生提出的发现，我没有马上进行肯定，而是让学生下课后继续研究后验证该发现是否正确.这激起了他们的探索欲望，还有学生提出图4也属于本题范畴，题目是这样的：等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠EAF=45°，∠EAF的两边交BC于点E和F，问：线段BE、EF、FC有何大小关系？

这里∠EAF为∠BAC的一半，同样有AB=AC，我们逆时针旋转△ABE90度到线段AB与线段AC重合，但此时A、C、B三点不在同一条直线上，原因就是∠B和∠C的和不是180°，此时线段BE、EF、FC组成了一个直角三角形.

这道题研究到这一步，我觉得学生从动手实践再到自主探索与合作交流，提升了学生学习数学的能力与兴趣，这样的课堂教学也让学生喜欢.为了巩固研究成果，我号召学生给这道题取个名字，最后入选的名字叫“半搬角”，我觉得这个名字形象、生动地解释了这个图形的内在本质！就是一半的角在大角内旋转搬动所形成的图形.“半搬角”——真是一个神奇的图形！