以“阅读理解”讲授“弧度制”的初体验

华南师范大学附属中学(510630)申西芬

1 背景

1.1 数学阅读能力的重要性

根据近几年对高考数学试题的研究发现,高考中数学试题的文字量逐年上升,而且这种阅读量还有继续上升的趋势.学生刚接触问题,阅读理解能力起首要作用,而对于数学试题中的阅读,可以分为三个层次,第一层就是基本阅读能力,第二层是阅读中能提炼出要考察的数学问题、数学思想,第三层,是利用所学知识思考出如何解决问题.但事实上,学生在阅读试题时,功利心驱使,普遍浅层阅读,过度或者只关注数字,忽略文字中隐藏的一些关键词,信息点,分析技能薄弱,从而无法透彻理解数学本质,故而在前两关就被击败了,导致在数学考试中不只是因为数学知识掌握不足更多是因为阅读中思考不深入而失分,令人十分惋惜! 数学阅读能力——这个体现学生素质的重要指标不容忽视,在教学中要为学生营造良好的阅读氛围.

1.2 数学知识的来龙去脉的缺席

每一个纳入教材的数学知识不是为了逻辑结构杜撰而来,都是有其客观的发生发展的历程.在数学教学中,教师希望能给学生讲清楚一个知识点的由来和它为什么会出现教材的这个位置,也就是常会遇到两类不同的“为什么”? 一类是“逻辑上的为什么”,另一类则是“历史上的为什么”.由于高考的压力,高中的日常教学中,更多是讲逻辑,讲做题方法技巧,即使是数学概念教学,也多数停留在“逻辑上的为什么”.HPM 研究表明,数学史对于学生的数学学习和教师的专业发展都有着重要的促进作用,笔者设想以材料阅读代替教师叙述的方式让数学史走进课堂,能营造出不一样的课堂.

1.3 以往授课方式和教学效果的启示

本案例涉及的这一概念课——“弧度制”,是人教A 版(2017)高中数学必修一第五章“三角函数”第一节“任意角的三角函数”第二课时,从单元结构来看,如图1,“弧度制”在“任意角”之后,“任意角的三角函数”之前,承上启下,为三角函数后续的学习和研究做足了准备,但是以往这一块知识学完之后,学生仅仅记住一个角度制与弧度制的换算公式,体验到弧度制带来的便利但却不能掌握这个知识的发生发展过程,以及前人在研究过程中所蕴含的数学思维、学习毅力.

图1 三角函数知识架构

2 教学过程片段

基于以上四点考虑,笔者选择了4 段数学历史材料,设置了如图2 的授课流程,尝试以“自主阅读+问题串”的组合方式来完成“弧度制”这一教学内容,

设计是分五个环节,环节一是回顾圆周角,引出角度制,阅读史料1,启发学生思考角的多种度量方式,环节二是阅读史料2,探究弧度制的发展过程,阅读史料3 和4,理解弧度制下用半径度量弧长的度量本质,环节三则是弧度制与角度制的关系,弧度与角度的互化,环节四就是弧度制下扇形弧长与面积公式的推导与应用,环节五则是小结和作业布置.教学设计中是利用环节一和环节二生成概念.环节三实现公式互化,环节四和五实现应用.

图2 “弧度制”授课流程

在实际教学中,因为学生有提前预习过课本,因此在环节一、三、四、五都很顺利,但是在环节二:探究弧度制发展过程,理解弧度制度量本质,却有意外发现.这一环节的基本设想是,学生自主阅读材料2,思考并回答问题,具体内容如下:

材料2公元6世纪,印度数学家、天文学家阿耶颇多(公元476-550),以固定的圆作为研究对象,他将圆周等分为21600 份,每一份为记为1′,读作1 分,由于他计算出圆周和直径的比约为3.1416:1,因此他计算出半径等于.

教师尝试在问题没有指向性的情况下,学生如何阅读和思考? 设计第一次提出问题1:从材料中能得到哪些信息? 学生回答主要以下两点:一是当时的圆周率已经算到3.1416;二是阿耶婆多跟巴比伦人一样将圆周分成60 份,每一份再分60 份,然后每一份再分60 份.

