《名题趣解——“李白喝酒”问题》设计与赏析

洪建林

摘 要：不少教师执教过“李白喝酒”问题，本课教师在汲取已有课例成功经验的基础上进行了再思考、再创造。以开放的视角、游戏的意识、多元的策略、方法的融合等构建新的课堂，力求定位高、趣味浓、策略活、思考深、视野阔，努力提升数学核心素养，取得了比较理想的教学效果。

关键词：李白喝酒问题；设计与赏析；教学设计

一、教学目标

1. 通过教学，使学生理解并掌握“李白喝酒问题”的一般结构特征和解题方法；能够主动发现其中的规律，以开放的视角探索解决问题的多种路径。

2. 引领学生经历用倒推、用方程解、列举和整体思考等策略探索思路的过程，提升高阶思维水平，培养发现规律、灵活解决问题的能力，发展数学核心素养。

3. 激发学生对“古代名题”的探索兴趣，增强数学学习自信力和创造力，在游戏中培养“游戏”精神。

二、教学重点、难点

1. 重点：运用倒推、用方程解、列举等策略探索思路，理解并掌握“李白喝酒问题”的一般结构特征和解题方法。

2. 难点：主动探索解题方法，发现数学规律；能够灵活列举“店、花”不同的排列顺序并解决问题。

三、教学资源

多媒体、课件等。

四、教学过程

（一）导入新课，揭示课题

同学们，我们一起来背诵一首古诗：床前明月光，疑是地上霜。举头望明月，低头思故乡。这首诗的作者是谁？

关于李白，有许许多多的故事。请看这首诗：

李白无事街上走，提着酒壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒？

教师：这就是我国古代有名的数学问题——“李白喝酒”问题。

板书课题：名题趣解——“李白喝酒”问题。

【赏析：李白的名诗《静夜思》是学生小时候就会背诵的，朗朗上口，深受大家喜爱。课伊始，教师引领学生背诵这首最为熟悉的诗，一下子拉近师生之间的距离，使教师与学生成为真正的课堂游戏伙伴；接着引入著名的《“李白喝酒”問题》，创设了诗歌与数学有机融合的数学游戏情境，以问题为引领，激发了学生的探索兴趣，促使学生进行数学思考。】

（二）引领探索，感知策略

1. 认真读诗，发现信息。

教师提问：

（1）“遇店加一倍”是什么意思？（加一倍，就是增加一倍，遇店后的斗数总是遇店前的2倍。）

（2）“见花喝一斗”呢？（遇见花就喝一斗酒。）

（3）“三遇店和花”你是怎样理解的？学生交流并汇报：遇店有3次；遇花也有3次。

教师指名学生到前面摆一摆：店和花的顺序。

店 花 店 花 店 花

（预设：也有可能出现不同的顺序）

教师引领：我们先按照每次总是“先遇店，再遇花”这样的顺序进行研究。

【赏析：教师启迪学生认真读诗，从诗句中发现大量的数学信息，对“遇店加一倍”“见花喝一斗”“三遇店和花”等信息进行数学解读，重点指导学生根据“三遇店和花”进行排序，当学生可能出现不同的排列顺序时，教师进行问题的选择，逐步引领学生解决问题。】

2. 教师启发：要研究“三遇店和花”，可以从怎样的情况想起？（从简单的情况想起，一遇店和花。）

板书：一遇 原有斗数 现在斗数

提问：先出现店还是先出现花？由于最后要喝光壶中酒，所以是先出现店，再出现花。

借助图示思考：

原有 现在

x ×2 -1 0

→ →

店 花

← ←

÷2 +1

（1）顺着题意，原有的先乘2，再减1，得到现在的斗数。多媒体展示方程。

解：设原有x斗酒。

x×2-1=0

（2）还可以怎样思考？如果从问题出发，倒过来推，遇花前的斗数是多少？（0+1=1）增加一倍也就是扩大2倍后是1斗，遇店前呢？

多媒体展示倒推法。

1÷2=■（斗）

（3）提问：一共喝了多少酒？遇花1次，见花喝一斗，所以共喝1斗。

【赏析：基于每次总是“先遇店，再遇花”的顺序，学生如果一下子就研究“三遇店和花”，相对而言还是比较复杂的，教师启迪学生从“一遇店和花”这种简单的情况想起，初步运用倒推、用方程解等策略、方法解决问题，符合学生的认知规律，积累了解决问题的经验，为后面较复杂问题的解决奠定了基础。】

