盘点知识，厘清方法

潘梅耘

解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门科学，这正说明了解析几何中数形结合的重要性.如何熟练掌握几何语言与代数语言之间的互化，是我们能否学好解析几何的关键.下面就直线与圆、圆与圆的位置关系的相关内容，与同学们谈谈个人的理解.

一、整体把握直线与圆的位置关系

1.直线与圆

直线与圆的位置关系，可以利用直线与圆的方程构成的方程组是否有解的代数方法来判断，也可以利用平面几何中的相关性质，通过圆心到直线的距离（d）与半径（r）的大小的比较来判断.在这里，我们可以很自然地看到几何语言与代数语言的互化，如表1所示，直线与圆共有三种不同的位置关系.

其实，就算我们选择了几何视角，在考虑网心到直线的距离（d）时，仍然需要回归到代数视角上来，利用点到直线的距离公式来表示与计算d，并进行数值大小的比较，这无疑加深了几何与代数的联系，正是解析几何这一桥梁贯通了二者，互化的过程，就是不断地帮助我们厘清思路、成功解题的关键.当然，如果能够多从几何的角度考虑问题，可以达到以形助数、以思减算的效果，对于成功解题很有帮助.

问题1 如果直线l：ax+by= r2与圆C：x2+y2=r2有两个不同的交点，则P（a，b）与圆的位置关系是 ___（只需填正确结论的序号）

①P在圆外; ②P在圆上;

③P在圆内; ④不确定.

点拨 直线l：ax+by=r2与圆C：x2+y2=r2有两个不同的交点？圆心C到直线l的距离小于半径？—r2/√a2+b2？a2+b2>r2？点P（a，6）在网C外.答案：①.

此问题是典型的代数语言与几何语言形式共存的问题.所以贯通这两种语言，显得十分重要.主要有两处：我们记点P与圆心距离为dp，直线与圆心距离为dl，圆的半径为r，一是直线与圆有两个不同的交点，即直线与网相交，可从几何视角来转化条件，即为“d1

事实上，最终我们可得到一组完整的结论：dP>r？dlr.

2.弦长公式

直线与网相交时，求弦长是典型问题.

从代数角度分析，只需利用两点间的距离

从几何角度观察，计算弦长时用半径（r）、弦心距（d）、半弦（1/2d弦长）构成直角三角形三边计算.弦心距如何求？运用点到直线的距离公式.构造直角三角形是为了做什么？利用勾股定理描述的三边关系计算半弦长.

问题2 直线l经过点P（5，5），其斜率为k（k∈R），l与圆x2 +y2 =25相交，交点分别为A，B，若AB=4√5 ，求k的值，

解析 显然，直线l的斜率是存在的，其方程可表示为y-5=k（x-5）.

则圆心到该直线的距离

解得k=2或k=1/2.

反思 弦长公式中的d是关键量，一方面能用半径和半弦的平方差表示，另一方面义与弦所在直线斜率相联系，所以有关弦问题常常用该量来传递关系.

3.圆的切线

直线与圆相切，常见问题有切线长以及切线长范围问题、切线长最值以及切线所在直线问题，我们常利用切点与圆心的连线和切线垂直来构筑直角三角形解题，而这里的“斜边长”，则需要我们利用两点间的距离公式来表示与计算.

问题3 如图1，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN（M，N分别为切点），使得PM=√2PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.

点拨 利用切线长公式，将PM=√2PN化为PO21=2（PO22-1），而后建立平面直角坐标系，利用两点间的距离公式来表示PO1，PO2，即可得到所求轨迹方程，

反思 对于与切线有关的问题，要尽可能地挖掘其平面几何性质，这样，需要我们转化为“代数语言”的部分就越少，障碍也就越小.此题如果单纯从代数的角度解答，难度很大.

二、掌握圆与圆的位置关系

用动态的观点理解两圆的位置关系能很好地把握它们的特征，如表2所示，共有五种位置关系，

这里，圆与圆的位置关系就可以通过圆心距与半径的代数关系刻画，其中网心距只需通过两点间的距离公式即可表示出来.

问题4 （1）圆C1：x2+y2 =9与圆C2：x2+y2-4ax-2y+4a2-3=O相切，则实数a=____.

（2）两圆x2+y2+2ax+2ay+2a21=O与x2+y2 +2bx+2by+2b2-2=0的公共弦长的最大值是_________________.

（3）过y=x与x2+y2-6x=0公共点且最小的圆方程为_____.

（4）两圆x2+y2-4x+2V+1=O与x2+y2 +4x-4y-1=0的公切线有___ 条.

解 （1）O，±√6;（2）2;（3）x2+y2-3x-3y=O; （4）3.

反思 1.兩圆相切有内切和外切两种;注意圆一般式成立的条件.2.相交两圆公共弦所在直线方程为两圆方程之差;利用平面几何探讨公共弦长最值问题较方便.3.理解两网位置关系的代数表述，注重符号语言与图象语言的互化.

同学们在学习直线与圆、圆与圆的位置关系的过程中，不仅要学会与它相关的数学知识，更重要的是领悟解析几何的核心思想——数形结合.它不仅仅是观察问题的视角，更多的是贯通了研究对象的几何意义与其对应的代数含义.如此，我们对本章的内容才能驾轻就熟，解题时如庖丁解牛一般，游刃有余.

巩固练习

1.（1）从点M（x，y）向圆O1（x+1）2+（y-3）2=5和圆O2（x-1）2+（y+2）2=2分别作切线，若切线的长度相等，则点M的轨迹方程是_____;

（2）点P为2x+y-3=0上一点，过点P作圆x2+y2 =1的切线，切点为A，则PA的最小值是_____.

2.（1）已知A={（x，y）|x2+y2-2y=0），B={（x，y）|y=kx-k+1）}，则A ∩ B中的元素个数是____;

（2）已知A={（x，y）| x2+y2-2y=0}，B={（x，y）|y-x/x-1}，则A ∩ B中的元素个数是_____;

（3）已知A={（x，y）|x2+y2+y2-2y=0，x>0}，B={（x，y）|y-1/x-2=k}，则A∩B中的元素个数是1，则k的取值范围为___.

参考答案

1.（1）2x-5y+1=0;（2） 2√5.

2.（1）2; （2）1;

（3）（-∞， -1）∪（1，+∞）.