浅析高中数学中的三角函数变换

张梦瑶

【摘 要】高中数学三角函数因其变换的种类较多、方法灵活多样，要想完全掌握具有一定的难度。但是其基本规律却相对固定，因而，掌握三角函数变换的基本规律并与实际运用相结合，对三角函数的教与学具有重要意义。本文主要对高中数学中三角函数的变换常见类型以及其相应的几种解题方法进行了初步分析，以期为高中数学三角函数的教与学提供参考。

【关键词】高中数学;三角函数变换;解题方法

三角函数作为高中数学的主要内容，也是高考的重点内容之一，约占高考数学总分的15%左右。而三角函数因其灵活多变使得学生掌握起来难度较大，因此，掌握三角函数变换的一些基本规律，在遇到较为复杂的题型时，则可选用适当的基本公式及解题方式，将难度较高题型较为复杂的题目转换成较为简易的基础题型，促使其合理转化，提高解题的正确率。

一、三角函数变换常见类型分析

（一）“角”度的变换

在进行三角函数变换相关的解题过程中，其角度的变换通常表现为对差角、和角、倍角、半角、余角、补角以及凑角等多种角的相互转换，在解题过程中，角度的变换主要起纽带作用。随着函数角度的不断变换，其相应的运算符号、次数、名称等都会随之而发生变化。在三角函数题型的求解过程中，因为其表达式经常会出现很多相异的角，这就要求我们应根据角度之间的和、差、半、倍、补、凑、余等关系，使用“已知角”来表示一些“未知角”，而后再进行数学运算，通过角的变换，使问题能够得以简化，进而顺利求解。

（二）函数名称的变换

在三角函数名称的变换中，切割化弦最为常见，通常情况下我们会选择从化形式或者化函数入手。正弦、余弦是三角函数的基础，因而其应用也最为广泛，正切次之。一般来说，在对三角函数问题进行求解时，经常会出现很多不同名称的三角函数，这就要求我们将这些不同名的三角函数变换成同名三角函数，将其转换到同一类型函数有利于函数的求解，较为常用的两种方法为“切割化弦”和“齐次弦代切”。

（三）“形”的变换

在三角函数的证明、化简或求值等运算过程中，为简化其运算，有时会将一些常数比如1， 等转换成相应的三角函数形式，而后运用相关的三角函数公式求解。这些常数中，对“1”的转换与利用最为普遍。在对三角函数进行变换时，应遵循从繁到简、从简入易这一规律，只有遵循这一规律，我们在繁多的三角函数公式中才能迅速、准确地找出合适的解题思路，进而明确解题目标，达到顺利解题的最终目的。

例如2009年辽宁的高考数学题：已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（ ）

分析：利用题中已知条件，我们可以发现这道题考察的是“弦化切”的相关知识，因此，可利用题目中给出的整式中其分母为“1”这一条件，将常数“1”转化成sin2α+cos2α，将求解问题由复杂转换成简易，进而顺利解题。

二、高中数学三角函数变换几种较为常见的解题方法分析

（一）“切函数”和“弦函数”之间的相互转换

“切函数”和“弦函数”这两者之间的转换是我们在对三角函数问题进行求解时经常使用的两种进行函数变换的基本方法。如果在三角函数式中存在正切函数，那么学生在解题时，则可对三角函数的基本关系加以利用，将“弦函数”转换成“切函数”或将“切函数”转换成“弦函数”的方式来完成对题目的简化、证明、求值等运算。

（二）角的等量转换

在三角函数的求解过程中，应当重点注意题目中已知角与所求解的角之间的关系，可适当使用拼角、拆角等技巧，比如α=（α+β）-β= =β-（β-α）;2β（α+β）-（α-β）等都是对拼角、凑角等三角函数解题技巧的灵活运用。

（三）公式的逆用及变用

在三角函数的求解过程中，经常会发现有些题目要求我们对公式进行逆用或者相应地转变，对题目的求解往往由复杂变为简易。但是，很多学生对公式的变通未能熟练掌握，极易出现失误。因此，学生对2sin2x=1-cos2x以及2cos2x=1+cos2x等此类三角函数公式应当熟练掌握，以提高解题效率。

（四）辅助角公式的引入

引入辅助角公式指的是在三角函数的变换过程中，对两角及其相同两角之间正弦或余弦公式进行形式的变换，此方法是求解三角函数的周期、单调区间等值的极为有效的一种解题手段。

正如三角函数式中我们将αsinα+bcosα变换成 sin（α+φ）这种形式，在这一三角函数式中φ就是所谓的辅助角，其角的大小是由tanφ来确定。

三、总结

在高中数学的三角函数中，无論是对其进行化简、证明抑或是求值，其求解的过程均是由繁入简、由难到易、由已知向未知转化的一个过程。因此，掌握其基本规律，适当运用相关解题技巧，如弦、切函数的相互转换;不同名函数化同名;切割化弦;公式逆用以及辅助角公式的运用等，通过进行转换找出其差异与共同点，减少函数类型，减低题目难度，从而达到对三角函数问题顺利求解的目的。

【参考文献】

[1]葛志峰.三角变换的类型与技巧[J].读与写（教育教学刊），2007（5）：86

[2]祁正红.从一道高考题谈三角变换技巧[J].数理化学习（高中版），2007（18）

[3]赖彩玲.论高中数学中的三角函数变换[J].教育教学论坛，2012（12）：116