初中数学中空间观念的培养与应用

◎曾志勇

(福建省福州屏东中学，福建 福州 350003)

数学是研究数量关系和空间形式的科学，具有较高的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性.空间观念是义务教育阶段数学学科核心素养的重要组成部分，是学生理解现实生活中空间物体的形态与结构、形成空间想象力的经验基础.学生通过概念的理解与解释、规则的选择与运用、问题的发现与解决等学习活动，经历操作、观察、想象、比较、综合、抽象分析等过程，形成认识空间物体或图形的形状、大小及位置关系的必备数学品格和数学关键能力.

一、初中数学中空间观念的培养与应用存在的问题

(一)脱离实际生活，忽视抽象经验的积累

数学学科具有高度的抽象性.空间观念的发展需要借助相关的空间知识素材，教师要引导学生根据物体特征抽象出几何图形，再根据几何图形想象出实际物体，并表达物体的空间方位和与其他事物的位置关系，感知并描述图形的运动和变化规律，进而运用空间观念来解决问题.空间观念与数学学习相伴而生，教师要创设“一以贯之”的学习情境，引导学生在认知过程中自觉地进行总结与归纳，从感性认识上升为理性认识，由形象思维发展为抽象思维.目前，在图形与几何的教学中，一些教师脱离生活实际，仅引用教材中的案例，不注重素材的选取与拓展，未通过创设学生熟知的生活、工作及学习的三维空间情境来引导学生观察与思考，忽视了学生抽象经验的积累，导致学生经验不足，无法有效地理解现实生活中空间物体的形态与结构.如在立体图形的教学中，一些教师仅用PPT或几何画板软件呈现部分现实生活中的物体，未展示生活中的实际物体.

(二)跨越知识基础，忽视逻辑认知的起点

数学学科具有严密的逻辑性.空间观念的发展需要借助几何作图，教师要引导学生根据数学知识的内在关系及描述作出符合题意的图形或根据题意通过推理作出图形，再现文字或符号语言所描述的图形运动与变化过程，有逻辑地思考.目前，在几何作图的教学过程中，一些教师不遵循学生的认知规律，将作图的相关知识直接在七年级下学期灌输给学生.如在未学习三角形全等知识时，一些教师将“五个基本作图”一次性灌输给学生，忽视了数学学习的逻辑起点，导致学生仅知其然、不知其所以然，无法有效感知图形运动的变化规律，为后续学习埋下隐患.在九年级学习“圆锥的侧面积与全面积”时，学生需要在二维和三维之间来回切换思维，即根据立体图形画三视图，或者根据三视图还原平面图形.部分学生无法深入理解平面图形(扇形)与立体图形(圆锥)之间的关系，空间观念薄弱.

(三)缺乏问题意识，忽视广泛的应用范围

数学学科具有广泛的应用性.空间观念的发展需要学生具有良好的问题意识，并能基于问题、结合条件进行大胆联想，寻找解决问题的方法.数学空间观念的运用是训练学生数学思维的重要方式之一.目前，一些教师不注重结合学生熟悉的事物来启发学生思考，不注重将教学内容与现实生活广泛联系，缺乏问题意识，不注重分析，忽视扩大应用范围，不能有效培养学生的创新思维能力.如在问题解决过程中，学生面对需要用多个知识点或多个步骤来分析的题目时，往往不能找到正确的思路与方法，甚至不知所措，导致解题的正确率不高.此外，在教学过程中，部分教师只注重基本知识、基本技能的教学，不注重数学思想的渗透，没有结合图形进行分析，因此学生无法理解蕴含于图形中的数学思想，导致学习不得要领，无法有效解决问题.

二、初中数学中空间观念的培养与应用

(一)整体把握课程，培养空间观念

图形与几何是义务教育阶段数学学习的重要内容，是培养学生空间观念的重要载体.初中阶段的图形与几何教学内容包括图形的性质、图形的变化和图形坐标三大类，学生在小学图形与几何的学习基础上进一步学习点、线、面、角、三角形、多边形和圆等几何图形，从演绎证明、运动变化、量化分析三个方面研究图形的基本性质和相互关系，从知识结构化的角度发展空间观念.因此，教师必须对空间观念进行整体的把握与认识，树立空间观念意识，多与学生进行互动，通过课堂教学、布置作业和随堂检测等方式培养学生的空间观念，对学生日常训练进行精心设计，改变传统教学模式，通过调查了解学生在发展空间观念的过程中遇到的问题，及时提供帮助并多鼓励与肯定学生.如在三角形教学中，教师可从不同角度把握课程，进而开展教学(如现实背景→三角形概念→三角形表示→三角形性质→全等三角形→特殊三角形)，定性研究各要素之间的位置关系，定量研究各要素之间的数量关系等，引导学生从学结构发展到用结构，进而发展空间观念.

