基于建模思想，探究一题多解

☉重庆市万州高级中学　张　进☉重庆市万州区白羊中心学校　熊长菊

基于建模思想，探究一题多解

☉重庆市万州高级中学张进
☉重庆市万州区白羊中心学校熊长菊

由于一题多解既可激发学习兴趣、理清知识脉络、拓宽解题思路、提高课堂效率，又对培养学生的求异思维、发散思维大有裨益，因而深受师生的偏爱.那么在解题教学中如何探究一题多解呢？本文力图基于建模思想，从常见的基本图形中找到创造之源，提炼经典的几何模型，引导学生多方位、多角度地考虑问题，由此产生多种解题思路，从而激发学生学习数学的兴趣，提高学生的数学素养.本文以探究一道几何填空压轴题的多种解法为例，谈谈如何引导学生添设辅助线构建模型解题，以供读者参考.

一、试题呈现

图1

图2

二、解法探究

1.构建直角三角形模型

图形中存在特殊角∠OCB=45°、∠DCE=30°，通过作垂线构造Rt△OCH、Rt△ECF，自然得到直角梯形OHFE，再作高OG将直角梯形问题转化为矩形和直角三角形的问题来解决.

2.构建正方形模型

解法2：如图3，过点O作OM⊥CE于点M，作ON⊥DE 交ED的延长线于点N.设CD=2x，则CE=CDcos30°=先证明△COM≌△DON（AAS），再证明四边形OMEN是正方形，得到OM=ON=ME=NE=，解得x=1，所以S正方形ABCD= 4x2=4.，即

图3

图4

解法3：如图4，过点O作OM⊥CE于点M，作ON⊥DE 交ED的延长线于点N，过点D作DF⊥OE于点F.设CD=2x，则CE=CDcos30°=x，DE=CDsin30°=x.先证明△COM≌△DON（AAS），再证明四边形OMEN是正方形.因为OE是正方形OMEN的对角线，所以∠DEF=45°，∠DOF=30°，则，解得x=1，所以S正方形ABCD=4x2=4.

点评：解法2、解法3的四边形OCED中有两个直角∠CED=90°、∠COD=90°，OC=OD，于是想到在O点作OM⊥CE于点M，作ON⊥DE交ED的延长线于点N，构造了矩形OMEN和全等三角形△COM≌△DON，然后证明四边形OMEN为正方形是解决本题的关键.

3.构造旋转模型

已知条件中有“相等且共端点的线段+特殊角”，旋转相等线段所在的三角形构造旋转模型，使相等的线段重合，将分散的条件相对集中，得到特殊图形，从而解决线段、角之间的关系问题.

解法4：如图5，因为正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，所以将△ODE绕点O顺时针旋转90°得到则=x.因为∠ODE=∠OCF=105°，∠OCE=75°，所以∠OCE+ ∠OCF=180°，即点F、C、E共线，则FC+CE=DE+CE=FE，可证△OEF是等腰直角三角形，所以，即，解得x=1，所以

图5

图6

点评：图形中正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么OC=OD，∠COD=90°，利用旋转的办法，将△ODE绕点O顺时针旋转90°得到△OCF，得到旋转后的△OEF是等腰直角三角形，使问题得到解决.

4.构造“一线三直角”模型

根据“如果两个直角三角形对应边互相垂直，且有一组对应边相等，那么这两个直角三角形全等”这一性质构造“一线三直角”模型即可解决问题.

解法5：如图6，过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，连接OF（或将△OCE绕点O逆时针旋转90°得到△ODF，连接AF）.设CD=2x，则DE=CDsin30°=x.因为四边形ABCD是正方形，所以∠ADC=90°，AD=CD.先证△ADF≌△DCE（AAS），再证△ODE≌△OAF（SAS），然后证明△OEF是等腰直角三角形，所以即，解得x=1，所以

点评：图形中线段DE上已有两个直角，即∠ADC= ∠CED=90°，再过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，便可得到∠ADC=∠CED=∠AFD=90°，构造了“一线三直角”模型，再连接OF，构造△ODE≌△OAF解决问题.