3. 指名学生到前面讲解：二遇店和花。

（1）同桌交流。

（2）指名学生到前面讲述思路。

原有 现在

x ×2 -1 ×2 -1 0

→ → → →

店 花 店 花

← ← ← ←

÷2 +1 ÷2 +1

方法1：顺着题意列方程。解：设原有x斗酒。

（x×2-1）×2-1=0

方法2：倒推：（1÷2+1）÷2=■（斗）。

（3）谈话小结：要求原有多少斗酒，可以顺着题意列方程，也可以倒过来推。

【赏析：有了“一遇店和花”的解决问题的基础，学生便能够尝试解决“二遇店和花”，思路图十分明晰，策略意识得到增强，思维能力得到了发展。】

（三）自主深探，发现规律

教师：刚才我们研究了比较简单的问题。现在研究“三遇店和花”，想一想：店、花的顺序是怎样的？学生到前面摆一摆。

教师：按照店、花、店、花、店、花这样的顺序加酒、喝酒，怎样求原有的斗数？

1. 完成活动一：

2. 教师巡视：指导学生用方程法或用倒推法解答。

学生可能出现的情况：

方法1：顺着题意列方程，[（x×2-1）×2-1]×2-1=0。

方法2：倒过来推，即[（1÷2+1）÷2+1]÷2=■（斗）。

方法3：根据规律，发现结果可能是■斗。

……

3. 指名小组汇报。

（1）教师点评：我们可以顺着题意列方程：第一次遇店，原有酒量（x）乘2，第一次遇花，喝去1斗，减去1；以此类推，最后遇花，现在酒的斗数为零。

（2）还可以倒过来推：（多媒体展示过程）

列综合式：[（1÷2+1）÷2+1]÷2=■（斗）。

教师提问：观察一遇店和花、二遇店和花以及三遇店和花的计算结果■、■、■，你是不是有什么猜想？

教师再提问：如果四遇店和花，该怎样计算？你能快速得出结果吗？

{[（1÷2+1）÷2+1]÷2+1}÷2=■（斗）。

教师接着问：五遇店和花呢？你有怎样的发现？

针对学生提出的猜想、验证，教师引领得出结论：“几”遇店和花，原有斗数的分母就是几个2相乘，分子就是几个2的乘积减去1；或者就用1减去一个分数，减去的分数的分母就是几个2相乘的积，分子就是1……

（3）你还有什么问题？教师提出富有挑战性的问题：如果n次遇到店和花，你能用一个含有字母的算式表示原有的斗数吗？共喝多少斗呢？

师生谈话小结，共同建构解决问题的模型：原有斗数的分母就是n个2相乘的积，分子就是n个2的乘积减去1。

师生继续谈话：可以从整体思考，因为n次遇到花，所以喝了n斗酒，这比将每次喝的酒量相加要简单得多。

【赏析：研究“三遇店和花”是本课的核心问题之一，教师精心设计活动，引领学生先自主“试一试”，用不同的策略探索问题，并通过小组交流、对话等方式，让学生得以展示思维过程；教师不仅启迪学生思考，还抛出了挑战性问题：你发现了什么？这是一个极有价值的问题，甚至有个别学生发现了“一遇”“二遇”已经有了某种规律的呈现，凭借数学直觉一下子想出“三遇”的结果。接着，教师引发学生提出自己的猜想，继续研究“四遇店和花”“五遇店和花”，并发现其中的数学规律。在此基础上，教师进一步引导学生思索，对“n次遇店、n次遇花”进行数学建模，提升数学核心素养。最后，进行数学的整体思考，实现策略的再深探，让学生在顿悟中把握实质，感受数学策略的奇妙。可以看到，这一活动游戏色彩十分浓烈，尤其是“n次遇店、n次遇花”这种虚拟情境引发了学生的数学想象，增强了数学建模意识，培养了发现规律的能力。】

（四）拓展问题，深度思考

1. 教师导入：三遇店和花，还可以有怎样的理解？

2. 学生到前面做“站一站”的游戏。

教师让学生分别扮演店和花，在其他同学的提示下排一排，重点提问：排在最后的是什么？（花，因为最后将酒喝光）并且生成新的问题：怎样才能有序列举、不遗漏、不重复？一共有多少种不同的顺序？

【设计意图：儿童最喜欢在游戏中学习，教师安排六名学生分别扮演店和花，尝试排一排顺序，出现了店店店花花花、店店花店花花等不同排序，同时学生生成了新的问题：怎样才能有序列举、不遗漏、不重复？一共有多少种不同的顺序？从而开启了新的研究方向。】

3. 完成活动二：

（1）教师巡视指导，重点对列举无序、有重复等情况进行指导。

（2）指名小组中心发言人到前面汇报。

（3）教师点评。突出：有序列举。

一共有十种方法：店店店花花花、店店花店花花、店店花花店花、 店花花店店花、店花店花店花、店花店店花花、花店花店店花、花店店花店花、花店店店花花、花花店店店花。

重点提问、引领：（1）最后一个位置总是“遇花”，为什么？（2）如果第一个位置是店，最后遇花，还有两店两花，可以怎样排序？关键：第二个位置也是店，剩下一个店可以排在哪几个位置。（3个：第三、第四、第五）如果第二个位置遇到花，剩下的一花可以排在哪几个位置呢？这样共有6种。（3）如果第一个位置是花，最后遇花，还有一花三店，可以怎样排序？这样共有4种。（4）一共有10种排序的方法。

