待定系数法在函数中的应用

徐志玲

若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数（或参数），再根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫做待定系数法. 待定系数法是数学中的基本方法之一，它渗透于初中数学教材的各个部分.

应用待定系数法解题通常有三种方法：比较系数法、特殊值法和消除待定系数法，其中以特殊值法应用最为广泛，下面以两道考题为例，辅导讲解.

例1 （2015·南京）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等. 如图1中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系.

（1） 请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义.

（2） 求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式.

（3） 当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

【思路突破】（1） 点D表示成本与售价相等；

（2） 将点A、点B的坐标代入一次函数表达式；

（3） 求出获利的函数表达式，根据一次函数性质求解.

解：（1） 点D的横坐标、纵坐标的实际意义为：当产量为130 kg时，该产品每千克生产成本与销售价格相等，都为42元.

（2） 设线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式为y1=k1x+b1，

∵AB过点A（0，60）和B（90，42），

∴b1=60，90k1+b1=42.解得k1=-0.2，b1=60.

∴y1与x之间的函数表达式为y1=-0.2x+60（0≤x≤90）.

（3） 利用待定系数法可得y2与x之间的函数表达式为y2=-0.6x+120（0≤x≤130）.

设该产品产量为x时，获得的利润为W，W=x（y2-y1），注意x要分类讨论：

①当0≤x≤90时，

W=x（y2-y1）=x（-0.6x+120+0.2x-60）

=-0.4（x-75）2+2 250，

∴当x=75时，W值最大，最大值为2 250；

②当90≤x≤130时，

W=x（y2-y1）=x（-0.6x+120-42）

=-0.6（x-65）2+2 535，

∴当x=90时，W值最大，最大值为2 160.

因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大利润为2 250元.

【解后反思】用待……