经历算理感悟过程，有效培养运算能力

蓝海鹏

摘 要：2011版课标对运算能力的教学有如下的明确要求：首先需要关注对学生基本运算技能的培养和对算理的理解。发展学生运算能力的核心是：理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。本文通过《小数的乘法》中的“买文具”进行教学实践与思考，探索简单的一位小数乘整数的计算方法与算理。通过一节课的教学，探索符合学生学情的有效的运算教学方式。在明晰算理、掌握算法中，培养学生运算能力、代数推理能力，孕育数学思想方法，培育学生的四能，实现高层次数学思维发展。

关键词：买文具；运算教学；运算能力；算理算法

教学内容：北师大版小学数学四年级下册第三单元《小数的乘法》第33—34页。

教材分析：本节课在学习了小数的意义和整数乘法的基础上，探索简单的一位小数乘整数的计算方法与算理，是后面学习小数乘小数、小数的混合运算的基础。

教学目标：

1. 结合实际问题，了解小数乘法的意义。

2. 借助乘法转化为加法、用元角分情景替代、面积模型，经历探索简单小数乘整数算理和算法的过程，体会转化思想、几何直观。

3. 能正确进行简单的小数乘整数的口算，并能解决有关的简单实际问题。

教学重点：探索简单的一位小数乘整数的计算方法与算理。

教学难点：理解一位小数乘整数的算理。

教学过程：

一、复习旧知

师：同学们，前面我們已经学习了整数乘法，你们还记得吗？好，老师就考考你们，有信心接受挑战吗？（出示课件）

复习题1：6×2 =（ ）+（ ）=（ ），7+7+7=（ ）×（ ）=（ ），8+8+8+8+8=（ ）×（ ）=（ ）

整数乘法的意义：求几个相同的（ ）的（ ）的简便运算。

复习题2：0.2里面有（ ）个0.1；0.6里面有（ ）个0.1；0.08里面有（ ）个0.01。

复习题3：0.2元=（ ）角，1.2元=（ ）角。

【设计意图】“复习题1”由具体的数字计算引出“整数乘法”的概念复习，由例到理，易于让学生回忆。“复习题2”通过类比“整数乘法”观念，尝试理解小数的意义。把1分为10个0.1，把0.1分成10个0.01……这就是对小数意义的理解。而“0.2里面有（ ）个0.1”也恰好体现小数的意义。把“0.1”或“0.01”等当作每个小数分解的基本“单位”的做法，有助于学生理解小数乘法的算理。“复习题3”旨在引导学生通过单位换算，将小数转换为整数。三道复习题通过沟通新旧知识的联系引入，实际上是为后面学习新知扫除知识障碍，这有利于构建新旧知识体系，为学生参与数学活动提供必要准备。

二、创设情境，激趣导入

师：恭喜你们，挑战成功！那么我们这节课就用这些知识来解决一些问题，请看大屏幕。（课件出示情境：文具店）。

问题1：题图讲什么事情？你从图中了解到什么数学信息？

生1：文具店有很多文具。

生2：文具有铅笔、橡皮擦、尺子、铅笔刨。

生3：每支铅笔0.3元。

……

问题2：根据图中信息，你想提出什么数学问题？

生4：一块橡皮0.2元，买4块橡皮需要多少元？

生5：一支铅笔0.3元，买4支铅笔多少元？

生6：一支铅笔0.3元，一块橡皮0.2元，买2支铅笔、3块橡皮需要多少元？

……

【设计意图】教材提供“买玩具”的现实购物情境，意图从学生熟悉的生活中的数学问题入手，引导学生用已学知识列出乘法算式，进行铺垫。设计两个问题，引导学生读懂情境，学会从情境中发现问题、提出问题。教学中采取的组织方式是：先独立思考后，再小组讨论，然后展开师生互动交流，教师及时板书学生所提出的问题。

