信息化环境下几何画板在“旋转的特征”中的实践应用

◎冯丽梅 何巧玲

(四川师范大学数学科学学院，四川 成都 610068)

引 言

随着信息技术的发展和不断进步，数学工具逐渐从基础硬件向着操作软件转变，从物体表象向着直观信息传达转换.几何画板(The Geometer’s Sketchpad)自引入中国以来，便冲击着各个教学领域(数学、物理、化学等)的传统模式，尤其在数学教学中成为不可或缺的部分.从1996年人民教育出版社被正式授权发行几何画板中文版以来，几何画板极大地方便了数学教育及其他领域的教学工作.学术界对该工具的研究也呈现出了一定的热度，在当下信息技术高速发展的时期，我们需明确：“……对于教学软件的使用也讲究‘法’，其使用应以激发学生思考、探索为目的……”因此，对几何画板功的能进行分析和研究，可以为教师的教学和学生的学习提供更有效的帮助.本文运用几何画板对“旋转的特征”(华东师大版七年级下册第十章第三节)进行了教学分析，说明如何应用几何画板，以期解决几何教学中的普遍性问题.

一、几何画板简介

“几何画板是一种在平面几何教学、立体几何教学、代数教学、三角函数教学等中通用的教学工具.”其还被广泛运用于物理、化学及机电等课程的教学.作为画板工具的一种，几何画板是“以数学为根本，以点、线、圆为基本元素，通过对点、线、圆三种基本元素进行构造、变换、组合、度量、计算、动画、跟踪轨迹等构造较为复杂的平面图形，解决相关问题，以指导教学，提升学习效率”的工具，可实现动态抽象运动向静态简单推理、静态复杂固化向动态简易分解的过渡，使教学高效便捷.

二、几何画板的功能及特点

(一)高效实用的基本功能

绘图功能是几何画板最基本的功能之一，可以构造基本图形(点、线、圆等)，建立所需坐标系；变换功能可以使所选元素平移、旋转、缩放、反射、迭代等；动态演示功能是几何画板最重要的功能，可以使学生直观地看出图形在运动过程中的变化；隐藏/显示功能可以在同一位置放置不同元素，也可以将暂时不需要呈现的元素隐藏起来，在需要的时候将其显示出来；追踪功能可追踪点、线的运动轨迹并显示出来，将动态过程静态化，将抽象图形直观化；强大的计算功能可以科学地展示数值之间的联系；度量功能可充分、直观地显示平面图形的长度、距离、周长、圆周长、角度、面积、弧度角、比、点的值、坐标等的变化趋势，为探究性质提供便利，验证探究结论；显示功能可根据不同需求对不同对象设置粗细、颜色、标签等，使图形简单化、便于观察；制表功能可快速建立表格，生成所用数据，使学生易地发现其中的规律；绘制函数功能可在所建坐标系中将各类函数图像准确地描绘出来，还可在其中建立适当的参数观察图像(图像可随参数的变化而变化)，以探究函数图像的特征，促进学生的思维发展，体现数与形的完美统一.

(二)多样便捷的多重特点

几何画板在实际运用中具有的特点如下：(1)操作简单，学习便捷,使抽象问题直观化，降低学生学习的难度；(2)使动态问题静态化,推动学生探究问题，促进学生养成动静转换、静态推理的思维方式；(3)绘制函数图像精确化，培养学生数形结合的能力，突破教学中的抽象难点；(4)揭示数学本质，加强知识内部联系，促进学生掌握数学基础原理和方法；(5)完善教师的教学方式，使教学方法现代化；(6)转变学生的学习方式，培养学生的实践能力，激发学生的学习兴趣，提高学生灵活转换思维的能力.

三、几何画板在初中数学教学中的教学设计——以“探究旋转的特征”为例

有教师认为，将抽象的数学定理和规律进行可视化处理，可以提升课堂互动质量，培养学生的科学思维能力.平移、轴对称、旋转是图形的三大变换方式，其中旋转是较为复杂的一种变换，可与其他知识点结合起来进行综合考查，并在中考中占有很大的分值.数学课程标准(2011年版)明确指出：“探索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.”因此，帮助学生理解旋转的特征十分重要.

