不等式ex≥1+x与x≥1+lnx在高考数学中的应用

文江门市第一中学 罗学敏

高考试题源于课本，而又高于课本。课本上的典型例题和习题，常常被作为编制千百同类题目的“题根”。许多高考试题都可以在课本中找到“题源”。本文以教材选修2-2 P32习题B1为例，探索如何在基本框架ex≥1+x与x≥1+lnx基础上，结合函数性质，把ex,lnx线性化，放缩ex,lnx,妙解函数问题编制的优美高考数学试题。

一、不等式ex≥1+x与x≥1+lnx的证明

对于ex≥1+x的证明，只需构造函数f(x)=ex-x-1，则f' (x)=ex-1

令f' (x)=0，解得x=0,因为x∈(-,0),f' (x)<0；x∈(0,+)，f' (x)>0,

所以f(x)≥f(0)=0，即证得ex≥1+x。

同理可证，x≥1+lnx。

二、不等式ex≥1+x与x≥1+lnx在高考数学中的应用

即证(1+x)2≤e2x；x∈[0,1]

由于ex≥1+x(x∈R)

则 (ex)2≥(1+x)2

即e2x≥(1+x)2

所以，原不等式成立，命题得证。

点评：由于欲证不等式不便于直接证明，因而采用间接证明的方法——分析法；本题对所证不等式变形后，间接使用结论ex≥1+x，从而使问题得证。

例2：(2013年新课标卷)已知函数f(x)=ex-ln(x+m)。当m≤2时，证明：f(x)>0。

证明：利用两个结论ex≥1+x与x≥1+lnx得：

f(x)=ex-ln(x+m)≥(1+x)-[(x+m)-1]=2-m≥0 (m≤2)。

上式取“=”的条件是x=0，x+m=1且2-m=0，这是矛盾的。

所以f(x)>0。

点评：充分利用两个结论ex≥1+x与x≥1+lnx和所给已知条件，通过化简或者推导逐渐向问题靠拢。

解(1)：f(x)的定义域为(0,+)，

若a≥0时，则当x∈(0,+)时，f' (x)>0，

故f(x)在(0,+)上单调递增，

当x∈(0,1)时，g' (x)>0；当x∈(1,+)时，g' (x)<0。

所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减。

故当x=1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)=0。

所以当x>0时，g(x)≤0，

通过以上几题可以看出，每年高考数学试卷中，总能够找到许多与教材中的例题相似或来源于教材的试题，这些试题考查的都是教材中最基本、最重要的数学知识和技能。因为，高考复习回归教材，用好教材，重视基础知识和基本方法是取得好成绩的前提。