三、互动交流，探索新知

师：刚才我们从买文具的情境中，提出了很多数学问题，我们从中选一个问题来研究研究。

（一）尝试解决，发现新知

1. 提出问题：每块橡皮0.2元，买4块橡皮需要多少元？（出示课件）

2. 请你列出算式。（学生尝试独立解决，教师巡视指导）

3. 学生展示各自的解决方法。

生7：0.2×4。

生8：0.2+0.2+0.2+0.2。

4. 谁还有不同的方法呢？

5. 观察算式：0.2×4，这个算式跟前面学习的乘法运算有什么不同？

生9：前面学习的是整数乘以整数，是整数乘法。

生10：这个算式是小数乘以整数，是小数乘法。

6. 提出问题：小数乘法怎样运算？下面我们一起研究一下。

【设计意图】从学生提出的问题中选一道基础题进行研究。通过一题多解，从情境题中发现新的算式0.2×4，引出小数乘法学习的必要性。

（二）探究算法，明晰算理

1. 怎样计算0.2×4？请你把自己的思考过程写在练习本上。

2. 学生在小组交流自己的想法。教师巡视，并收集典型作品。

3. 教师用多媒体展示3种做法，组织讨论、交流。

【第一种】 生11：

0.2×4

=0.2+0.2+0.2+0.2

=0.8（元）。

【第二种】生12：

0.2元=2角，

4×2角=8角，

8角=0.8元，

0.2×4=0.8（元）。

【第三种】生13：

笑笑用一个长方形代表1元，把它平均分成10份，每份是0.1元。

0.2是2个0.1，所以应该涂2份。

4块橡皮就要涂8份。8份就是0.8元，所以0.2×4=0.8元。

师：请这三位同学上台，接受同学提问。

生14：我不理解第一种算法，请你解释一下。

生11：因为2×4代表4个2相加，即2+2+2+2。0.2×4代表4个0.2相加，即0.2+0.2+0.2+0.2。可画图表示（图2）。

师：这样想合理吗？

生15：合理。整数乘法就是求几个相同的加数的和的简便运算。

师：谁能说说小数乘整数的意义？

生13：一样的道理。

师：小数乘整数的意义与整数乘法意义相同，都是求几个相同的加数的和的简便运算。

生16：我不理解第二种算法。

生12：用画图的方法，可以表示为（图3）：

全班学生点头，表示理解了。

生17：我理解第三种做法，但不画成长方形可以吗？

生18：可以画成正方形。

生19：画成圆形。

师：你想用什么图形来理解这种算法？大家动手画一画。

……

师：用一个长方形代表1元，把它平均分成10份，每份是0.1元。每块橡皮是0.2元，应该涂2份。一块橡皮涂2份，那4块橡皮要涂8份。8份就是0.8元，所以0.2×4=0.8元。

师：好，说得很好。这位同學说的这个方法，就是把小数乘法的新问题转化成我们以前学过的知识，用旧的知识推出新的知识，这种方法在数学上叫作转化。

师：小数乘整数，有这几种计算方法。

第一种，运用连加运算。0.2×4=0.2+0.2+0.2+0.2=0.8（元）。这是运用小数乘整数的意义来计算。

第二种，转换成整数乘法计算。利用元、角、分的关系，把小数转化成整数来计算，即0.2元=2角，2角×4=8角，8角=0.8元。把小数乘法的新知识转化成了我们学过的知识，用旧的知识推出新的知识。

第三种，借助直观模型计算。画直观图，体会小数乘整数的算理。用一个长方形代表单位1，把它平均分成10份，每份就是■，也就是0.1，0.2是2个0.1，4个0.2就是8个0.1，也就是0.8，所以0.2×4=0.8（元）。

教师讲解：以后我们可以从这3种方法中选择自己喜欢的方法来计算一些简单的小数乘法题。刚才的三种方法可以辅助我们理解，但是在实际计算中，这些方法都很麻烦。有没有更易于理解的方法？

【预设】例如：计算0.5×6。先将小数0.5变成5个0.1，0.5×6表示5×6个0.1，因为1等于10个0.1，即10个0.1等于1，所以30个0.1等于3。写出式子为0.5×6=5×0.1×6=5×6×0.1=30×0.1=3。

【设计意图】采用尝试教学法，让学生在自主学习的基础上开展讨论、交流、展示、辩论、讲解等活动，营造敢于提问、善于提问的班级交流氛围。鼓励学生一题多解，倡导算法多样化。在解决问题过程中，关注各层次学生对算理的理解，也关注学生对不同算法的合理解释。

类比整数乘法的意义得出小数乘法的意义；把小数转化为整数进行运算，体现转化思想；借助直观模型辅助理解，加深学生对小数乘法意义的理解，体会小数乘整数的算理，体现了几何直观。最后，教师试图通过研究典型的三种方法找出最简便的方法——通性通法，让学生从小数表示的意义着手来考虑，这就出现脱离情境的数字计算，在讲明算理的运算教学过程中，发展学生的推理能力。

