判断说理题：形外正多边形

卜文静

伴随着新课标全面进入课堂，应运而生了一些形式新颖、富有趣味的考题.纵观近几年的中考试题，一类有关形外正多边形的题目，像一道靓丽的风景线映入眼帘，令人赏心悦目.

一、 形外正三角形

例1 如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD相交于点E，连接BC.

（1） 求∠AEB的大小；

（2） △OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转一定角度得到图2（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小.

【分析】本题主要考查等边三角形的性质，如等边三角形的每一个内角是60°，每一个外角是120°，各边相等等.在求角的度数时，往往是根据三角形全等，将相等的角进行转化，然后利用三角形的内角和或外角与内角的关系进行求解.

【略解】（1） 如图1，因为△OCD、△OAB都是等边三角形，所以OC=OD，∠COA=∠DOB=120°，OA=OB，

∴△COA≌△DOB，∴∠1=∠2.

而∠BFE=∠AFO，故∠AEB=∠AOB=60°.

（2） 解题过程与（1）类似，∠AEB =60°.

例2 如图3，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ. 以下五个结论：

①AD=BE；② PQ∥AE；③AP=BQ；

④ DE=DP；⑤∠AOB=60°.

恒成立的结论有________.（把你认为正确的序号都填上）

【略解】类似例1，可知△BCE≌△ACD，所以①AD=BE，⑤∠AOB=60°成立；且∠CAD=∠CBE，而∠ACB=∠BCQ，BC=AC，所以△ACP≌△BCQ，即③AP=BQ成立；同样，△DCP≌△ECQ，则CP=CQ，由于∠PCQ=60°，所以△PCQ是等边三角形，所以②PQ∥AE成立；④式不成立（DE≠QE=DP）.应填①②③⑤.

例3 如图4，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为_______.

【分析】△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，所以BC=CD，∠DCE=∠E=60°，即∠DBE=30°，△BDE是直角三角形，cos30°=，因此BD=2.

二、 形外正方形

例5 如图5，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是_______.

【分析】解决梯形问题常平移腰、平移对角线、延……