形式与本质：两步计算的混合运算表示什么

宋新霞 （山东省诸城市实验小学）

在我们身边发生的各种生活现象、自然现象、社会现象，在表示各种现象的过程中，数学知识就产生了。从这个角度上看，某些数学知识是数学研究、数学表达的结果。指导小学生学习这些数学知识，要让他们看到表达什么，并让他们模拟知识探究的过程，这对于准确地理解知识非常重要。

昨天，听了三年级一位老师讲两步计算的混合运算练习课，很受启发。做计算题时，老师要求学生先读算式，并反复强调：“把主干读出来。”老师说的“主干”指什么呢？是算式中表示重点运算、易错步骤的关键字词。比如算式（86-32）÷9，读作：86与32的差除以9，“差”是主干，要重读；算式8×（34+23）读作：8乘34与23的和，“和”是主干，要重读。读题时，让学生使用重音，把运算步骤读出来，就是把运算的逻辑读出来，把算式表达的意义读出来。我觉得，这种方法对于孩子分析和理解题意很有用。但是，我认为，就以上两个算式来说，“差”“和”所表示的并不是运算的“主干”，这个算式的运算“主干”是“除以”和“乘”。

弄清两步混合运算式的主干，要从其本质（即意义）来分析。孩子们已经知道，（86-32）÷9被叫作混合运算。那么，混合运算式（86-32）÷9与8×（34+23）表示的意义是什么呢？我觉得，要弄明白这个问题，必须要让孩子明确，这两个算式作为一个结果，最初要表示什么、最终要求什么。在研究这部分知识的情境问题时孩子们就知道了，（86-32）÷9这样的算式是用来表示平均分的，8×（34+23）是用来表示几个相同加数的累加的。那么，（86-32）÷9这个含有减法和除法的混合算式，在本质上就仍然是除法，而不是减法；8×（34+23）这个含有加法和乘法的混合算式，本质上仍然是乘法，而不是加法。算式的计算步骤也很好地对应了这一本质，（86-32）÷9的最后一步是除法，8×（34+23）的最后一步是乘法，说明最终求的是平均分、相同加数的累加。

从构成来看，两步计算混合算式跟一步计算乘除法所含有的要素相同，（86-32）÷9也是由被除数、除号、除数组成的，8×（34+23）也是由因数、乘号、因数组成的。区别在于书写形式有不一样之处，一步计算除法和乘法的每个部分都是数或符号，而两步计算混合运算有一个部分是算式。这种区别恰恰表明了两步计算混合运算的本质是表示一个需要两步完成的任务。所以，两步计算的混合运算，本质仍然是加、减、乘、除运算，只不过，它的两个加数、两个因数、被减数、减数、被除数、除数中有一个或两个是用算式表示的，这个算式表示需要完成的第一步任务，在计算时，要先把用算式表示的那个加数、因数、被减数、减数、被除数或除数计算出来，为了能够把这个用算式表示的部分先算出来，有时需要用到一个特殊的符号：（ ）。

根据以上分析，孩子们就会知道，两步计算混合运算的主体运算，是由它最初要表示的意义决定的，从计算的过程来看则体现在它的最后一步运算上。

因为（86-32）÷9的主干运算是除法、8×（34+23）的主干运算是乘法，孩子一定要把观察的重点放在除号和乘号上，据此判断这是个除法算式、乘法算式，表示最终完成的任务是平均分或累加，读题的时候，把“除以”和“乘”重读；然后再观察被除数、除数、两个因数中哪一个是算式，判断这是首先要完成的任务，要把这个算式的运算符号重读。

总之，两步计算的混合运算，其本质仍然是加、减、乘、除运算，表示最终要完成的任务，与一步加减乘除运算的区别是算式中有一部分或两部分是一个算式，表示在完成最终的任务之前，先要完成这个任务。混合，表示的是其书写形式；先算非主干运算，再算主干运算的运算顺序，表示做事的先后顺序；一个任务，需要用两步完成，则是算式的本质。