在传统教学中，教师引导学生认识两类旋转图形(旋转中心在图形上、旋转中心在图形外)的对应元素(对应点、对应线段、对应角)之后，可在原图形的基础上以如下方式探究旋转的特征.

图1

图2

观察图1与图2,你能发现有哪些线段相等?有哪些角相等?

我们可以看到,在图1中,线段OA,OB都是绕点O逆时针旋转45°到对应线段OA′,OB′,而且

OA=OA′,OB=OB′,AB=A′B′;

∠AOB=∠A′OB′,∠A=∠A′,∠B=∠B′.

在图2中,旋转中心是点O,点A,B,C都是绕点O逆时针旋转60°到对应点A′,B′,C′,而且

OA=OA′,OB=OB′,OC=OC′;

AB=A′B′，BC=B′C′,CA=C′A′;

∠CAB=∠C′A′B′，∠ABC=∠A′B′C′,∠BCA=∠B′C′A′.

在没有几何画板的情况下，学生只能通过观察课本上固有的图形，在脑海中构造图形的旋转过程，但这一过程对空间想象能力较弱的学生颇为困难.教师在教学过程中要照顾不同层次的学生并增加课堂学习的趣味性，因此可以借助几何画板这个数学工具来实现这一教学目的.

下面介绍几何画板在“探究旋转的特征”中的三个具体应用.

(一)运用动画功能引导学生提出猜想

教师可以用几何画板作出符合几何规律、本质的几何图形，将静态图形动态化，使学生在动态中感受恒定不变的几何事实.教师利用几何画板构造出图形的旋转，使得图中的点、线、面沿着预设的方向运动，呈现出动态效果，帮助学生猜想，激发学生的学习兴趣.

如图3，教师可利用几何画板的动画功能，点击旋转按钮，使△A′B′C′从初始位置(与△ABC重合)绕给定旋转中心点A或点O逆时针旋转.在此过程中，教师随时点击“旋转”按钮停止旋转，以便学生观察并提出恰当的猜想.

图3

(二)运用度量功能验证学生的猜想

在验证猜想时，教师可以让学生先使用常规工具(圆规、直尺、量角器等)绘图并测量.尺规画出的图形是静态的，尺规作图不便于学生发现一些几何规律、图形本质，而且学生容易出现测量误差，导致得出错误的结论.几何画板的度量功能可以精确测量指定的长度、角度等，并且可以随着图形的变化显示实时测量值，这极大地方便了课堂教学工作，使教师得到良好的教学效果.

如图4，教师可利用几何画板的度量功能直接量出各个旋转角的角度及各组对应点到旋转中心的距离，让学生直观感受数量之间的关系；随意拖动图形中的元素(点、线)，使学生明白等量关系不是偶然的，从而证实之前的猜想，使学生明确旋转的特征.

图4

(三)运用显示功能直观展示

由于图形中连线较多，学生可能不便理清思路，教师可利用几何画板中的颜色功能将各组对应点到旋转中心的连线用不同颜色表示出来，还可利用隐藏/显示功能将暂时不用的线段隐藏起来，在需要时显示出来.例如，如图5，证明∠AOA′=∠BOB′时，教师可将线段OC与线段OC′隐藏起来，以便学生观察.

图5

四、小结

综上，“任意拖动图形其几何关系不变”是几何画板的重要特点，也是使用率较高的应用功能.学生可以通过几何画板这一工具直观地观察图形，从而猜想并验证数学命题.教师可以通过几何画板培养学生的综合素质、探究能力、应用能力等.因此，在实现现代教育改革、打破传统教学模式的过程中，数学工具尤其软件工具发挥了极大的作用，对其的研究也将持续成为中学数学教学的热点话题.