拨云见日终有时，化归解题醉晴空
——化归思想在高中数学解题过程中的应用方法分析

◎沈月红

(浙江省湖州艺术与设计学校，浙江 湖州 313000)

数学问题的解决过程就是一系列问题的转化过程，具体表现为由难到易、由繁到简、由未知到已知等.也就是说，在数学解题教学中，教师要善于引导学生学会将一个复杂的问题通过转化分析化归为一个简单的熟悉问题，从而使问题得到有效解决.因此，下面将探讨化归思想在高中数学解题过程中的应用.

一、化归思想的内涵

化归思想是一种数学思想和解题方法，是对未解决的问题做等价与非等价转化、从而实现有效求解问题的思考过程，具有熟悉化、简单化、和谐化的特点.在高中数学解题教学中应用化归思想，应以教学实践为基础，以培养学生的良好数学思维品质、数学思想为目标，从化归数与形、化归复杂与简单、化归特殊与一般、化归正面与反面等方面出发，应用化归思想对解题过程进行详细阐述，使学生在解题时能够精准、快速地找到解题方法，提高解题效率.

二、化归思想在高中数学解题过程中的应用分析

(一)化归动与静，提高学生的解题能力

在高中数学问题中，动和静之间的转化是化归思想的主要内容，这一内容常常体现在函数问题中.函数问题常包含了生活中的变量关系，对事物的变化和运动规律进行研究.在教授函数知识的过程中，教师要引导学生探究变量间的关系，提炼出数学模型，借助化归思想，将静态问题转化成变量动态问题，通过运动的观点思考和解决函数问题，提高数学解题能力.例如，在学习对数函数时，学生常会遇到比较大小的题目，教师要让学生掌握解此类题的方法，使学生能很容易解出题目.

例如，教师可在习题课上出示这样一道题：

在解答此题的过程中，教师可以应用化归思想，将函数进行动静转化.教师先让学生对两个数学式进行观察思考，并且确定这两个数学式属于静止的数值；然后引入化归思想，进行动与静的转化，建构一个对数函数f(x)=log3x，将两个静态的数学式看作函数自变量对应的函数值，从而实现数值的动态化转变.根据对数函数f(x)=log3x在定义域(0，+∞)上单调递增，教师对两个数学式的大小进行判断，确定它们的大小关系.通过解答此类问题，学生掌握化归思想，学会进行静态和动态的转化，轻松解答这类题目.该方法特别适合用于解答选择题、填空题，学生能够快速、准确地找出答案，最终提高解题能力.

(二)化归数与形，培养学生的直观思维

代数和几何是高中数学的重要内容，数形之间的化归是学生寻找解题思路最简单直接的方法.为培养学生的直观思维和数学核心素养，在数学解题教学中，教师可以采用数形化归的方法，以数探形，以形解数，让学生在化归分析过程中体会代数与几何之间的关系.

例如，教师可出示题目：

例2在平面直角坐标系XOY中，圆Ω与抛物线τ：y2=4x恰有一个公共点，且圆Ω与x轴相切于τ的焦点F，求圆Ω的半径.

图1

从以上解题过程来看，将问题化归与图形进行整合分析，有助于提高学生对问题的理解程度，同时可以简化解题过程.

教师还可出示这一题：

图2

以图形的方法进行求解，可以使复杂问题简单化，简化解题思路，使问题看起来更加直观形象.应用化归思想解题能提高学生的问题分析能力和学习能力，培养学生良好的数学思想.

从以上来看，在高中数学解题教学中，将代数问题与几何问题进行有机关联，渗透数形结合思想，对提高学生的解题能力、培养学生良好的思维品质和数学抽象素养及数学建模能力有积极意义.

(三)化归复杂与简单，培养学生的逻辑思维

在高中数学解题教学中，对计算题进行解题分析是提高学生思维能力和数学运算素养的关键.学生经常会遇到复杂的计算题，一些能力稍差的学生往往计算半天仍然算错.要想解决这一问题，教师可引导学生利用化归思想使复杂计算简单化，实现精、准、快地计算.

例如，教师可出示如下计算题：

在解题的时候，通过理解题意，可以看到此题涉及的角数量多，要想快速解答该题，就要化复杂为简单，减少角度的数量，尝试用一个角表示其他两个角，从而达到化归、统一的目标.同时，教师要让学生考虑如果拆分cos 15°=cos (7°+8°)是否能继续运算的问题.基于这一问题，教师引导学生精准化归角，得到：

=tan 15°

=tan(45°-30°)

在解题的时候，可以看到题中α，β为锐角，那么对应的cosα、cosβ、sinα、sinβ均为正数.要想简单地解决此题，教师可以引导学生将此问题化归为一个基本不等式：

在解题的时候，观察分析可知，此题角的数量较多，最简单的解题方法是减少角的个数.为此，在化归的时候，教师可以让学生根据上述解题经验，思考应该化归哪一个角.

