在“问题解决”过程中培育学生数学素养

王芳

摘 要：培育学生数学学科素养是数学教学的应有之义。以“问题解决”为脚手架，可以将学生的学科素养培植真正而有效地落实。学生的问题意识在问题解决过程中能够得以激发，学生的符号意识在问题解决过程中得以培育，学生的思维能力在问题解决过程中得以发展，学生的实践创造在问题解决过程中得以实现。

关键词：问题解决；数学素养；培育

当下，培育学生的“核心素养”受到普遍的关注。何为数学学科“核心素养”？仁者见仁，智者见智。有研究者认为，从《数学课程标准》中的十大核心词出发，可以有效培植学生的核心素养。这里，笔者无意于核心素养的讨论，笔者更为关注的是数学学科素养如何真正落实到数学教学之中去。对于学生数学学科素养而言，笔者认为，重要的是培育学生的问题意识、符号意识、思维能力和实践创造的能力和品格。在现实的教与学中，上述诸方面内容是交织在一起的。为此，我们以“问题解决”为载体，将学生数学学科素养纳入问题解决的整体框架之下，引领学生理解数学知识，掌握数学技能，形成数学思考，积累数学活动经验。抓住学生数学问题解决，也就抓住了学生数学学习的“牛鼻子”，牵一发而动全身。

一、问题意识，在问题解决过程中得以激发

问题是数学的心脏，问题更是数学教学的动力引擎。著名物理学家爱因斯坦曾说，“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅仅是一个教学上或实验上的技能而已。而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步”。学生能够自主地发现问题、提出问题是数学学科素养形成的重要标识，好的数学问题能够开启学生的数学理解。从某种意义上讲，对某一问题深刻地“问”已经是对某一问题的“答”或者已经蕴含着对某一问题的“答”了。

例如，教学苏教版六年级下册的《解决问题的策略——假设》，笔者向学生呈现了经典的“鸡兔同笼”问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？面对这样的问题结构，学生展开了热烈的讨论，从数学的角度提出了一系列问题，这些问题是学生数学深度思考的结果。例如“雉兔为什么关在同一个笼子里？”“三十五头是谁的头？”“九十四足是谁的足？”“数学问题解决允许一个一个地尝试吗？”“如果关的全都是兔子，头的个数、脚的个数分别是多少呢？”“如果雉兔同样多或者只相差一个，脚的个数会怎样呢？”等，这些问题，有的是对数学知识本源、功能的主动发问，有的触及数学知识的本质，还有的有利于学生建构数学模型，形成解决问题的策略。学生通过对数学问题情境要素的观察、分析，深入挖掘隐藏于其中的数学关系，大胆猜想，对所提问题进行具体分析，进而解决问题，并在这个过程中自然地生发出新的问题。

对于学生数学问题意识和提出问题的能力的培育，可以借鉴国外学者布朗与沃尔特的方法——“否定假设法”（what-if-not），即如果不是这样，它还可能会怎样呢？教学中，要依据数学知识的特质和学生认知的特质，发散学生的思维，“逼迫”学生从多个方向、多个视角展开探索。如此，问题就不是静态的、固定的，而是动态的、不断生成的。

二、符号意识，在问题解决过程中得以培育

数学是一种语言，学习数学就是掌握一种语言、一种符号规则系统。对数学问题的确证与表征就是学生主动运用数学符号，将文本语言转译成数学语言的过程。在解决问题的教学中，教师要引导学生进行语言符号之间的互译。在这个过程中，一方面，要引导学生善于捕捉问题中的数学信息，从数学的视角深刻理解问题的数学本质内涵；另一方面，要引导学生善于赋予数学符号以现实意义。只有当学生能够在文字语言、图形（图像）语言、符号语言之间来回穿行，学生的符号化能力才能有效形成。

符号意识的形成有赖于学生对数、数量关系、数学图形、数学模型的敏感度。例如教学《用字母表示数》，笔者运用这样一首儿歌导入新课：一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，扑通扑通跳下水……于是乎，学生情不自禁地展开模仿。但他们发现，无论怎样模仿都说不完，怎么办呢？怎样解决这样的问题呢？一种寻求普适性、概括性、通用性的符号化表达诉求在学生的内心酝酿着。为了解决这样的问题，学生“煞费脑筋”，主动地创造符号。他们有的用“a只青蛙b张嘴，c只眼睛d条腿，扑通扑通跳下水……”表示，有的用“a只青蛙a张嘴，b只眼睛c条腿……”表示，……显然，学生对青蛙的数量与嘴巴、眼睛、腿等的数量之间的关系还没有形成深刻的认识。但在运用个性化符号表示数量关系的过程中，学生已初步感受并体验到用字母符号表示数量之间关系的优越性、便捷性、普适性。学生自觉地运用、创造数学符号，是萌发、生长符号思想的前提和条件。在教学中，教师要呵护学生的童言童语，关注学生的个性语言，唤醒学生的符号表象，让学生逐步用符号抽象数量之间的关系。如此，学生才能自由地行走在文字语言与符号语言之间。

