函数与方程思想在初中数学解题中的应用

刘园园

函数与方程是初中数学很重要的内容，也是中考的重点，函数与方程思想是解决实际问题的重要工具.

例1 （2014·徐州）某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx-75. 其图像如图1.

（1） 销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？

（2） 销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？

【思路突破】（1） 由函数y=ax2+bx-75的图像过点（5，0）、（7，16），根据待定系数法，可得二次函数解析式，进而求得顶点坐标可确定最值；

（2） 根据函数值大于或等于16，列出不等式，求出x的值，得出单价销售范围.

解：（1） y=ax2+bx-75图像过点（5，0）、（7，16），∴25a+5b-75=0，49a+7b-75=16，解得a=-1，b=20.

∴y=-x2+20x-75=-（x-10）2+25，顶点坐标是（10，25），

即当x=10时，y最大=25.

答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元.

（2） （方法一）∵函数y=-x2+20x-75图像的对称轴为直线x=10，可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），

又∵函数y=-x2+20x-75图像开口向下，

∴当7≤x≤13时，y≥16.

（方法二）由-（x-10）2+25=16，

得x1=13，x2=7.

又∵函数y=-x2+20x-75图像开口向下，

∴当7≤x≤13时，y≥16.

答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元.

【解后反思】本题解题关键在于利用二次函数图像的特点，结合待定系数法求解析式，再利用顶点坐标求最值.方法一利用对称点求不等式的解集；方法二通过解方程-（x-10）2+25=16得x1=13，x2=7.两种方法各体现了函数与方程思想的应用，其实很多时候函数问题都可以转化为方程问题来解决.

例2 （2015·安徽）如图2，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图像相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b-1）x+c的图像可能是（ ）.

【思路突破】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图像相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b-1）x+c=0有两个不相等……