数形结合，开启数学智慧的大门

陆小蓓

摘 要：为了在数学课堂上渗透数形结合思想，开启数学智慧的大门，笔者结合苏教版小学数学的教材内容，希望通过线段图、实物模型、点子图和几何图形等建立数和形之间的转化，使数学问题形中有数，数中有形。

关键词：数形结合；苏教版；数学智慧

华罗庚曾经说过：数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。此言正道出了数形结合在数学学习中的重要性。2011年版《小学数学新课标》中也提出了数形结合是一种重要的数学思想，需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握。

为此，笔者翻阅了苏教版教材中蕴含数形结合思想方法的教学内容，受益颇多。

一、借助线段图记录数量关系，促进数形结合

线段图是小学阶段常用的解决问题的方法之一，学生通常把复杂的题目意思转变为简洁直观的线段图，就能在解决数学问题时化繁为简，化难为易，顺利地解决问题。如笔者在教学苏教版六年级上册第六单元“用百分数知识解决问题”一课时，面对复杂的单位“1”，我们借助线段图记录下题目的数量关系，于是巧妙地解决了这道题目。

（出示题目：张大伯培育了480棵槐树苗，比原计划多20%。原计划培育槐树苗多少棵？）

师：请同学们自己把解答过程写在练习本上，并在四人小组里说一说你会怎么计算原计划培育槐树苗多少棵。

生1：我是先计算张大伯比原计划多种了480×20%=96棵槐树苗，再用张大伯现在培育的槐树苗减去比原计划多种的就是原计划培育的槐树苗了，即480-96=384棵。

生2：我是用方程来解的，把原计划培育的棵数设为x棵，那么多培育的棵数就是20%x了。列出方程x+20%x=480，解出x=400，这就说明原计划培育槐树苗400棵。

生3（看着线段图介绍）：我画了线段图，数量关系就是“原计划培育的棵数+比原计划多的棵数=实际培育的棵数”。我把原计划培育的棵树看作单位“1”，而“实际比原计划多20%”，那么实际培育的棵数就是原计划棵数的（1+20%），因为要求单位“1”，所以用除法计算，480÷（1+20%）=400棵。

师：现在我们出现了两种答案，你有什么办法证明自己的答案是正确的。

生：我们可以在线段图上检查一下这道题目的答案。如果原计划培育槐树苗400棵，那么实际比原计划多培育400×20%=80棵，所以实际培育槐树苗400+80=480棵。如果原计划培育槐树苗384棵，那么实际比原计划多培育384×20%=76.8棵，这就不符合生活实际了。所以生2和生3的解决方法是正确的。

师：看来线段图不仅能理解题目关系帮助我们解决数学问题，还能检验答案是否正确呢！

在这个教学片段中，我们看到线段图的作用不仅在于能把复杂的问题直观化，帮助学生解决复杂的问题，让学生更清晰地展示自己的思考过程，而且还能为学生检查答案是否正确提供思路。

二、借助实物模型感知空间观念，促进数形结合

实物模型，是学生学习图形和长度单位、面积单位和体积单位的最佳工具，有助于學生在学习中观察和交流，体会数形结合的思想。如在教学苏教版三年级下册第六单元“认识面积和面积单位”一课时，笔者出示1平方厘米、1平方分米和1平方米的物体，让学生通过摸一摸、画一画、涂一涂、数一数等活动，把这些面积单位记在脑海里。

师：同学们，刚才我们自学认识了三个面积单位，即1平方厘米、1平方分米和1平方米。边长是1厘米的小正方形，面积是1平方厘米。请你们先仔细看一看老师手中这个1平方厘米的小正方形，再去找一找生活中哪些物体的面积最接近1平方厘米？

生1：小手指指甲面的面积大约是1平方厘米。

生2：骰子表面的面积大约是1平方厘米。

生3：我这颗牙齿表面的大小大约是1平方厘米。

（教师鼓励学生用1平方厘米的实物模型去验证，发现这颗牙齿的面积非常接近1平方厘米。）

师：很好，现在我们再来看一看这个1平方厘米的模型，请你在纸上把你脑海中的1平方厘米画下来，并用尺子量一量你画得如何，是比1平方厘米大，还是比1平方厘米小。

（学生自己在纸上画1平方厘米，有的学生画得比1平方厘米大，有的学生画得比1平方厘米小。）

师：现在请你再画一个1平方厘米，看看这次画得如何。想一想如果把100个1平方厘米堆放在一起，会有多大呢？

在这个教学片段中，教师从学生熟悉的生活实际出发，寻找生活中的1平方厘米，通过视觉、触觉、嗅觉等多感觉器官参与，让学生在摸一摸、比一比、画一画等操作活动中加深对平方厘米和1平方厘米的印象，从而在学生头脑中清晰建立起“1平方厘米”的数与“1平方厘米”的形之间的联系。

