一类广义的Hilbert型奇异积分算子

陈广生，丁宣浩

（1．广西现代职业技术学院 建筑与信息工程系，广西 河池 547000；2.重庆工商大学 数学与统计学院,重庆400067）

一类广义的Hilbert型奇异积分算子

陈广生1，丁宣浩2

（1．广西现代职业技术学院 建筑与信息工程系，广西 河池 547000；2.重庆工商大学 数学与统计学院,重庆400067）

在区间（0，b）上,建立了一类广义的带参数的Hi l ber t型奇异积分算子T，研究了它的有界性和范数问题。作为应用，还考虑其涉及内积的等价形式。

Hi l ber t型奇异积分算子；Hi l ber t型不等式；算子范数；内积；H l de r不等式

1 引言

式（1）和（2）的常数因子都是最佳值。当λ=0时，式（1）变为著名的Hardy-Hilbert积分不等式[2]。它在分析学中有重要的应用[3]．近年来，Hilbert算子及相关不等式的研究已取得许多有价值的成果[4-12]。

本文的目的是在区间(0,b)上，引入一个广义的Hilbert型奇异积分算子T，并讨论其范数问题．作为应用，给出其等价式及一些相关不等式．

2 主要结果

引入两个独立参数λ，μ,建立如下的积分线性算子T：

对于给定的可测函数ω(x)≥0及P＞1，定义下面的函数集：

则有

证 作变换u=y/x，则有

证：作变换u=x/y，根据A2P+A1P=2+λ-μ，则有

（2）当A2P+A1q=2+λ-μ时，算子T具有范数

由引理1得

因此式（9）成立.

下面证明式（10）成立.

于是有

故有

再由引理2得

众所周知,孕产期的准妈妈们情绪变化较大,较之以往则会更加敏感多思,且由于对分娩方面知识缺乏足够的认识,加上临床护理中的护理工作人员往往会忽视孕产妇的孕期健康教育,这就导致了孕妇在怀孕期间产生不良心理情绪的概率加大,并有可能做出一些对孕妇自身和胎儿的健康早产不良后果的举动。这就使得孕妇的自然生产率降低,引发并发症。针对这一情况,研究人员曾多次进行研究,得出的结论是,孕期健康教育有助于孕妇对生产的正确认识,调节孕妇的不良情绪,摆正孕妇的心态,加大孕妇顺利生产的成功率。因此,本文就孕期健康教育在妇产护理中的临床意义及价值评价进行研究。

3 一些应用

设f(x)，g(x)为(0,b)上的非负可测函数，定义f与g的内积为：

当A2P+A1q=2+λ-μ时，有

因此式（11）成立.

由式（11）可导出式（9），故式（11）与（9）等价.当A2p+A1p=2+λ-μ时，（12）与（10）等价.由此可知（12）成立，且常数因子为最佳的.

证 在定理1和推论1中，取A1=A2=A，便可得到（13）和（14）.

[1]杨必成.一个Hilbert型积分不等式[J].浙江大学学报：理学版,2007,34(2):121-124.

[2]Hardy G H.Littlewood JE．Polya G．Inequalities[M]．Cambridge：Cambridge Urav．Press．1952．

[3]Mitrinovic D S，Pecaric J E，Fink A M．Inequalities involving functions and their integrals and derivatives[M]．Boston：Kluwer Academic Publishers，l991．

[4]Xie Z T，Zeng Z．A Hilbert-type integral inequality whose kernel is a homogeneous form of degree—3[J]．Math AnalAppl，2008 (339)：324-331．

[5]杨必成．关于一个推广的具有最佳常数因子的Hilbert类不等式及其应用[J]．数学研究与评论，2005，25(2)：341-346.

[6]洪勇．一个新的Hilbert重积分不等式[J]．西南师范大学学报：自然科学版，2005，30(4)：594-599．

[7]Yang Bicheng．On the Norm of an Integral Operator and Application[J]．JMath Anal Appl，2006，321(1)：182-192．

[8]洪勇．关于Hardy-Hilbert积分不等式的全方位推广[J]．数学学报，2001，44(4)：619-626．

[9]洪勇.一个Hilbert型奇异积分算子的范数及应用 [J].浙江大学学报：理学版，2011，38（1）：27-30.

[10]匡继昌．常用不等式[M]．济南：山东科学技术出版社，2004.

[11]陈广生,丁宣浩.一个多参数的逆向Hilbert型不等式.西南师范大学学报.2010,35(5)：32-39.

[12]陈广生,丁宣浩.一个新的Hilbert型积分不等式[J].重庆师范大学学报，2011，28（1）：37-39.

[责任编辑：桂传友]

A General Hilbert's Type Singular Integral Operator

Chen Guangsheng1，Ding Xuanhao2
(1.Departmentof Architecture and Information Engineering,GuangxiModern Vocational Technology College,Hechi,Guangxi, 547000;2.College ofMathematics and Statistics,Chongqing Technology and Business University,Chong Qing,400067)

with establishment of a Hilbert type singular multiple integal operator with parameters in（0，b），the paper conducts study of the boundedness and norm of T,and discusses,as their applications，the equivalent formswith inner product．

Hilbert’s Type Singular Integral Operator；Hilbert’s Type Inequality；Norm of Operator;Inner Product；H lder’s Inequality

O178

A

1674-1104(2013)06-0033-04

2013-05-01

国家自然科学基金资助项目（11271388）；广西教育厅科研项目(201204LX672)。

陈广生（1979－），男，广西北流人，广西现代职业技术学院建筑与信息工程系副教授，硕士，主要从事解析不等式、小波分析和热辐射研究。