一类非线性椭圆型方程边值问题的可解性

赵舵舵，钟金标，周 恺，张 永

（1.池州学院 数学与计算机科学系，安徽 池州247000；2.安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆246133）

一类非线性椭圆型方程边值问题的可解性

赵舵舵1，钟金标2，周 恺1，张 永1

（1.池州学院 数学与计算机科学系，安徽 池州247000；2.安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆246133）

文章利用变分法、山路引理对一类非线性型椭圆方程的解做了研究，将Di r i chl et边值问题的有关结论推广到Neumann边值问题上，得到了一个至少有两个不同的非平凡解的存在条件。

正解；山路引理；PS条件；极小作用原理；Neumann边值问题

最近几年来，非线性椭圆方程的Dirichlet边值问题在生物学、生态学等领域得到广泛的应用，因而引起了许多数学工作者对这类问题研究的极大兴趣，将 Dirichlet边值问题的有关结论推广到Neumann边值问题，主要考虑下面的Neumann边值问题：

这里Ω是RN中的有界光滑区域，Ω具C1,1-有正则性，ν=(ν1,ν1,…，νn)是Ω的外法向单位向量。f(x,u),g(x,u)满足：

(H1)：存在0＜r≤1，使得对任意的正数M，有：f(x,u)

(H2)：当N≤2时存在p,q，当N≥3时存在正数p＜

(H5)：存在常数μ＞2及r＞0，使得

1 预备知识

引理 1[1]：在 H2～H5条件下，非线性椭圆方程Neumann问题在W1，2(Ω)中存在正解u，即存在u＞0，且满足：

的解，即可以转化为泛函问题的临界点：

引理2[2]：在H2,H3条件下，若{un}是E=W1,2(Ω)中的有界序列，且满足条件：当在中时，在E*中，n=1,2,3…则{un}是E中的准紧集.

引理3[2]：在（H2），（H3），（H5）条件下，满足条件在E*中，当的每一序列{un}在E中均为列紧集，即泛函I(u)满足P-S条件.

引理4[2]：设I∈C1(E,R)，如果I有下界,且满足P-S条件，则是I的一个临界值.

2 主要结论

定理 1：若满足条件 H1,H3,H4，则存在正数 λ0，使得Laplace算子的非线性特征问题：

至少有两个不同的非平凡解。

证明：第一步：由极值原理知识得到一个解

由条件H4及的连续性知，存在a＞0，使得

根据题意可知：

对于任意取定的λ，设{um}E且{I(um)}有界，即存在正数M，使得|I(um)|≤M,m=1,2,3…

即{um}在E中有界，因此根据引理3知，泛函I(u)满足P-S条件，再由(3)式有：

即泛函I(u)在E中有下界，因此根据引理4知I(u)有临界点uλ，使得上式表明，uλ是算子非线性特征值问题在W1，20（Ω）中的弱解。

下面来验证uλ不是平凡解，任意取函数,使得,则由条件(H4)知

由嵌入定理和条件(H3)可以知道，存在C1＞0,C2＞0,C3＞0,C4＞0,使得：

又由条件(H2),(H3)可知，对任意的ε＞0，存在A1(ε)＞0, A2(ε)＞0使得：

所以由(2)式可知：

第二步：由山路引理[2]求出另一个解

当||u||=ρ时

任意取k=min(p,q),ρ＜1，由(H2),(H3)可知p＞1,q＞1,则当||u||≤ρ时，

(Ⅱ)：由第一步知道uλ满足下面这两个式子：

(Ⅲ)由引理2，引理3可知，泛函I(u)满足P-S条件.

通过(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)的证明，山路引理的条件全部满足，并记,则C≥β且C是I(u)的临界值,于是问题(1)的正解是存在的.

由第一步和第二步可以知道问题(1)在满足H1, H3,H4,条件下有两个非平凡的解.

定理2：若条件(H6)成立，则问题(1)最多只有一个解。

证明：设u1,u2为问题(1)的两个解，则

可以得到：

根据条件得到，证毕。

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[责任编辑：桂传友]

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1674-1104(2013)06-0037-03

2013-09-21

池州学院研究生引进启动项目（2011RC037）；池州学院自然科学重点研究项目 （2013ZRZ002）。

赵舵舵（1983-），男，安徽安庆人，池州学院数学与计算机科学系教师，硕士,研究方向为偏微分方程。