三、借助点子图体现简洁美，促进数形结合

除了线段图、实物模型，点子图在特定的时候也能起到很好的学习效果，既能让学生体会到可以从不同的方向、用不同的方法解决同一个问题，还能在教学中渗透符号化思想。如在教学苏教版二年级下册第一单元“有余数的除法”一课时，为了帮助学生更加直观地感受到平均分和“余数一定要比除数小”，笔者在课上运用点子图，轻而易举地帮助学生搞定了这件事。

（出示题目：用13根小棒摆正方形，可以摆多少个？还多多少根小棒？）

师：同学们，先请你们在桌子上摆一摆，再用点子图记录下来。

生1：我先画了13个点表示13根小棒，1个正方形要用4根小棒，所以我就4个4个地圈，圈了2次。

生2：不对不对，我认为4个4个地圈可以圈3次，还剩下1个点子，这时我就不能再圈了。

师：对于这两种不同的圈法，动脑筋想一想你支持哪一种圈法？为什么？

生：我支持第2种圈法，因为第1种圈2次后还剩下5个点子，我们是4个4个地圈，所以还可以再圈1次。

师：你的意思是说我们要圈到不能再圈为止。那我们再来解决用14根、15根、16根、17根小棒摆正方形的问题。

生：14个点子，4个4个地圈，我圈了3次还多2个，所以14÷4=3（个）……2（根）。15个点子，4个4个地圈，我圈了3次还多3个，所以15÷4=3（个）……3（根）。16个点子，4个4个地圈，我圈了4次，正好圈完，所以16÷4=4（个）。17个点子，4个4个地圈，我圈了4次，还多1个，所以17÷4=4（个）……1（根）。

师：我们一起来观察这些算式，你发现了什么？

在这个教学片段中，学生利用点子图这个有形的外套，让学生动手摆一摆、圈一圈，在直观视觉和抽象思维中解决了有余数除法中“余数要比除数小”的重难点知识，并且逐渐让学生体会到解决问题时用符号进行简化的过程，既能渗透符号化思想，又有助于提高学生抽象概括的能力。

四、借助几何图形理解运算律，促进数形结合

“数形结合”的数学本质是把抽象的数学语言、数量关系和直观图形结合起来，包括“以形助数”和“以数辅形”这两个方面。在计算运算律的教学中，乘法分配律可以说是学生理解最困难的运算律了，究其原因主要是因为乘法分配律的种类繁多，表達式复杂。因此，笔者在教学苏教版四年级下册第六单元“整数四则混合运算”一课时，充分利用了直观的几何图形——长方形和正方形的面积计算，让学生结合图形来理解乘法分配律的字母表达式的意义。

（出示题目：计算整个花圃的面积是多少平方米？）（图1）

师：同学们，请你们用两种方法计算整个花圃的面积是多少平方米。

生1：我先算兰花的面积是6×8=48（平方米），郁金香的面积是14×8=112（平方米），所以整个花圃的面积是48+112=160（平方米）。

生2：我是先算出整个花圃的长是6+14=20（米），整个花圃的宽是8米，所以整个花圃的面积是20×8=160（平方米）。

（教师把这两种方法都进行了板书。）

师：你还能以这个花圃的面积为例举出其他例子吗？请用两种方法解答。

生2：兰花花圃的长是10米，宽是3米；郁金香花圃的长是5米，宽是3米。整个花圃的面积是多少平方米？第一种计算方法是10×3+5×3=45（平方米），第二种计算方法是10+5=15（米），15×3=45（平方米）。

生3：兰花花圃的长是8米，宽是7米；郁金香花圃的长是7米，宽是2米。整个花圃的面积是多少平方米？第一种计算方法是7×8+7×2=70（平方米），第二种计算方法是（8+2）×7=70（平方米）。

师：那如果兰花花圃的长是a米，宽是c米；郁金香花圃的长是b米，宽是c米。整个花圃的面积是多少平方米？用两种方法计算。

生：第一种方法是a×c+b×c，第二种方法是（a+b）×c，而且a×c+b×c=（a+b）×c。

在这个教学片段中，教师从形象的长方形面积入手，通过具体的数字计算，引导学生用两种方法计算整个花圃的面积，并发现两种计算方法的结果是相同的。慢慢地，学生在数和形中发现了乘法分配律的数字表达式，教师趁机引导学生用字母表示乘法分配律，加深学生的直观印象。

总之，数形结合就伴随在学生学习数学的活动中，能将复杂抽象的数学问题转变成简洁概括的符号，有助于学生快速找到解决问题的方案，开启数学智慧的大门。