牵手“面积函数”的四边形压轴题

☉河南省商水县平店乡第一初级中学　支永辉

牵手“面积函数”的四边形压轴题

☉河南省商水县平店乡第一初级中学支永辉

近年来的中考打破了坐标系与圆联手坐阵中考压轴题的格局，出现了“一枝独秀不是春，万紫千红春满园”这种百花竞放的新景观，其中很难占据压轴位置的四边形悄然牵手“面积函数”（以求面积为目标的函数，为表述方便，在此自设的特定称谓），博得压轴的一席之位，给“把关题”带来了活力.现择几道近几年的中考题作一盘点，以飨读者.

一、矩形牵手“面积函数”

图1

例1（2016年宁夏）如图1，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD.若两个点同时运动的时间为x秒（0＜x≤3），解答下列问题：

（1）设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值.

（2）是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由.

分析：本题为四边形的综合应用，涉及的知识点有矩形的性质、二次函数的最值、相似三角形的判定和性质及方程思想等.在（1）中求得S关于x的关系式（面积函数）后，求S的最值时，x的取值范围尤为重要，不谨慎就会出错；在（2）中寻出三角形相似并证明其相似是解题的关键.这种探索性追溯是近来中考中常见的题类，值得我们关注.（1）可用x表示出AQ、BQ、BP、CP，从而可表示出S△ADQ、S△BPQ、S△PCD的面积，则可表示出S，再利用二次函数的增减性可求得是否有最大值，并能求得其最小值；（2）用x表示出BQ、BP、PC，当QP⊥DP时，可证明△BPQ∽△CDP，利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，可求得x的值.

解：（1）因为四边形ABCD为矩形，所以BC=AD=4，CD=AB=3.

又S矩形ABCD=AB·BC=3×4=12，所以S=S矩形ABCD-S△ADQ-

所以S为开口向上的二次函数，且对称轴为x=2.

所以当0＜x＜2时，S随x的增大而减小，当2＜x≤3时，S随x的增大而增大.

（2）存在，理由如下：

由（1）可知，BQ=3-x，BP=x，CP=4-x.

当QP⊥DP时，则∠BPQ+∠DPC=∠DPC+∠PDC.

所以∠BPQ=∠PDC，且∠B=∠C.

所以△BPQ∽△PCD.

二、正方形牵手“面积函数”

例2（2016年广东）如图2，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP.

（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？

（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明.

（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值.

图2

分析：三个问题形成关联，第（1）、（2）问为第（3）问提供了数量及位置的关系，既然是求三角形的面积，自然离不开高线，这样以来辅助高可谓呼之欲出.（1）、（2）略；（3）需要分类讨论的支持，然后借力辅助线获得两个不同的面积函数，这样，在最后最大值的确定上就需要比对选择.

解：（1）四边形APQD为平行四边形.（过程略）

（2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下：

因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°.

因为OQ⊥BD，所以∠PQO=45°，所以∠ABO= ∠OBQ=∠PQO=45°.

所以OB=OQ，所以△AOB≌△OPQ.

所以OA=OP，∠AOB=∠POQ.

所以∠AOP=∠BOQ=90°.

所以OA⊥OP.

（3）过点O作OE⊥BC于点E.

图3

图4

又0≤x≤2，所以当x=2时，y有最大值为2.

综上所述，当x=2时，y有最大值为2.

三、平行四边形牵手“面积函数”

例3（2007年长沙）如图5，在▱ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF⊥AB于点F，FE、DC的延长线交于点G，设BE=x，△DEF的面积为S.

图5

（1）求证：△BEF∽△CEG；

（2）求用x表示S的函数表达式，并写出x的取值范围；

（3）当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？

分析：本题通过一个简单的相似证明揭开序幕，然后仍然聚焦“面积与函数、取值范围及运动中的最大（小）”问题，所不同的是本题需要三角函数的支持，并且最大（小）值不能在顶点处取得，需要灵活使用函数的增减性做出选择，这显然是一个美丽的陷阱！

解：（1）证明略.

（2）由（1）得DG为△DEF中EF边上的高.

所以，当x=3，即点E与点C重合时，S有最大值，S最大=

四、菱形牵手“面积函数”

例4（2016年长春）如图6，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°.点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.当点E不与点A重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作EG∥AD交AC于点G，过点G作GH⊥AD交AD（或AD的延长线）于点H，得到矩形EFGH.设点E运动的时间为t秒.

图6

（1）求线段EF的长.（用含t的代数式表示）

（2）求点H与点D重合时t的值.

（3）设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式.

（4）矩形EFHG的对角线EH与FG相交于点O′.当OO′∥AD时，t的值为______；当OO′⊥AD时，t的值为______.

图7

图8

（4）t=4；t=3.（矩形EFHG的对角线EH与FG相交于点O′，当OO′∥AD时，如图7，点O与点O′为所在线段中点，t的值为4；当OO′⊥AD时，如图8，有AF+FM+MD=t+t+2= 8，t=3）

纵观以上不难发现，这类题目以特殊四边形作载体，融入新课程标准所关注的动的理念，在其上设置了点的运动，并在运动中探索以“面积为本”的函数关系，进而寻得最大或最小值，其中需要函数、相似、三角函数、方程等核心知识，以及数形结合、分类讨论、方程等思想方法的鼎力相助，它们在四边形的平台上各显神通，成为中考的亮点之一.