这确实是材料中直接呈现和可以推理出的信息,但是它不不够深入.然后追问“还有别的发现吗? ”,没有学生给出相关的正面回答.这就说明在问题设置指向性不够明确的情况下,学生是不知道如何深度理解材料,更不知道老师教师想问什么或者想知道什么.于是开始采用第二种问法:

问题2:材料中阿耶颇多度量半径时用所用的度量单位是什么?

追问1:换一个圆,材料中1′会有不同的意义吗?

追问2:那它对应的圆心角的大小是一样吗?

学生:一样.

追问3:根据材料你能用半径反过来表示1′吗?

追问4:换一个圆,上式还成立吗?

学生:成立.

追问5:你能得出什么结论吗?

追问6:那长度等于半径的弧对应的圆心角是多少呢?

学生:1.

课堂进行到这里,已经呈现了本节课的高潮,同学们发现不可思议的是,角居然可以用一个实数表示,然后大家继续阅读了教师播放的阅读材料3:即:1748年,伟大的数学家欧拉在《无穷小分析引论》一书中提出把圆的半径作为弧长的度量单位,使一个圆周角等于2π弧度,1 弧度等于圆周角的.至此,本节课的核心概念就完成了.

3 教学效果

3.1 学生表现

在整个教学过程中,学生表现得很认真,除了第一次回答材料2 时有点茫然,其他时候都能认真思考问题,有针对性的从材料中捕捉信息,深刻解读.课堂练习以及课后作业也都能高质量得完成.

3.2 学生反馈

不少提前预习的同学会感慨,原以为只是一个转换公式的记忆和使用,没想到弧度制的产生如此曲折有趣,相比于枯燥去记忆,这样的课堂生动多了,让自己对数学知识的认识更加立体了,而且数学课做阅读理解,特别不一样的体验.

3.3 教师反馈

相比于直接给出弧度制的概念,虽然会占用较多的时间来生成概念,但是课后学生的记忆是深刻的,心理上是满足的.事先安排好的设想都能实现,教学内容得以顺利完成,整个课程目标落地,主线清晰.

4 启示

“弧度制”这节课其实更像是一节试验课,所有的学生都是观察对象,教师带着自己的设想,试验目标来完成的一次尝试.整体效果比较满意,但还是有几点启示:

(1)关于问题设置:第一，当提出的问题大多数学生不能回答时,教师要思考是否自己提出的问题指向性是否不够明确? 教师要及时调整,拆分问题,使问题具体化、明确化.第二,要考虑是否是难度太大,应该进行怎样的调整以适合学生的认知水平.要实时降低问题难度,找到符合学生认知水平的切入口提问,设置问题要螺旋式上升,要循序渐进,让学生有思考的基础.第三,要多思考每一个问题可能面临是什么? 要站在学生的角度去思考问题,可以类比,比较等等,启发学生沿着正确的方向思考.第四,课堂上遇到突发情况,学生质疑情况,要保持冷静,快速询问或思考问题症结,并有效解决,第五,教师要自己把知识融会贯通,自己形成问题串的思维,并要反复推演打磨,并要预设学生回答不出时的应对策略.

(2)关于阅读史实材料:数学史的融入,让学生能够更客观的认识数学的发展,揭示数学文化价值,感受思考的重要性,提升数学学习的兴趣.但是引入时要注意以下几点,一内容要与教学内容直接相关,二是要注意符合新课标的价值要求,三是材料可以整合,但一定要确保准确性.

(3)关于数学阅读能力.通过这次课堂的观察发现,学生对材料阅读的理解能力欠缺的一个很重要的原因就是:不会主动深入思考,深层的信息捕捉要靠问题推动,没有问题引领学生就没有方向性,课堂上发现日常会问问题的学生这次表现更出彩,这也为教师后期的教学尝试提出一个可思考的方向——如何让学生学会发问.

(4)关于概念教学.部分学生之所以觉得学习数学很困难,概念认识不够清晰往往是深层次原因,这样就不能熟练地对数学概念进行理解、应用和转化等.因此,抓好概念教学,理清来龙去脉,对提高普通中学数学教学质量具有根本性的意义.