转化与化归思想的应用

陈联煌��

摘要：高中数学中一项启发学生思维，增强学生数学运用能力的重要思想就是化归思想。化归即转化与归结，学生遇到弄不明白的数学难题，通过观察和思考，转化为自己清楚的问题，从而找到答题思路。本文笔者简要介绍了化归思想在教学实践中的应用。

关键词：思想方法；数学问题；转化化归；提高解决

转化与化归思想被笛卡尔称为“万能解题法”，在高中数学的各个知识领域都能看到它的身影，在解题中有着广泛的应用。这种方法的本质就是把学生弄不清楚的问题换一种思路考虑，转化成学生已经知道如何解决的问题，使问题的解决呈现“柳暗花明”的格局，使得问题得以圆满解决。高中学生经过一定的数学学习，对化归思想也有所了解，并在运用中增强了体会，但是这种简单的运用远远达不到高中数学培养数学思维这项教学目标的要求。合理运用转化与化归思想，不仅能快捷解决问题，还能让学生丰富数学知识储备，掌握更多母题。

一、 化归思想的运用原则

1. 熟悉化原则。学生遇到一道陌生的数学问题，首先要通过自己的观察，在演草纸上列举自己找出的条件，寻找条件间的联系和指向的问题，然后在自己的数学知识基础和解题经验中搜索是否有与这道题类似或有联系的地方，将从未谋面的这道题熟悉化。

2. 简单化原则。一道复杂的数学难题，必然可以通过分析，理清问题的多个层次，每个层次提出的问题目标都找到对应的解答，只要大脑不混乱，掌握多条思维线的走向，必然可以掌控问题全局，做到有条不紊。这样的过程将复杂的难题拆分为多个简单的数学问题，从而简化问题，降低难度。

3. 直观化原则。高中数学很多块知识都考察学生的抽象思维能力，学生要学会把抽象的问题直观化思考。如遇到立体几何的问题，可以灵活建立空间直角坐标系，将复杂的立体几何划分为立体空间内的多个平面的代数问题，如果空间想象能力较弱，可以在演草纸上列举各个关键面帮助理解。

二、 转化与化归思想在高中数学解题中的应用

使用转换与化归思想时，要保持清晰的思路，注意转化的方向性明确，同时避免受到固有思维模式的限制，理不清楚解题思路就换一换想法，保持一定的应变能力。如解函数、方程、不等式时，分析给出条件的逻辑架构和形态特点，在数与数、形与形、数与形之间灵活转化；解应用题或探究实践类问题时，要学会把题目给出的文学语言转化为数学语言，把题目的要求化归为代数问题。因化歸思想的灵活性和多样性，在解题时要发挥主观能动性，先吃透这道题要考查的知识点，再灵活选择转化的方法，提高解题的水平和能力。

1. 转化与化归的思想在函数中的应用

化归思想的应用是很常见的，学生都体会不到使用了化归思想就快速得出了结果，如对解析式进行运算或化简都属于化归思想的运用。例如计算，已知2（log12x）2+5 log12x-3≤0，求函数f（x）=（log2x）2+log64x-5的值域。此题原条件通过化简可以整理为一个以log2x为自变量的一元二次不等式，设log2x为t，可以把原条件的不等式化简并求出t的解集，同理f（x）可以化简为一元二次函数，即求f（x）=t2+6t-5的值域。高中数学中换元法非常常用，学生要在日常训练中强化换元法的运用练习，根据题目的特征进行恰当的转化，把复杂的问题简单化。

例1（厦门，压轴填空题）解不等式f（x）=x2（ex+e-x）-（2x+1）2（e2x+1+e-2x-1）>0

解：本题是一个超越不等式，如果采用高中常规的方法直接去解几乎无法实现。由式子的结构特征采用转化的思想，则很容易解决。

令g（x）=x2（ex+e-x）则 g（2x+1）=（2x+1）2（e2x+1+e-2x-1）

问题转化为解不等到式g（x）>g（2x+1）且g（x）是R上的偶函数，在（0，+

SymboleB@ ）上单调递增。

不等式变形为|x|>|2x+1|（x）2>（2x+1）2-1

这种解法把一个陌生的不等式由不熟悉变熟悉、由难变易，使问题“峰回路转”，把一个看似高不可攀，几乎无法解决的问题得以解决，大有脱胎换骨、化茧成蝶之效，体现了命题者独具匠心，妙不可言。

2. 转化与化归思想在几何中的应用

转化与化归思想在几何中的体现一般通过灵活构建平面直角坐标系，大胆作辅助线，使用分割、补形等解题技巧，实现图形与图形的相互转化，降低问题的难度。如求小蚂蚁在立体图形上移动的路径问题，可以考虑画出立体图形的平面展开图，正确找出各个关键点，自然可以轻松搞清楚立体几何中不易觉察的位置关系和数量关系。有些问题虽然表面上看是代数问题，但仔细分析可以找出问题中存在的几何关系，这种几何关系可以帮助学生找到新的解题思路，如函数与图像，曲线与方程，复数与运算等知识点都包含数与图形的联系。

例：证明：三角形的外心、重心、垂心三点共线。

证明：本例由几何方法直接证明并不容易，现我们改用解析法来证明。如图，设定直角坐标系，首先将原题中点、线关系映射成代数关系。即由A、B、C点的坐标求得中点E、F的坐标，直线CH、CE、AH、PF和AF的方程，进而求得三心P、G、H点的坐标，再利用代数关系，证明三点共点共线满足的代数条件，最后将这一代数关系反演，便得出三点共线的结论。

RMI模式可以看作是一种“曲线救国”的转化思想。

sinA1CA=AAA1C=33

三、 结语

转化与化归思想能帮助学生快速高效地解出很多复杂的数学问题。可是很多学生并不能灵活运用化归思想，仍然生搬硬套，模仿教师讲评习题时的示范，误打误撞解出题来也不了解原理，这很影响学习效率。教师必须重视提高学生转化与化归思想的点播，培养学生的数学思维，帮助学生找到高效的、适合自己的数学学习方法。

参考文献：

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