三、推理能力，在问题解决过程中得以发展

数学是一门思维科学，数学思维是最严谨的、最有序的，其体现之一就是推理过程的严密。运用问题解决，能够激活学生的数学思维。所谓“数学思维”，是指学生能够用“数学的眼光”看问题，用“数学的大脑”思考问题，用“数学的方法”解决问题。毫无疑问，学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的整个过程是艰辛的，但它却锤炼了学生的数学思维，尤其是推理能力。只有立足于推理能力的培养，才能让学生更好地理解、感悟数学教学内容的意义、方法。

例如，教学《长方形的认识》，鉴于学生已经在一年级初步认识了长方形，笔者在教学中没有遵循一般的亦步亦趋的教学思路，而是给学生提供了一些实验素材，如钉子板与橡皮筋、几组长短不同的小棒、剪刀和各种形状的纸片等，让学生“制作一个长方形”。这样的任务不再是封闭的，而是开放性的。学生在完成任务、解决问题的过程中自然地需要运用到数学推理。例如，利用小棒围长方形的学生，在围的过程中主动思考这样的问题：一组等长的小棒应该放在哪里？（深度思考了長方形对边相等）在此基础上又可以进一步推理：怎样让小棒围成长方形而不是围成普通的平行四边形？（深度思考了长方形的四个角都是直角）又如，用钉子板围长方形的学生，在围的过程中自然产生了这样的问题：怎样让不小心围成的直角梯形用最少的步骤改围成长方形？（深度思考了长方形和直角梯形之间的区别）怎样检验用圆折成的长方形？（深度思考了长方形特征的作用）正是在问题解决的过程中，学生的思维步步发展，一环扣一环，表现出很强的推理特征，从而对数学知识有了本质化的认识。

数学问题解决活动不仅是一种心智活动，而且是一种严密的推理过程。学生在推理的过程中主动发现、猜想，主动进行验证，形成客观化的数学知识。因此，基于问题解决的推理可以说就是学生思维发展的沃土，学生的推理能力也因此在问题解决过程中得以充分培养。教学中，教师要拓宽学生思维的长度，延展学生思维的宽度，提升学生思维的高度，于是推理能力的培养就可以得到保证。

四、实践创造，在问题解决过程中得以实现

学生的数学学习不仅仅是一种符号化能力，更是蕴含着思维的实践创造。为了让学生在解决问题过程中冲破思维的束缚，挣脱思维的习惯，解除思维的定式，更加富有成效地解决问题，教师应当引領学生不断超越，不断更新自我的知识理解，在动手操作、大胆尝试中不断形成创新意识和实践能力。

例如教学《认识乘法》，笔者出示了一组“对比题”：摆两行正方形，第一行摆4个，第二行摆5个，一共摆了多少个？摆两行正方形，第一行摆4个，第二行也摆4个，一共摆了多少个？摆一百行正方形，每一行都摆4个，一共摆了多少个？对于第一道题，学生用加法列式；对于第二道题，学生也用加法列式，但已经觉察到两道题的细微差异，即加数由不同变成了相同；对于第三道题，学生发现根本不可能用一般的加法进行运算。于是，一种寻求新运算的心理自然生成。这时，笔者顺势揭示了乘法的意义。接着，笔者让学生用乘法标示第二道题、第三道题。令人惊讶的是，许多学生竟然创造性地用乘法表示第一道题，有学生表示为4×2+1，有学生表示为5×2-1，还有学生在操作中将两行变成了三行，列式为3×3，并且用图来说明、解释……学生的数学创新潜能在问题解决中得以发掘。

基于创造的视角，我们发现，许多数学问题是可以从不同的角度、用不同的思路、采用不同的方法予以解决的。数学问题的创造性解决，可以让学生在探索中学、在探索中玩、在探索中研。为此，教师要为学生营造数学创想的氛围，打造数学创造的空间，对学生的数学创造实践进行众扶、众筹，从而让学生“敢于种植未开垦的土地”（陶行知语）。

学生数学学习的问题意识、符号意识、思维能力和实践创造等诸种学科素养都可以“以问题解决的方式”展开。同样，有效的问题解决也离不开学生的问题意识、符号意识、思维能力和实践创造。从这个角度来看，数学问题解决能够有效地促进学生数学素养乃至核心素养的目标实现。数学教学应该从学生的实际出发，根据不同的内容和学生的不同学情，让学生在问题解决过程中将诸种学科素养的培育统一起来，让学科素养乃至核心素养的培植落地生根。