（三）初步应运用，学会运算

笑笑的问题我们已经帮忙解决了，一起来解决刚才同学提出的另一个问题：一支铅笔0.3元，买4支铅笔多少元？

请同学们在练习本上列式计算.。（学生板演规范的解题过程）

【设计意图】学以致用是数学学习的一个重要原则，当学生掌握了其方法后，及时让学生在练习中巩固深化新知，同时体验学习数学的快乐与享受成功的喜悦。

四、深化运用，巩固新知

1. 细心填一填。

（1）0.6×8可以看作是（ ）个0.6连续相加的和。

（2）0.3+0.3+0.3=（ ）×（ ）=（ ）。

（3）0.7×3表示（ ）。

2. 根据题意写出一道加法算式和一道乘法算式。

一本0.5元，买4本多少元？

加法算式：___________________；乘法算式：_______________________。

3. 一支铅笔0.2元，小丽买了6支送给幼儿园的小朋友，她一共花了多少元？

4. 看谁算得又对又快。

0.3×3= 0.2×8= 4×0.2=

3×0.5= 0.4×4= 0.1×9=

0.7×2= 6×0.2= 0.6×4=

5. 拓展题：请你用自己的方式解释0.02×40，并写出计算结果。

【设计意图】通过练习，使学生进一步掌握小数乘整数的意义和算理，能熟练掌握小数乘整数的计算方法。

五、回顾小结，质疑问难

通过这节课的学习交流，你有什么收获？

师：同学们，数学的魅力大不大？希望同学们能用你们的眼睛去观察、去发现，生活中的数学是无处不在的！

【设计意图】梳理知识和方法，归纳总结整节课内容，形成知识网络。通过课后的交流，让学生走出课堂，走出教材，去发现生活中的数学。

六、布置作业，提升能力

基础题：列式计算

（1）6个0.5的和是多少？

（2）每箱汽水12.5元，买10箱需要多少元？

扩展题：豆角的价格为每千克2.5元，第一天妈妈买了2千克，第二天爸爸买了3千克，你能算出爸爸、妈妈一共花了多少钱吗？

【设计意图】适量的家庭作业，可以巩固本节课所学知识，作业分为基础题和扩展题，有利于满足不同基础的学生的学习需要，让不同的学生在数学上得到不同的发展。

教学反思：

本课如何做到经历算理，感悟过程，有效培养运算能力？

1. 运算教学要注重发展学生推理能力

对于运算教学，《义务教育数学课程标准（2011版）》有如下的明确要求：关于运算能力的教学，首先需要关注对学生基本运算技能的培养和对算理的理解。发展学生运算能力的核心是：理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。于代数而言，运算过程本质上就是推理过程。代数运算的实质就是依据运算法则、运算律进行推理，推理对象是运算对象（如数字、字母、函数表达式）和具体的运算种类（如四则运算、指数运算、函数运算）；推理依据是相应的运算法则和运算律；结论就是运算结果。基于这样的理念，本节课旨在通过教学发展学生推理能力。从整数的乘法出发，利用合情推理得出小数乘法的意义。从解释思考的过程中教会学生演绎推理的表述方式，如：因为2×4代表4个2相加，即2+2+2+2，所以0.2×4代表4个0.2相加，即0.2+0.2+0.2+0.2，因此0.2×4=0.8；又如把0.2元=2角，2角×4=8角，8角=0.8元；再如，计算0.5×6，先将小数0.5变成5个0.1，0.5×6表示5×6个0.1，因为1等于10个0.1，即10个0.1等于1，所以30个0.1等于3，写出式子为0.5×6=5×0.1×6=5×6×0.1=30×0.1=3。

2. 运算教学要注重讲明算理，体会算法多样化

本节课主要学习小数乘法运算中的小数乘整数，其算理可以归结为把它转化为连加，或者变成多少个0.1（或0.01）。讲明这一点，学生才会明白计算的基本思考过程和方法，才能把方法运用到新的小数运算中，实现“能正确进行简单的小数乘整数的口算，并能解决有关的简单实际问题”的教学目标。拓展题“请你用自己的方式解释0.02×40，并写出计算结果”充分考查了学生对算理的理解。而在采用不同的方式呈现算理本质的过程中，出现了不同的理解方式，于是产生了不同的计算方法，这些方法丰富了学生问题解决的思路，给学生带来了思考的乐趣。

3. 数学教学要教思想方法

思想方法是所有学科的精髓、灵魂。教思想方法才能够凸显学科本质。本节课主要的思想方法有类比、转化。

【类比思想】类比整数乘法的意义，得出小数乘法的意义。先用实例8+8+8+8+8=（ ）×（ ）=（ ），復习旧知：整数乘法的意义是求几个相同的（ ）的（ ）的简便运算。再用实例“0.2里面有（ ）个0.1；0.6里面有（ ）个0.1；0.08里面有（ ）个0.01”，类比得出小数乘法的意义。

【转化思想】新知学习转化为旧知：小数乘法转化为整数乘法，即利用情境，把小数（元）转化成整数（角）；小数乘法，转化为小数加法。

4. 数学教师要做到“心中有数”

一是要把握班级学生学习力，用分层教学理念关注学困生的接受能力，注重中层生的理解，重视学有余力学生的拓展提升。因此在活动策划和习题设计方面要对三个层次的学生都做到“心中有数”。二是对所教的教材内容及其体现的课标要“心中有数”，本节课所体现的知识结构可以用图4表示，课堂上不一定讲，但一定要“心中有数”。

5. 数学教学过程要发展学生四能

从问题情境中，让学生发现情境蕴含的条件，并根据题目数学信息，提出问题。教师根据学生提出的问题，选择一个作为课堂教学资源，集体解决。在分析问题的过程中，善于调动学生经验，发挥学生智慧，用多种方式对问题进行分析、解释。通过小组讨论和集体交流，找到解决问题的多种方法，从多种方法中体会解决问题的思维优化。

6. 把握儿童的特点

儿童具有独立意识和主动性，课堂教学应当提供恰当的教学活动，让学生经历体验和感悟的过程，尤其给学困生创造参与学习和活动的机会，让学生在小组讨论和集体交流中，敢说敢做。教师要满眼是儿童，满心装着儿童，喜怒哀乐发乎儿童的课堂反应，才能把课上好。本设计从发现问题、提出问题、分析问题到解决问题都致力于体现学生的主体作用。