谈谈动态平衡中那些不变的力

(南京市第二十九中学，江苏 南京 210036)

共点力平衡问题是高考的热点，尤其是动态平衡问题.所谓“动态”即有力在变，所谓“平衡”即在变化的整个过程中物体受到的所有力的合力为零，这样的状态我们也称为准静态.也就是无限接近静止状态，其实可以当成静止来处理.动态平衡问题通常会出现“缓慢”、“慢慢”、“逐渐”等典型的表述，抓住这些字眼然后结合题意进一步分析.我们发现在共点力动态平衡问题中，有这么一类题，条件在发生变化，物体也在缓慢移动.从表面看在动，其实各力的大小和方向都保持不变.这样的题有什么样的特征，用到哪些知识，应该如何分析，就让我们一起来探讨吧.

1 问题的由来

通过下面的例题，我们希望找到这类题所遵循的共同规律，达到做一题会一类的效果.

例1 如图1所示，晾晒衣服的绳子两端分别固定在两根竖直杆上的A、B两点，绳子的质量及绳与衣架挂钩间摩擦均忽略不计，衣服处于静止状态．如果保持绳子A端在杆上位置不变且绳长也不变，将B端在杆上分别移动到不同的位置．下列判断正确的是( ).

图1

A．B端移到B1位置时，绳子张力不变

B．B端移到B2位置时，绳子张力变小

C．绳对挂钩的弹力变小

D．绳对挂钩的弹力不变

图2

分析：对挂钩进行受力分析，如图2所示，受竖直向下的拉力FT(大小等于衣服的重力G)、沿绳的拉力FT1和FT2.由于是光滑的挂钩挂在绳子上，而同一根绳子上的拉力相等，即FT1=FT2.又因为衣服处于静止状态，FT1和FT2的合力与FT等大反向.所以FT1和FT2的合力方向竖直向上，那么绳OA和OB与竖直方向的夹角相等都为θ.且有2FT1cosθ=mg.

图3

设绳子的长度为L，两杆间的距离为d，那么延长AO交另一杆于D点，如图3所示，由几何关系易得OB等于OD，那么AD就等于绳长L.所以sinθ=d/L.那么在保证A点不动的情况下将B点移动到B1或B2，绳长不发生变化，即θ不变，所以绳中拉力不变.移动后的图形如图4所示.答案为A、D.

图4

通过上面的分析我们发现，无论B点在杆上怎么移动，只要保证L和d不变，那么θ角就不变，两力的夹角不变，两力的合力也不变，那么这两个力必然不变.

2 问题的探究

当然，我们不必满足于B点在杆上移动的情况，其实掌握上面的规律，B点无论移动到哪里我们都可以很快的给出答案，不妨来看下面例题.

图5

例2 如图5所示，晾晒衣服的绳子轻且光滑，悬挂衣服的衣架的挂钩也是光滑的，轻绳两端分别固定在两根竖直杆上的A、B两点，衣服处于静止状态．如果保持绳子A端位置不变，将B端分别移动到不同的位置．下列判断正确的是( ).

A．B端移到B1位置时，绳子张力变大

B．B端移到B2位置时，绳子张力变小

C．B端在杆上位置不动，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变大

D．B端在杆上位置不动，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变小

分析：在上题的基础上，在杆上移动B点不改变θ角，很快判断A和B都是错的.将杆移动到图中虚线位置，那么d变小，而L不变，则根据sinθ=d/L得θ角变小.再根据力的合成规律，两个大小相等的力保持合力不变，减小两个力的夹角，那么这两个力都变小.可以判断D正确.

图6

这让我们想到两个小孩提一桶水，怎样提最省力.无论两小孩手臂之间的夹角多大，水的总重力是一定的，即两个小孩对水的拉力的合力是个定值，所以在夹角变小时拉力变小.可以从图示中直观的得出这个结论，如图6所示，在对角线不变的情况下，两临边夹角越小，这两个边越小，即分力越小.

例3 在上海世博会最佳实践区，江苏城市案例馆中穹形门窗充满了浓郁的地域风情和人文特色．如图7所示，在竖直放置的穹形光滑支架上，一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑滑轮悬挂一重物G．现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近(C点与A点等高)．则绳中拉力大小变化的情况是( ).

A．先变小后变大

B．先变小后不变

C．先变大后不变

D．先变大后变小

分析：当绳子的右端从B点移动到支架右侧圆心等高处的过程中，绳子和竖直方向的夹角θ在不断变大，所以绳中的拉力也随之增大.再往下移到C点的过程中，θ角不变，所以绳中拉力不发生变化.所以绳中拉力大小变化的情况是先变大后不变．故选C.

掌握了这其中的规律，知道绳子端点的移动导致的绳子和竖直方向的夹角变化情况，竖直移动夹角不变，水平靠近夹角变小，水平远离夹角变大.再根据力的合成的知识，在合力不变的情况下，两等大的分力的大小随夹角的变大而变大、变小而变小.这样一来，做这类题就觉得很轻松了.

图8

例4 如图8甲所示，将一条轻而柔软的细绳一端拴在天花板上的A点，另一端拴在竖直墙上的B点，A和B到O点的距离相等，绳的长度是OA的两倍．图8乙所示为一质量可忽略的动滑轮K，动滑轮下端悬挂一质量为m的重物．一切摩擦可忽略．

(1)现将动滑轮和重物一起挂到细绳上，在达到平衡时，绳所受的拉力是多大？

(2)保持A点固定不动，将B点逐渐上移至O点，绳子的拉力如何变化？

(3)保持A点固定不动，将B点逐渐上移至C点，绳子的拉力如何变化？

图9

分析：(1)画出动滑轮和物体达到平衡时的受力图(如图9)．由于滑轮是挂到绳上的，AB仍为一条绳，因此绳各处的张力大小相等．

(2)保持A点固定不动，将B点逐渐上移至O点，两绳与竖直方向的夹角不变，所以绳子拉力不变.

3 问题的一般意义

要能够真正掌握这类题的规律，还得学会去分析问题最本质的东西.不能肤浅的认为水平移动θ角就变化.最本质的是力的合成的知识和共点力平衡的条件.

例5 如图10所示，A、B两物体的质量分别为mA、mB，且mA>mB，整个系统处于静止状态.滑轮的质量和一切摩擦均不计，如果绳一端由Q点缓慢地向左移到P点，整个系统重新平衡后，物体A的高度和两滑轮间绳与水平方向的夹角θ的变化情况是( ).

图10

A．物体A的高度升高

B．物体A的高度降低

C．θ角不变

D．θ角变小

分析：由于Q点在缓慢移动，所以系统始终处于平衡状态.对A分析可知，绳中的拉力FT大小始终为mAg.对B分析，由力的平衡可得2Fsinθ=mBg，故θ角不变.又因悬点由Q移动到P，左侧部分绳子变长，如图11所示，故A应升高.所以A、C正确.

图11

这道题看上去悬点在水平移动，但和前面的题是不同的.通过对A的分析可知绳中的拉力始终不变，这样就可以从力不变推知夹角不变，和前面的由夹角不变推知力不变刚好相反.题目是千变万化的，但所考察的知识和规律是相对固定的，只有掌握了其中的解题方法才能以不变应万变.

参考文献：

蒋亚林 .力学动态平衡问题解法指导 . 中学物理, 2014,32(1) .

吴含章 .力学动态平衡问题的解法类析 .新高考：高一物理，2013，(5) .