如，可以令t=x+45°，将式子化简，从而得到：

t=x+45°，x+75°=t+30°,x+15°=t-30°.

这样就可以将三个角化归为t，简化计算过程，然后根据公式进行求解.这样既可以提高学生的计算素养，又可以培养学生的逻辑思维，提高学生的推理能力.同理，为训练学生的化归思想，在计算教学过程中，教师可以采用小组合作的方式，以化归思想的渗透为核心，开展小组pk赛，让学生对问题进行化归求解，以精、快、准为标准，最后答对多且用时少的小组为优胜方.教师给予对应的物质奖励.教师可将学生的计算表现纳入考核评价，分析学生对化归思想的掌握程度和应用能力，以便下一步工作的高效开展.

(四)化归特殊与一般，培养学生的分析能力

学生在学习中经常会遇到特殊问题，会感到束手无策.此时，教师可以从学生已知的知识入手，化归一般与特殊，在一般与特殊的转化分析过程中培养学生的分析能力，使问题有效解决.

例如，教师出示下面的问题：

对于以上填空题而言，在求解的时候，教师可以根据填空题的特点应用化归思想.当填空题的结论是唯一的或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，从而找到答案.如对于例7，很显然△ABC为等边三角形的时候符合题设条件，所以

对于例8，看到求解f(-2018)+f(-2017)+…+f(0)+f(1)+…+f(2019)的值时，教师可以引导学生想到求解f(x)+f(1-x)的值，从而得到：

所以f(0)+f(1)=1，f(-2018)+f(2019)=1，得到：

f(-2018)+f(-2017)+…+f(0)+f(1)+…+f(2019)=2019.

同理，这是将特殊化归为一般的问题，那么，对于不易解决的一般问题，教师也可以引导学生反其道而行，将一般化归为特殊，探寻解题路径.再如：

通过上述例题的化归分析，教师要引导学生从不同视角对数学问题进行分析探索，设计系列专题，让学生尝试对问题进行化归，提高学生利用化归思想解决问题的能力.

(五)化归正面与反面，培养学生的推理能力

对于一些高中数学问题，学生可以从条件出发，通过推理得到结论，也就是正面求解.但是有些问题从正面求解会很难，这个时候就教师要引导学生换个角度思考问题，从反面化归(类似反证求解)，对问题进行推理分析，从而培养学生的推理能力，提高学生的逻辑思维能力.

例如，教师出示以下问题：

通过阅读题干，可以看到题中出现了“总不为”这一关键词，在求解的时候，教师可以利用反面化归的方法.如：

由题意得g′(x)=3x2+(m+4)x-2，若g(x)在区间(t，3)上总为单调函数，则①g′(x)≥0，在(t，3)上恒成立；或者②g′(x)≤0，在(t，3)上恒成立.

例11已知集合A={x∈R|x2-4mx+2m+6=0}，B={x∈R|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围.

在解题时，可以看到A∩B≠∅，所以可以得知A是方程x2-4mx+2m+6=0的实数解组成的非空集，并且方程的根有三种情况：①两负根；②一负根和一零根；③一负根和一正根.如果分别求解,那么会非常麻烦，同时很容易造成解题失误.在此时，教师可以引导学生从反面考虑，采取正难则反的解题方法.

先由Δ≥0求出全集U，然后求方程的两根均为非负时m的取值范围，最后结合补集思想求解分析.化归思想使问题得到有效解决.

若方程x2-4mx+2m+6=0的两根x1，x2均为非负，则

所以使A∩B≠∅的实数m的取值范围为{m|m≤-1}.

教师通过正反化归思想的引导，提高学生的逆向思维能力和逻辑推理能力.这样既可以拓展学生看问题的视角，又可以为提高学生的解题能力打下坚实基础.同时，在此次化归思想引导学习的过程中，要想让学生能够学会运用反向视角思想问题，教师就要善于培养学生的独立思考能力，多训练学生的解题思路，使学生在解题的时候能够灵活运用化归思想，提高解题的质量.

三、结 语

在高中数学解题教学中应用化归思想，既可以提高学生的解题能力，又可以培养学生良好的数学思维品质，提高学生的数学核心素养.因此，在实践教学过程中，教师要重视化归思想的渗透，重视学生数学思维能力的培养，通过化归数形、化归复杂与简单、化归特殊与一般、化归正面与反面等，提高数学解题教学的质量，强化学生的解题效果.