巧添“辅助”，事半功倍

郑浩明

(江苏省盐城市亭湖初级中学 224000)

巧添“辅助”，事半功倍

郑浩明

(江苏省盐城市亭湖初级中学 224000)

平面几何问题是初中数学中的重点内容，有些平面几何问题的解决离不开辅助线的添加.但是如何合理添加辅助线是一个极为重要的问题，合理地添加辅助线能够事半功倍地解决问题，而辅助线添加得不好，就会陷入劳而无功的境地，所以对于辅助线问题的研究非常有必要.

辅助线；复制圆；平面几何

在初中数学的平面几何问题中，辅助线的添加对于平面几何问题的解决至关重要，通过适当的添加辅助线，不但可以充分挖掘题目中的隐含条件，还能够将原本看似毫无关联的条件加联系起来.教师在平时的教学过程中要注意这一方面的教学研究.

一、添加辅助线，巧求余弦值

对于平面几何中的三角函数问题，通过题中的显性条件有时无法很好地解决问题.而通过添加辅助线，可以充分挖掘题目中的隐含条件，将原本无法直接解决的问题进行转化，提高解题效率.

例1 如图所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC>AD，AD=2，AB=4，AB上有点E，现将△CBE沿CE向上翻折，使得点B恰好与点D重合，请求出∠BCE的余弦值.

分析对于本题，题干中的条件无法直接得到所要求的结论，对于所要求的余弦值，在相关三角形中并没有已知的长度，所以需要将问题进行转化，将∠BCE转化为其它角.而题干中的“翻折”就是解决此题的突破口，通过适当的添加辅助线，将问题进行合理转化.

二、添加辅助线，证明边相等

平面几何中的证明问题一直都是中考中的热点问题，这些问题往往都需要通过添加辅助线来解决.通过添加辅助线，可以将原本无法直接使用的条件进行合理转化，独辟蹊径的解决问题，而且添加辅助线的方法多种多样，还能锻炼学生的发散思维.

例2 如图所示，在△ABC中，AB=AC，D点在AB上，E点在AC的延长线上，DE与BC相交于F，并且DB=CE，求证：DF=EF.

分析对于此题，题目中的条件并没有提供线段的长度，所以通过代数的方法求出线段的长度显然不可行，此时转换思路，可以通过证明三角形全等来证明DF=EF，但是这两条线段所在的三角形显然不全等，所以可通过添加辅助线，构造三角形来证明DF=EF.

解如图所示，过点D作DG∥AC，与BC相交于G，所以∠DGB=∠ACB.因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，所以∠DGB=∠ABC，所以DG=DB.又因为DB=CE，所以DG=CE.在△DFG和△EFC中，DG=EC,∠GDF=∠CEF,∠DFG=∠EFC，所以△DFG≅△EFC，所以DF=EF.

三、添加辅助圆，巧求线段长

在平面几何的问题中，添加辅助线段或者辅助直线非常常见，而添加辅助圆却比较少见.但是辅助圆也是辅助线中的一种，而且添加辅助圆可以更好地解决问题，将问题以圆为载体呈现出来，会让解题思路更加开阔，问题的解决也会变得容易.

例3 如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AC=AD=5，BC=6，请求出BD的长度.

分析本题的各个条件之间似乎无法直接联系起来，而所要求的结论与已知条件之间的关系也不是很明确，仔细观察已知条件，发现如果添加辅助圆的话，会使得复杂的问题变得柳暗花明.

综上所述，在平面几何问题中，对于一些条件与结论之间关系不明确的问题，通过添加辅助线可以很好地解决问题.但是辅助线的添加非常具有灵活性，合理的添加辅助线对于解题至关重要，这就需要学生在平时的复习中勤加练习，多做归纳总结.

[1]王璟.巧添辅助线解答三角形问题[J].数理化学习(教研版),2017(03).

[2]宋桂珂.初中数学辅助线技巧浅略[J].学周刊,2015(02).

2017-07-01

郑浩明(1988.06-)，男，江苏省盐城人，本科，中学二级教师，主要从事数学教学与研究.

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1008-0333(2017)32-0012-02

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