教师借助多媒体展示（列式略），进行重点点拨：

（1）店店店花花花；（2）店店花店花花；（3）店店花花店花；（4）店花花店店花；（5）店花店花店花；（6）店花店店花花；（7）花店花店店花；（8）花店店花店花；（9）花店店店花花；（10）花花店店店花。

點评时，教师对学生生成的排序和列式方法适时肯定激励或提出相关建议，对于第（1）种排序的列式进行评点。

【设计意图：活动二的教学是本堂课研究的又一个主要问题。当我们对“三遇店和花”进行另一种解读时，问题的趣味性、开放性显著增强，教师引导学生进行发散思维，一一列举的策略便呼之欲出。教师首先通过游戏，组织学生体验排序的过程，这一过程虽然是原生态的，但学生已经初步认识到店、花不同的排序。由于出现不同的排序，学生对问题进一步思考，讨论出一共有多少种排序。更为重要的是，教师选择了一类有序的排法：分两大类，得出了10种不同的情况，在多样化的基础上进行优化，同时对学生的合理排序进行肯定激励。当然，在小组活动中，教师更重视不同的排序，对于不同策略列式、求结果没有进行必要的要求，因为学生已经基本掌握策略，最后充分借助多媒体进行了列式、结果的展示，加大了课堂信息量，强化了“排序”这一思维发散的过程。】

（五）课堂小结，交流收获

（六）课后延伸，拓宽认识

【教学赏析】“李白喝酒”问题不少教师都执教过，有的是从一种视角（先遇店，再遇花）按部就班地解决问题；有的定位在按不同的顺序解决问题。笔者在汲取已有课例成功经验的基础上进行了再思考、再创造。以开放的视角、游戏的意识、多元的策略、方法的融合等构建新的课堂，力求定位高、趣味浓、策略活、思考深、视野阔，努力提升数学核心素养，取得了比较理想的教学效果。

1. 定位高——拟定研究目标，重在素养发展

抽象、推理、建模是数学素养最核心的内容。本节课的目标主要定位于引领学生运用倒推、用方程解、列举等策略探索思路，理解并掌握“李白喝酒问题”的一般结构特征和解题方法，不断促进学生进行数学分析、比较、抽象等活动，从而提升数学活动经验；激励学生主动探索解题方法、发现数学规律，能够灵活列举“店、花”不同的排列顺序并解决问题。

2. 趣味浓——富有游戏意味，激发探索兴趣

古诗中竟然蕴含着丰富的数学知识，这让学生感受到数学的学习乐趣，体验到活动的认知情趣，“三遇店和花”中“店、花”不同顺序的排列，更让学生感悟到数学学习的智趣。在传统的教学中，教师只单纯地让学生用倒推或解方程的策略，按“先遇店再遇花”解决问题，没有从简单的情况研究起，学生的学习不够灵活，既没有发现规律，又没有对变化顺序进行思考，未能进入趣味盎然的境界，课堂显得十分单一。在本节课的研究活动中，教师为了加深学生的理解，还巧妙安排了“小游戏”让学生排一排，看看有哪些不同的顺序，学生在生动的游戏中生成问题意识。

3. 策略活——运用多元策略，综合解决问题

本节课重在策略的组合运用，倒推与用方程解是整课问题解决的方式，而列举的策略又使问题研究得以深化，从简单的问题想起、整体思考等策略不可或缺。多元化的策略、立体化的路径让问题解决的过程更加丰富、灵动。学生徜徉于策略的世界，综合运用的能力得到培养。

4. 思考深——積累活动经验，促进深度学习

基于数学活动经验的积累，教师引领学生从“简单的问题”思考起，由一遇、二遇再到三遇，不断累积活动经验，进而启迪学生进行猜想，由四遇再到五遇……学生通过观察、比较、联想，发现规律，建立模型，提升了数学核心素养。要求共喝多少斗酒，教师引领学生整体思维，寻求简洁思路，再次积累思维经验。活动二的解决，让学生经历深度学习的过程，求解的关键在于如何有序列举，做到不重复、不遗漏，学生有不同的思考方法，教师重点点拨。

5. 视野阔——渗透数学文化，催生学习自信

全课围绕古代名题展开，将数学与诗歌有机结合，文化气息扑面而来。以开放的视角看待问题，以多元的策略解决问题，以变化的眼光发现规律，学生学习的视野无比开阔，游戏意味不断增强，数学思维更加灵活。教者不再停留在解决问题的层面，而是立于数学文化的层面，在不断促进学生进行抽象、推理、发现的基础上提升数学核心素养。

总之，本节课的教学具有较强的新颖性、智趣性和文化性，巧妙地借助古代名题，融合游戏元素，激发学生活用策略、善于发现、深度建构，是一节富有数学味儿、文化味儿的优质课堂。