2017年高考全国新课标l卷“姊妹”压轴题的分析与思考

邱云

2试题比较

两道“函数与导数”压轴题风格极为相似，是高考试题中难得一见的“姊妹题”，进一步分析可以发现，题1第Ⅱ问与题2第Ⅰ问难度相当，换言之，可以认为2017年的压轴题是2016年压轴题的“降级版”.

3试题特点

仔细研究发现，高考全国卷压轴题并不神秘——函数与导数年年考，因其以能力立意为核心，考查的重点与难点虽是公开的秘密，但不影响试题的选拔性.

3.1立足基础知识，考查核心素养 《考试说明》明确指出，要重点考查利用导数的方法研究函数的单调性、极值、最值，研究方程和不等式，近两年压轴题都是以包含简单指数函数及二次函数的复合型函数为载体，考查运用导数工具分析函数的单调性与零点分布，在问题解决中，从多角度考查了基本初等函数的求导运算、导数的运算法则及工具性等基础知识，但对学生的逻辑推理及数学运算素养提出了较高要求，

逻辑推理素养的考查主要表现在：运用导数分析复合函数的单调性及零点存在的条件，特别是在“f（ln4/a）>0，f（b）>0”的探寻过程中，对学生的理性思维和严谨推理是很大的挑战；将函数的零点个数问题转化为方程根的个数问题，进而转化为两函数图像交点个数问题.

3.2注重学习潜能，突出通性通法

函数导数压轴题综合性强，蕴含的数学思想丰富，解题思路多样，使学生个体思维的广度、深度和灵活性得到充分展示，在气氛紧张、时间紧迫的高考现场，要顺利攻克此道难关，对逻辑思维能力、运算能力、观察力、数感、式感及解题毅力与信心是个考验，较好地考查了学生进一步学习的潜能，

从问题解决的角度看，此类压轴题又非遥不可及，只要分析合理、推理得当，运用通性通法便可顺利解答，这两道题都是典型的“含参复合函数的零点分布问题”，是一种常见题型，解决问题的通法有二：一是直接分类讨论，用导数研究函数的单调性并分析零点位置；二是分离参数，将零点个数转化为两函数图象的交点问题，在题1解答中，解法1直接分类讨论函数f（x）的单调性，进而分析其零点分布；解法2转化为研究g（x）的图象性质，从而获得结果，两种通法异曲同工、难度相当地求得以a∈（0，1）.可见，破解压轴题“条条大路通罗马”，而非“自古华山一条路”.

3.3命题风格稳定，问题互利互通

题1、题2表述简洁、风格相似，问题设计也是互利互通，题1的第I、第Ⅱ问相当于题2的第I问，将题1稍加变式，便可考查题2的第Ⅱ问：

4教学启示

4.1扎实基础，练就三项“硬功夫”

“万丈高楼平地起”，没有坚实的基础知识，能力也只是空中楼阁，若对基础知识理解不到位、掌握不牢固、运用不灵活，就无法果断选择解题方向，无法顺利推进解题思路，更难以灵光闪现生成数学直觉、产生解题顿悟，所以扎实的基础是攻克难题、萌生灵感的前提，是养成程序化思考问题的习惯的关键，也是战胜高考的后盾，在函数与导数综合问题的复习教学中，要指导学生练就三种“硬功夫”.取值趋势，以增加解题的严谨性和得分率.

4.2培养核心素养，以不变应万变

高考对函数与导数的考查重点虽然集中在单调性、極值、最值和零点，试题构成元素也主要是e^x，Inx及一次、二次函数和分式函数，但是元素的复合形式、设问角度及参数调控多种多样，不可能常有“姊妹题”，掌握以不变应万变的的良方，唯有发展良好的数学核心素养，即应具备适应终身发展和社会发展需要的必备数学品格和数学关键能力，在导数综合问题的解决中，必备的“关键能力”主要是逻辑推理与数学运算素养，

章建跃博士指出，理解数学、理解学生、理解教学是落实数学核心素养的关键，复习教学中，不宜笃信题海战术从量上追求“练过”，而应着眼于发展核心素养从质上追求“练透”，若逻辑推理、数学运算等核心素养没跟上，即使年年岁岁考题相似，还是岁岁年年熟而不会，例如，在类似题1的“零点问题”研究解决中，要帮助学生厘清思路、开阔思维；让学生领悟解题路径及运算要领，形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，熟练掌握运算法则、清晰选择运算方法，若选择解法1，思维程序如下：

在反思环节，引导学生进一步发现问题和提出问题：两个零点满足何性质（Xl+X2<-21na）？若f（x）只有一个零点、没有零点情况如何？这类问题还有什么解法？通过这些系列问题的思考升华、自发感悟，培养思维的深刻性、广阔性和灵活性，从而提升数学素养.endprint