5.构建辅助圆模型

对综合性、技巧性、隐蔽性较强的平面几何题，若能根据题目的本质特征，联想到圆的有关知识，恰当地构造辅助圆模型，往往可化难为易，化繁为简，找到解题思路.

解法6：如图7，以CD的中点I为圆心，IC长为半径作⊙I，过点D作DF⊥OE于点F.设CD=2x，则CE=CDcos30°=因为∠COD=∠CED=90°，所以O、C、E、D四点共⊙I.因为OD=OC，所以则∠DEO=45°，∠DOF=30°，则，解得x=1，所以S正方形ABCD=4x2=4.

图8

图7

点评：图形中∠COD+∠CED=180°是解决本题的突破口，以CD为直径构造辅助圆⊙I，⊙I始终经过点O、E，即O、C、E、D四点共圆，“无圆却有圆”，使得问题解决变得更加容易.

6.构建平面直角坐标系

如果借助几何直观图形无法寻找解题途径，不妨换个视角思考，利用几何图形的特殊性质建立平面直角坐标系，借用坐标法解答几何求解题会更加方便.

解法7：如图8，以BC的中点O′为坐标原点，BC所在直线为x轴，OO′所在直线为y轴建立平面直角坐标系.设 CD=2a，则因为∠ECF=60°，所以，则O（0，a），根据两点之间的距离公式可得，解得a2=1，所以S正方形ABCD=4a2=4.

点评：利用正方形这个特殊的背景图形建立平面直角坐标系，利用解析法（坐标法）求解，应用数形结合思想建立模型是解答本题的关键.其中求OE的长用到了两点之间的距离公式：若O （x1，y1），E （x2，y2），则OE=

三、解后反思

1.学会“简”法，有模可学

几何问题的解答方法很多，但只要能找到解题规律，任何难题都可以迎刃而解，教师在解题教学中要善于引导学生从复杂的图形中分解或构造出基本模型图，善于提炼数学模型，进行归纳总结.利用建模思想解题，既可以培养学生应用模型的意识，提高学习数学的兴趣，也可以培养学生知识迁移应用的能力，所以在数学学习过程中，要不断寻求新的解题方法，逐步提高自己的解题技能和技巧，以达到举一反三、触类旁通的学习效果.

2.挖掘习题，套出模型

《数学课程标准（2011年版）》指出：“几何直观主要是指利用图形来描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.”因此，在平时的教学过程中，教师通过对一些典型几何图形问题的挖掘，能辨认它属于哪一类基本模型，或是由哪些基本模型复合而成.对复杂几何问题的解决途径的探究，借助知识经验和思想方法，在直观视觉与比较分析的基础上，构建出几何模型来解决问题，这就是构建数学模型的解题策略.

3.勤于探究，学会建模

对于模型的把控不能仅限于会用于具有明显模型特征的题目，对于一些特征并不明显的题目，要勤于思考和探究，对于任何一道题都有可能存在不止一种方法，每种方法涉及的模型不尽相同，这就需要添加辅助线去挖掘图形中的隐藏属性，对于每一种基本图形的理解要十分深刻，不仅仅要认识模型，还要会补全模型，通过辅助线的铺路架桥作用来构建模型.学生通过一题多解的探究发现模型之间的相互关系，必然会增强自己对模型的理解深度.

4.建构模型，加强应用

教师要善于引导学生将所学内容整理归纳出类型和方法，并把类型、方法和范例作为整体来积累，经过加工提炼，得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要类型（数学模型建构）.数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验综合运用知识和方法解决数学问题的过程，大力渗透“建模教学”必将为数学课堂教学改革提供一条新的思路，也必将为培养更多更好的“创造型”人才提供一个崭新的舞台.

参考文献：

1.张建山.突出模型建构考查几何直观［J］.中学数学教学参考（中），2014（8）.

2.吴士根.善用模型思想提升解题能力——几何图形中利用基本模型解题例析 ［J］.中学课程辅导，2014（11）.