(二)引入空间素材，培养空间观念

空间观念贯穿整个义务教育阶段的数学学习，从某种意义上说，一个人空间观念的形成离不开自身经验的积累，经验的积累离不开问题的广泛涉猎.因此，在教学中，教师要引入现实生活中丰富的空间素材，将现实素材融入课堂教学中，创设数学教学情境，使教学更直观，以便学生理解.如，在九年级学习投影时，学生观察一天当中电线杆影子的不同位置，结合方位知识，形成空间观念，并用空间观念分析、解决问题.

此外，教师要注重借助现代信息技术优化教学，为学生空间观念的培养创造良好条件.如对于物体三视图的展示，若教师在黑板上画出，则图形会缺乏生动性，因此教师可利用多媒体进行动态呈现，使学生从不同角度观察.同时，教师可设计相关习题，促进学生在发现问题、分析问题和解决问题的过程中发展空间观念.

(三)强化概念理解，培养空间观念

概念是对某一类事物特征及属性进行的概括与总结，教师应掌握概念的内涵、外延及与空间观念的关系.初中数学教学中的空间观念知识是丰富与复杂的，教师可以启发学生通过想象将概念和实物联系起来，帮助学生形成空间观念,引导学生利用空间观念解题.如教学三视图时，当学生理解了主视图、左视图及俯视图的概念后，教师可以通过具体习题帮助学生巩固与内化空间观念，并且对三视图概念进行深入挖掘，让学生明确三者之间的本质联系.教师还可引导学生动手绘制三视图，对三视图进行深入理解,通过应用三视图发展空间观念.

(四)强化作图操作，培养空间观念

作图训练可以提高学生的操作能力及思考能力.实际上，数学教学不仅是教师向学生讲授知识的过程，还是学生主动学习知识与提升数学能力的过程.学生作图的能力在一定程度上反映了其空间想象能力.如大多数学生通过想象可以把三视图的形状用语言描述出来，但在做题或考试时会出现这样或那样的错误.主要原因是一些学生在作图时不用尺子，操作不规范，影响了空间观念的形成.初中学生正处于由形象思维向抽象思维过渡的时期，进一步发展学生的抽象思维离不开教师的引导与帮助.教师要进行精确的示范，培养学生良好的作图习惯，进而发展学生的空间观念.学生规范作图，才能准确提高自己的空间观念.因此，教师在教学过程中要规范学生的作图步骤，提高学生解题的条理性.一些学生在解题时存在作图不规范的问题，常在一些细小的环节上出现错误，解答问题时思维混乱.教师要重视这些问题，提高学生的思维能力，促进学生形成空间观念.

例如，如图1，BD是矩形ABCD的对角线.

(1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；

(2)在(1)的条件下，如图2，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F.若直线CF与⊙A相切于点G，求tan∠ADB的值.

本题以直角三角形、特殊平行四边形、圆为背景，设置问题情境，考查尺规作图.教师要引导学生通过逻辑推理将未知的问题转化已知的知识，利用圆的相关性质作图.教师要注意发展学生的运算能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学素养.

图1

图2

(五)引导问题解决，培养空间观念

学生用什么方法解决问题在一定程度上体现了学生的数学思维.在数学教学中，教师要结合现实生活对学生进行引导，让学生结合生活中的事物进行想象分析，建立数学概念，更好地运用空间观念解决问题，这也是对学生的变通能力、创新能力的考验.在具体的教学过程中，教师可以引导学生尝试一题多解、多题一解，培养学生分析问题的能力，使学生逐步形成解题思路.学生对题意的理解程度是学生正确解题的关键.在分析题意的过程中，学生要了解题目的已知条件与隐含条件，思考如何用这些条件解题.教师要给予点拨与引导，帮助学生理清条件间的逻辑关系，渗透数学思想方法，培养学生的空间观念，引导学生利用空间观念解决问题.

(1)当点B，C，D三点不共线时，则BD+BC>DG；

(2)当点B，C，D三点共线时，则BD+BC=DG.

图3

总之，学生空间观念的培养应该贯穿初中数学教学的始终，教师要将其作为数学教学的重点，充分利用空间素材促进学生空间观念的形成;注重数学思想方法的渗透，让学生在概念学习过程中形成空间观念;尊重学生的认知规律，以空间观念的培养为切入点，提高学生的数学综合能力.